2021届河北衡水密卷新高三原创预测试卷(十七)数学

2021届河北衡水密卷新高三原创预测试卷（十七）
数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{y|y＝2x}，M＝A∩B，则集合M的子集个数是（）
A．2B．3C．4D．8
2．设i是虚数单位，复数z=2+i
3−i，则z在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．如图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是（）
A．男性的平均预期寿命逐渐延长
B．女性的平均预期寿命逐渐延长
C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性
D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性
4．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3），则该圆柱形容器能放米（）
A．900 斛B．2700斛C．3600斛D．10800斛
5．已知向量a→，b→满足|a→+b→|＝|b→|，且|a→|＝2，则b→在a→方向上的投影是（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1
6．已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，a2＝b2＝m，a3＝b3＝n，若m，n为正数，且m≠n，则（）
A．a1＜b1
B．a1＞b1
C．a1＝b1
D．a1，b1的大小关系不确定
7．已知随机变量X服从正态分布N（0，1），随机变量Y服从正态分布N（1，1），且P （X＞1）＝0.1587，则P（1＜Y＜2）＝（）
A．0.1587B．0.3413C．0.8413D．0.6587
8．函数f（x）＝tan x﹣x2在(−π
2，
π
2
)上的图象大致为（）
A．B．C．D．
9．设函数f(x)=sin(2x+2π
3
)，则下列结论中正确的是（）
A ．y ＝f （x ）的图象关于点(π3，0)对称
B ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =π3对称
C ．f （x ）在[0，π3]上单调递减
D ．f （x ）在[−π6，0]上的最小值为0 10．已知四棱锥P ﹣ABCD 的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，AB ＝AD ＝1，BC
＝CD ＝2，若球O 的表面积为36π，则直线PC 与底面ABCD 所成角的余弦值为（ ） A ．√36 B ．√56 C ．√33 D ．√53
11．已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2
=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，M 是C 的渐近线上一点，且MF ⊥x 轴，过F 作直线OM 的平行线交C 的渐近线于点N （O 为坐标原点），若MN ⊥ON ，则双曲线C 的离心率是（ ）
A ．2√33
B ．√3
C ．√62
D ．2
12．已知a ＞2，f （x ）＝e x （x ﹣a ）+x +a ，有如下结论：
①f （x ）有两个极值点；
②f （x ）有3个零点；
③f （x ）的所有零点之和等于零．
则正确结论的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0
x +y −3≤0x −3y +1≤0
，则z ＝2x ﹣y 的最小值为 ．
14．中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4
名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有 种．
15．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n +1＝a n +tn （n ∈N *，t 为非零常数），且a 1，a 2，a 3成等比
数列，则a n ＝ ．
16．已知F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，K 为C 的准线与x 轴的交点，点P 在抛
物线C 上，设∠KPF ＝α，∠PKF ＝β，∠PFK ＝θ，有以下3个结论：
①β的最大值是π4； ②tan β＝sin θ；
③存在点P ，满足α＝2β．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，△ABC 的面积为2√3．
（1）若A =π3，求△ABC 的周长；
（2）求sin B •sin C 的最大值．
18．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为等边三角形，D ，E 分别为AC ，A 1C 1的中点，
点F 在棱CC 1上，且EF ⊥BF ．
（1）证明：平面BEF ⊥平面BDF ；
（2）若AB ＝4，C 1F ＝2FC ，求二面角D ﹣BE ﹣F 的余弦值．
