木兰县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

木兰县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2
cos α的值为（ ）
A ．
12+
B ．12 C. 34 D ．0 2． 设集合M={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}，N={（x ，y ）|x 2﹣y=0，x ∈R ，y ∈R}，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3． 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）
A ．232
B ．252
C ．472
D ．484
4． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =
B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<
C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数
D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2
C π
=
”的充要条件
【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
5． 已知向量=（1，n ），=（﹣1，n ﹣2），若与共线．则n 等于（ ）
A ．1
B ．
C ．2
D ．4
6． 把函数y=sin （2x ﹣）的图象向右平移
个单位得到的函数解析式为（ ）
A ．y=sin （2x ﹣
） B ．y=sin （2x+
）
C ．y=cos2x
D ．y=﹣sin2x
7． 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为4cm ，高为10cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）
A ．16cm
B ．
C ．
D ．26cm
8．将n2个正整数1、2、3、…、n2（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中
的任意两个数a、b（a＞b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（）
A．B．C．2 D．3
9．数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式a n为（）
A．2n﹣1 B．﹣3n+2 C．（﹣1）n+1（3n﹣2）D．（﹣1）n+13n﹣2
10．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点P（a，﹣）的所有直线中（）
A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B．恰有n（n≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D．每条直线至多过一个有理点
11．在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a=（）
A．B．2C．或2D．2
12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则E 点位于（）
A．点A处B．线段AD的中点处
C．线段AB的中点处D．点D处
二、填空题
13．设A={x|x≤1或x≥3}，B={x|a≤x≤a+1}，A∩B=B，则a的取值范围是．
14．抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为．
15．下列命题：
①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数；
②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点；
③数列{a n}为等差数列，设数列{a n}的前n项和为S n，S10＞0，S11＜0，S n最大值为S5；
④在△ABC中，A＞B的充要条件是cos2A＜cos2B；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强．
其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都写上）．
16．在区间[﹣2，3]上任取一个数a，则函数f（x）=x3﹣ax2+（a+2）x有极值的概率为．17．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm）．
18．把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵
坐标不变），所得函数图象的解析式为．
三、解答题
19．如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（Ⅰ）求证：CE∥平面ADF；
（Ⅱ）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，
求BK的取值范围．
20．设函数，若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．
21．巳知二次函数f（x）=ax2+bx+c和g（x）=ax2+bx+c•lnx（abc≠0）．
（Ⅰ）证明：当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（Ⅱ）在同一函数图象上取任意两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点C（x0，y0），记直线AB的斜率为k若f（x）满足k=f′（x0），则称其为“K函数”．判断函数f（x）=ax2+bx+c与g（x）=ax2+bx+c•lnx 是否为“K函数”？并证明你的结论．
22．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2
=9内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点． （1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；
（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．
23．设函数f （x ）=ax 2+bx+c （a ≠0）为奇函数，其图象在点（1，f （1））处的切线与直线x ﹣6y ﹣7=0垂直，导函数
f ′（x ）的最小值为﹣12． （1）求a ，b ，c 的值；
（2）求函数f （x ）的单调递增区间，并求函数f （x ）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．
24．（本题满分15分）
正项数列}{n a 满足12
1223+++=+n n n n a a a a ，11=a ．
（1）证明：对任意的*
N n ∈，12+≤n n a a ；
（2）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的*
N n ∈，32121
<≤-
-n n S ．
【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.
木兰县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】
考点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义.
2．【答案】B
【解析】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）
|}
将x2﹣y=0代入x2+y2=1，
得y2+y﹣1=0，△=5＞0，
所以方程组有两组解，
因此集合M∩N中元素的个数为2个，
故选B．
【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题
3．【答案】
C
【解析】【专题】排列组合．
【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有
种取法，由此可得结论．
【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红
色卡片，共有种取法，
故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472
故选C．
【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．
4．【答案】D
5．【答案】A
【解析】解：∵向量=（1，n），=（﹣1，n﹣2），且与共线．
∴1×（n﹣2）=﹣1×n，解之得n=1
故选：A
6．【答案】D
【解析】解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，
所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣π）=﹣sin2x．
故选D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移x加与减，上下平移，y的另一侧加与减．
7．【答案】D
【解析】
考点：多面体的表面上最短距离问题．
【方法点晴】本题主要考查了多面体和旋转体的表面上的最短距离问题，其中解答中涉及到多面体与旋转体的侧面展开图的应用、直角三角形的勾股定理的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，