19．甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为p（0＜p＜1）．
（1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
（2）若p=1
2，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望E（X）；
（3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求p的取值范围．
20．已知P是x轴上的动点（异于原点O），点Q在圆O：x2+y2＝4上，且|PQ|＝2．设线段PQ的中点为M，当点P移动时，记点M的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）当直线PQ与圆O相切于点Q．且点Q在第一象限．
（i）求直线OM的斜率；
（ii）直线l平行OM，交曲线E于不同的两点A，B．线段AB的中点为N，直线ON 与曲线E交于两点C，D，证明：|NA|•|NB|＝|NC|•|ND|．
21．已知函数f(x)=lnx+1
x−1，
f'（x）为f（x）的导函数，f（x1）＝f（x2）且x1＜x2．证明：
（1）f'（x）＜0；
（2）x2﹣x1＞1．
选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，圆C：ρ＝4sinθ，直线l：ρcosθ＝2．以极点O为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求圆C的参数方程，直线l的直角坐标方程；
（2）点A在圆C上，AB⊥l于B，记△OAB的面积为S，求S的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣2|x﹣1|﹣1．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）是否存在实数a，使得f（x）的图象与x轴有唯一的交点？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{y |y ＝2x }，M ＝A ∩B ，则集合M 的子集个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可求出集合M ，从而可得出M 的子集个数．
解：∵A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{y |y ＞0}，
∴M ＝A ∩B ＝{1，2}，
∴M 的子集个数是22＝4．
故选：C ．
2．设i 是虚数单位，复数z =
2+i 3−i ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．
解：∵z =2+i 3−i =(2+i)(3+i)(3−i)(3+i)=5+5i 10=12+12i ，
∴z =12−12
i ， 则z 在复平面内对应的点的坐标为（12，−12），位于第四象限．
故选：D ．
3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010年第六次全国人口普查资
料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体
系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．如图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是（）
A．男性的平均预期寿命逐渐延长
B．女性的平均预期寿命逐渐延长
C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性
D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性
【分析】根据柱状统计图即可判断．
解：由柱状统计图可知无论男女的平均预期寿命都在逐渐延长，且很明显女性平均预期寿命延长幅度略高于男性，
故A、B、D正确，C错误，
故选：C．
4．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1文＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3），则该圆柱形容器能放米（）
A ．900 斛
B ．2700斛
C ．3600斛
D ．10800斛
【分析】由底面圆周长五丈四尺求出圆柱底面半径，根据圆柱的体积公式计算出对应的体积，除以1.62得答案．
解：设圆柱的底面半径为r ，则2πr ＝54，得r ＝9，
故米堆的体积为π×92×18＝4374立方尺，
∵1斛米的体积约为1.62立方尺，
∴该圆柱形容器能放米4374÷1.62≈2700斛，
故选：B ．
5．已知向量a →，b →满足|a →+b →|＝|b →|，且|a →|＝2，则b →在a →
方向上的投影是（ ） A ．2 B ．﹣2
C ．1
D ．﹣1 【分析】本题先将已知条件|a →+b →|＝|b →|进行平方再进行向量运算可计算出a →•b →=−2，
然后根据b →在a →方向上的投影公式a →⋅b
→|a →|代入进行计算可得正确选项．
解：依题意，由|a →+b →|＝|b →
|，可得 |a →+b →|2＝|b →
|2， 即（a →+b →）2＝|a →|2+2a →•b →+|b →|2＝|b →
|2， 则4+2a →•b →=0，解得a →•b →
=−2，
∴b →在a →方向上的投影为a →⋅b
→|a →|=−22=−1．
故选：D ．
6．已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，a 2＝b 2＝m ，a 3＝b 3＝n ，若m ，n 为正数，
且m ≠n ，则（ ） A ．a 1＜b 1 B ．a 1＞b 1 C ．a 1＝b 1
D ．a 1，b 1的大小关系不确定
【分析】本题先根据等差中项和等比中项的性质可列式并计算出a 1、b 1关于m 、n 的表达式，然后应用作差法比较a 1、b 1的大小，进行不等式的计算即可得到正确选项． 解：由题意，可知
∵数列{a n }是等差数列，且a 2＝m ，a 3＝n ， ∴2a 2＝a 1+a 3，即2m ＝a 1+n ， 解得a 1＝2m ﹣n ，
又∵数列{b n }是等比数列，且b 2＝m ，b 3＝n ， ∴b 22＝b 1b 3，即m 2＝nb 1， 解得b 1=m 2
n
，
∴a 1﹣b 1＝2m ﹣n −m 2
n =−(m−n)2
n ，
∵m ，n 为正数，且m ≠n ， ∴（m ﹣n ）2＞0， ∴a 1﹣b 1=−(m−n)2
n ＜0， 即a 1＜b 1． 故选：A ．
7．已知随机变量X服从正态分布N（0，1），随机变量Y服从正态分布N（1，1），且P （X＞1）＝0.1587，则P（1＜Y＜2）＝（）
A．0.1587B．0.3413C．0.8413D．0.6587
【分析】根据正态分布曲线的特点可知，P（X＞1）＝0.1587＝P（Y＞2），再结合P（Y ＞1）＝P（Y＜1）＝0.5，即可求出P（1＜Y＜2）．
解：由已知得P（X＞1）＝0.1587＝P（Y＞2），
∴P（Y＜2）＝1﹣P（Y＞2）＝0.8413．
又P（Y≥1）＝P（Y≤1）＝0.5，
∴P（1＜Y＜2）＝P（Y＜2）﹣P（Y≤1）＝0.3413．
故选：B．
8．函数f（x）＝tan x﹣x2在(−π
2，
π
2
)上的图象大致为（）
A．B．
C．D．
【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，结合选项直接得解．解：函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故排除选项B、D；
又f(π4)=1−π2
16＞0，故排除选项C ．
故选：A ．
9．设函数f(x)=sin(2x +
2π
3
)，则下列结论中正确的是（ ） A ．y ＝f （x ）的图象关于点(π
3，0)对称
B ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =π
3对称
C ．f （x ）在[0，π
3]上单调递减 D ．f （x ）在[−π6，0]上的最小值为0
【分析】由题意利用查正弦函数的图象和性质，得出结论．
解：对于函数f(x)=sin(2x +2π
3)，令x =π
3，求得f （x ）=−√3，不是最值，
可得y ＝f （x ）的图象不关于点(π
3，0)对称，也不关于直线x =π
3对称，故A 、B 都不正确；
在[0，π
3]上，2x +
2π3∈[2π3
，4π
3]，故f （x ）在[0，π3]上单调递减，故C 正确； 在[−π6，0]上，2x +
2π3∈[π3，2π
3
]，故f （x ）在[0，π3]上没有单调性，最小值为f （−π6）＝f （0）=√
32
，故D 不正确，
故选：C ．
10．已知四棱锥P ﹣ABCD 的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，AB ＝AD ＝1，BC ＝CD ＝2，若球O 的表面积为36π，则直线PC 与底面ABCD 所成角的余弦值为（ ） A ．√3
6
B ．√5
6
C ．√3
3
D ．√5
3
【分析】画出图形，判断直线PC 与底面ABCD 所成角，求出AC ，PC ，然后求解即可．
解：四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，AB＝AD＝1，BC ＝CD＝2，
可得AC=√AD2+CD2=√5，四棱锥中，PC经过外接球的球心，
若球O的表面积为36π，所以4OP2π＝36π，可得OP＝3，所以PC＝6，
PA⊥底面ABCD，直线PC与底面ABCD所成角就是∠PCA，
所以cos∠PCA=AC
PC
=√56．
故选：B．
11．已知F是双曲线C：x2
a2
−y
2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦点，M是C的渐近线上一点，且
MF⊥x轴，过F作直线OM的平行线交C的渐近线于点N（O为坐标原点），若MN ⊥ON，则双曲线C的离心率是（）
A．2√3
3
B．√3C．√
6
2
D．2
【分析】把x＝c代入渐近线y=b
a
x，可求得点M的坐标，由于OM∥NF，利用点斜式
写出直线NF的方程，将其与渐近线y=−b
a
x联立，可求得点N的坐标，然后结合MN
⊥ON，直线的斜率之积为﹣1，可得到关于a、b、c的等量关系式，最后结合c2＝a2+b2
和e=c
a即可求得离心率．
解：根据题意，作出如图所示的图形，
由题意可知，点F （c ，0），渐近线方程为y =±b a
x ，
∵MF ⊥x 轴，∴把x ＝c 代入y =b
a x ，得y =bc
a ，∴点M （c ，bc
a ），
∵OM ∥NF ，∴直线NF 的方程为y =b a
(x −c)，
联立{y =b
a (x −c)y =−
b a x ，解得{x =c
2y =−bc 2a
，∴点N (c 2，−bc 2a )， ∵MN ⊥ON ，∴bc a −(−bc
2a )
c−c 2
⋅(−b
a
)=−1，化简得，a 2＝3b 2
，
∴离心率e =√c 2a 2=√a 2
+b 2a 2=√1+b 2a
2=√1+13=2√33
．
故选：A ．
12．已知a ＞2，f （x ）＝e x （x ﹣a ）+x +a ，有如下结论： ①f （x ）有两个极值点； ②f （x ）有3个零点；
③f （x ）的所有零点之和等于零． 则正确结论的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【分析】①连续求导，进而可判断函数f ′（x ）的单调性，再结合零点存在性定理，可知函数f ′（x ）有两个零点，即f （x ）有两个极值点；
②由零点存在性定理直接判断即可说明②正确； ③问题等价于直线y ＝a 与函数y =
e x −1
e x +1
⋅x 图象的交点的横坐标之和是否为0，由函数y =e x −1
e x +1⋅x 的奇偶性容易得出结论正确．
解：①f ′（x ）＝e x （x ﹣a +1）+1，f ''（x ）＝e x （x ﹣a +2），
当x ∈（﹣∞，a ﹣2）时，f ''（x ）＜0，f ′（x ）递减，当x ∈（a ﹣2，+∞）时，f ''（x ）＞0，f ′（x ）递增，
又f ′（a ﹣2）＝﹣e a ﹣2+1＜0，lim x→∞
f′(x)=1，f′(a −1)=1＞0，
∴存在x 1∈（﹣∞，a ﹣2），x 2∈（a ﹣2，a ﹣1），使得f ′（x 1）＝0，f ′（x 2）＝0， ∴①正确；
②∵f ′（0）＝2﹣a ＜0， ∴0∈（x 1，x 2），
又f(0)=0，lim x→−∞
f(x)=−∞，lim x→+∞
=+∞，f （x 1）＞0，f （x 2）＜0，
由零点存在性可知，f （x ）有三个零点， ∴②正确；
③e x （x ﹣a ）+（x +a ）＝0的根即为a =e x −1e x +1⋅x 的根，亦即直线y ＝a 与函数y =e x −1
e x +1
⋅x
图象的交点的横坐标，
又函数y =e x −1
e x +1
⋅x 为偶函数，
∴直线y ＝a 与函数y =e x −1
e x +1
⋅x 图象的交点的横坐标之和为0， ∴③正确． 故选：D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0
x +y −3≤0x −3y +1≤0
，则z ＝2x ﹣y 的最小值为 ﹣2 ．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
解：由x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0
x +y −3≤0x −3y +1≤0，作出可行域如图所示，
化目标函数z ＝2x ﹣y 为y ＝2x ﹣z ，{x −y +1=0
x −3y +1=0
解得C （﹣1，0），
由图可知，当直线y ＝2x ﹣z 过C （﹣1，0）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
14．中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有 10 种． 【分析】可根据甲选没选《论语》分类，计算出结果． 解：由题知：①当甲选《论语》时，有A 3
3=6种选法；
②当甲没选《论语》时，有C
2
1A
2
2=4种选法；
综合①②知共有6+4＝10种选法． 故填：10．
15．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n +1＝a n +tn （n ∈N *，t 为非零常数），且a 1，a 2，a 3成等比数列，则a n ＝
22
．
【分析】由a 1，a 2，a 3成等比数列可得t 的方程，可得a n +1＝a n +n ，运用累加法可求a n ． 解：a 2＝a 1+t ＝1+t ，a 3＝a 2+2t ＝1+3t ，
依题意a 1，a 2，a 3成等比数列，即（1+t ）2＝1（1+3t ）， 解得 t ＝0（舍去），t ＝1；
n ≥2时，a 2﹣a 1＝1，a 3﹣a 2＝2，…a n ﹣a n ﹣1＝n ﹣1，
以上各式相加得a n ﹣a 1＝1+2+…+（n ﹣1）=1
2n （n ﹣1），即有a n =n 2−n+22
．
n ＝l 时，表达式也成立，
所以∀n ∈N*，a n =n 2
−n+22
；
故答案为：
n 2−n+2
2
．
16．已知F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，K 为C 的准线与x 轴的交点，点P 在抛物线C 上，设∠KPF ＝α，∠PKF ＝β，∠PFK ＝θ，有以下3个结论： ①β的最大值是π
4；
②tan β＝sin θ；
③存在点P ，满足α＝2β．
其中正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】①设点P （m ，n ），当直线PK 与抛物线相切时，可使β取得最大值．利用导
数求出切线的斜率，并与由P 、K 两点求得的直线斜率构成等式，化简整理后可得m =p
2，从而得直线PK 的斜率为1，对应的β为π
4，即①正确；
②过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，分别在Rt △PQK 和Rt △PQF 中，运用锐角三角函数表示出tan β和sin θ，即可得证； ③在△PKF 中，由正弦定理知，
PF
sinβ
=
KF sinα
，把α＝2β代入，化简可得m =p 2(1
cosβ−1)，
从而可求得点P 的坐标，故可作出判断． 解：①设点P （m ，n ），则n 2＝2pm （1）， 当直线PK 与抛物线相切时，可使β取得最大值．
∵y 2＝2px ，∴不妨取y =√2px 1
2，则y′=√2p 2x −12，此时直线PK 的斜率为
√
2p
2
m
−
1
2，
由P （m ，n ），K （−p
2，0）可知，直线PK 的斜率为n m+
p 2
=
√2p 2m −12（2）， 由（1）（2）可知，m =p 2，于是直线PK 的斜率为√2p
2×√p
2
=1， ∴tan β＝1，即β=π
4，故①正确；
②过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，在Rt △PQK 中，tan β=PQ KQ =n
m+p 2
，
在Rt △PQF 中，sin θ＝sin ∠PFQ =PQ PF =n
m+p 2
，
∴tanβ＝sinθ，即②正确；
③在△PKF中，由正弦定理知，
PF
sinβ
=
KF
sinα
，
若α＝2β，则m+p
2
sinβ
=
p
2sinβcosβ
，解得m=
p
2
(1
cosβ
−1)，∴n2=2pm=p2(1
cosβ
−1)，
故存在点P符合题意，即③正确．
故答案为：①②③．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝4，△ABC的面积为2√3．
（1）若A=π
3，求△ABC的周长；
（2）求sin B•sin C的最大值．
【分析】（1）利用三角形面积公式得到bc＝8，再利用余弦定理可求出b+c的值，从而求出△ABC的周长；
（2）由正弦定理得sin B•sin C=bcsin 2A
a2
，再结合S△ABC＝2√3，a＝4，可得sin B•sin C=
√3sinA
4≤√34，当sin A＝1，即A=
π
2时等号成立．
解：（1）因为S△ABC=1
2
bcsinA=√34bc=2√3，所以bc＝8，
由余弦定理得cosA=b 2+c2−a2
2bc
=12，所以（b+c）2＝a2+3bc，
又∵a＝4，bc＝8，
∴（b+c）2＝40，即b+c＝2√10，∴△ABC的周长为4+2√10；
（2）由正弦定理得：a
sinA =
b
sinB
=
c
sinC
，
∴sin B•sin C=bcsin 2A
a2
，
又S△ABC=1
2
bcsinA=2√3，a＝4，
∴sin B•sin C=√3sinA
4≤√34，当sin A＝1，即A=
π
2时等号成立，此时b2+c2＝a2＝16，bc
＝4√3，
即b＝2√3，c＝2或b＝2，c＝2√3，
故A=π
2时，sin B•sin C取得最大值
√3
4
．
18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等边三角形，D，E分别为AC，A1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥BF．
（1）证明：平面BEF⊥平面BDF；
（2）若AB＝4，C1F＝2FC，求二面角D﹣BE﹣F的余弦值．
【分析】（1）结合已知先证明BD⊥EF，EF⊥BF，进而可证EF⊥平面BDF，再由面面垂直的判定得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式得解．
解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴AA1⊥平面ABC，从而有AA1⊥BD，
∵△ABC为等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
又AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面ACC1A1，从而有BD⊥EF，
又∵EF⊥BF，BD∩BF＝B，
∴EF⊥平面BDF，
又∵EF在平面BEF内，
∴平面BEF⊥平面BDF；
（2）由（1）可知，EF⊥平面BDF，从而有EF⊥DF，
设CF＝m，则有m2+4+4m2+4＝9m2，即4m2＝8，得m=√2，
以D为坐标原点，DB，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(2√3，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，3√2)，F(0，2，√2)，
设平面BEF的一个法向量为m→=(x，y，z)，BE→=(−2√3，0，3√2)，EF→=(0，2，−2√2)，
则{BE →
⋅m →
=−2√3x +3√2z =0
EF →⋅m →=2y −2√2z =0
，可取m →=(√3，2，√2)， ∵DC ⊥平面BDE ，
∴平面BDE 的一个法向量为DC →
=(0，2，0)，
∴cos ＜m →
，DC →
＞=
m →⋅DC →
|m →
||DC →
|
=
42×√9=2
3， ∴二面角D ﹣BE ﹣F 的余弦值为23
．
19．甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为p （0＜p ＜1）． （1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
（2）若p =12
，比赛结束时，设甲获胜局数为X ，求其分布列和期望E （X ）； （3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求p 的取值范围． 【分析】（1）设A ：甲在第一局失利，B ：甲获得了比赛的胜利，根据条件概率的计算公式求出P(B/A)=P(AB)
P(A)即可；
（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，根据相互独立事件的概率逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；
（3）由（2）可知，甲获得该场比赛胜利的概率为p 2+C 21(1−p)p 2，列出关于p 的不
等式，解之即可得解．
解：（1）设A ：甲在第一局失利，B ：甲获得了比赛的胜利，
则P(B/A)=
P(AB)P(A)
=(1−p)p 2
1−p =p 2． （2）X 的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）=(1−p)2=14；P（X＝1）=C21p(1−p)2=14；P（X＝2）=p2+C21(1−p)p2= 1
2．
∴X的分布列为
X012
P1
41
4
1
2
∴数学期望E（X）=0×1
4
+1×14+2×12=54．
（3）甲获得该场比赛胜利的概率为p2+C21(1−p)p2，则p2+C21(1−p)p2＞p，
即2p2﹣3p+1＜0，解得1
2
＜p＜1．
故p的取值范围是(1
2，1)．
20．已知P是x轴上的动点（异于原点O），点Q在圆O：x2+y2＝4上，且|PQ|＝2．设线段PQ的中点为M，当点P移动时，记点M的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）当直线PQ与圆O相切于点Q．且点Q在第一象限．
（i）求直线OM的斜率；
（ii）直线l平行OM，交曲线E于不同的两点A，B．线段AB的中点为N，直线ON 与曲线E交于两点C，D，证明：|NA|•|NB|＝|NC|•|ND|．
【分析】（1）连接OQ ，设M 的坐标，由M 为PQ 的坐标可得Q ，P 的坐标，将Q 的坐标代入圆O 中，由相关点法求出P 的轨迹方程；
（2）（i ）直线PQ 与圆O 相切于点Q 及|PQ |＝2．可得P ，Q 的坐标，进而可得PQ 的中点M 的坐标，求出直线OM 的斜率，
（ii ）由题意设直线AB 的方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出AB 的中点N 的坐标，求出直线ON 的方程，与椭圆联立求出C ，D 的坐标，进而求出|NC |•|ND |，及|NA |•|NB |的表达式，可证得相等．
解：（1）连接OQ ，设M （x ，y ）（x ≠0），
由|OQ |＝|PQ |＝2，由M 为PQ 的中点可得P （43
x ，0），则Q （23
x ，2y ）
把Q （23
x ，2y ）代入x 2+y 2＝4，整理可得：
x 29
+y 2
＝1，
所以曲线E 的方程为：
x 29
+y 2
＝1（x ≠0）；
（2）（i ）当直线PQ 与圆O 相切于Q ，则OQ ⊥PQ ，|OQ |＝|PQ |＝2， 则|OP |＝2√2，又点Q 在第一象限，可得P （2√2，0），Q （√2，√2），
由M 为PQ 的中点，得M （3√22
，√2
2
），
所以直线OM 的斜率为=
√2
23√22
=1
3．
（ii ）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l 的方程：y =13
x +t ，
由{y =1
3x +t x 29+y 2
=1，整理可得2x 2+6tx +9t 2
﹣9＝0，x 1+x 2＝﹣3t ，x 1x 2=
9t 2−92，所以N 点的坐标（−
3t 2，t
2
）， 直线ON 方程为：y =−13
x ，
由方程组{y =−1
3x x 29
+y 2=1解得C （−3√22，√22），D （3√22，−√
22），
所以|NC |•|ND |=√103
（3√22
−3t 2
）⋅√103
（3√22
+3t 2
）=5
2
（2﹣t 2），
又|NA |•|NB |=1
4|AB |2=1
4×10
9•[（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2]=518[9t 2﹣2（9t 2﹣9）]=5
2
（2﹣t 2），
所以可证得：|NA |•|NB |＝|NC |•|ND |．
21．已知函数f(x)=
lnx+1
x−1
，f '（x ）为f （x ）的导函数，f （x 1）＝f （x 2）且x 1＜x 2．证明： （1）f '（x ）＜0； （2）x 2﹣x 1＞1．
【分析】（1）f(x)=lnx+1
x−1，（x ∈（0，1）∪（1，+∞））．f '（x ）=−1x −lnx (x−1)
2，令g （x ）=−1
x
−lnx ，利用导数研究其单调性可得g （x ）＜0，即可证明结论．
（2）由（1）可得：f （x ）在（0，1），（1，+∞））上单调递减.0＜x 1＜1＜x 2．f （x +1）
﹣f （x ）=ln(x+1)+1x
−lnx+1x−1
=
1
x −ln(1+1x )1−x +ln(x+1)x(1−x)
.0＜x ＜1．由（1）得g （x ）=−1x −lnx ≤﹣1，当且仅当x ＝1时取等号．可得ln （1+1
x
）＜1x
．进而得出结论．
【解答】证明：（1）f(x)=
lnx+1
x−1
，（x ∈（0，1）∪（1，+∞））． f '（x ）=
−1x −lnx (x−1)
2，令g （x ）=−1
x −lnx ，则g ′（x ）=
1x 2−1x =1−x x
2． ∴当0＜x ＜1时，g ′（x ）＞0；当1＜x 时，g ′（x ）＜0．
∴g （x ）≤g （1）＝﹣1＜0． 在f '（x ）中，x ≠1，∴f '（x ）＜0．
（2）由（1）可得：f （x ）在（0，1），（1，+∞））上单调递减． ∴0＜x 1＜1＜x 2．
f （x +1）﹣f （x ）=ln(x+1)+1x −lnx+1x−1=xln(x+1)−xlnx−1−ln(x+1)x(x−1)=1
x −ln(1+1x )1−x
+ln(x+1)
x(1−x)
.0＜x ＜1． 由（1）得g （x ）=−1
x
−lnx ≤﹣1，当且仅当x ＝1时取等号．
∴ln 1
x
≤
1x
−1．即lnx ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时取等号．
又x ＞0时，1+1
x ＞1．因此ln （1+1
x ）＜1
x ．
∴0＜x ＜1
时，1x
−ln(1+1x )
1−x
＞0，又
ln(x+1)x(1−x)
＞0．
∴f （x 1+1）＞f （x 1）＝f （x 2），
由f （x ）在（1，+∞））上单调递减，且x 1+1＞1，x 2＞1，∴x 2＞x 1+1． 即x 2﹣x 1＞1． 一、选择题
22．在极坐标系中，圆C ：ρ＝4sin θ，直线l ：ρcos θ＝2．以极点O 为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求圆C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；
（2）点A 在圆C 上，AB ⊥l 于B ，记△OAB 的面积为S ，求S 的最大值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角形的面积公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的
应用求出结果．
解：（1）圆C：ρ＝4sinθ，转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．转换为参数方程
为{x=2cosθ
y=2+2sinθ（θ为参数）．
直线l：ρcosθ＝2．转换为直角坐标方程为x＝2．
（2）设A（2cosα，2+2sinα），（0＜α＜2π），则：B（2，2+2sinα），
所以S△OAB＝2（1﹣cosα）（1+sinα）=[√2sin(α−π
4
)+1]2，
当α−π
4
=π2时，(S△OAB)max=3+2√2．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣2|x﹣1|﹣1．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）是否存在实数a，使得f（x）的图象与x轴有唯一的交点？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）将a＝1代入，分类讨论解不等式，再取并集即可；
（2）分a＞﹣1，a＜﹣1及a＝﹣1讨论即可得出结论．
解：（1）当a＝1时，f（x）＞0化为|x+1|﹣2|x﹣1|﹣1＞0，
当x≤﹣1时，不等式化为x﹣4＞0，无解；
当﹣1＜x＜1时，不等式化为3x﹣2＞0，解得2
3
＜x＜1；
当x≥1时，不等式化为﹣x+2＞0，解得1≤x＜2；
综上，不等式的解集为(2
3，2)；
（2）存在，当a ＞﹣1时，则f(x)={x −a −3，x ＜−a
3x +a −3，−a ≤x ≤1−x +a +1，x ＞1
，此时f （x ）的最大值
为f （1）＝a ，所以a ＝0时满足题意；
当a ＜﹣1时，则f(x)={x −a −3，x ＜1
−3x −a +1，1≤x ≤−a −x +a +1，x ＞−a
，此时f （x ）的最大值为f （1）＝
﹣a ﹣2，所以a ＝﹣2满足题意；
当a ＝﹣1时，f （x ）＝﹣|x ﹣1|﹣1＜0，不满足题意； 综上，实数a 的值为a ＝0或a ＝﹣2．。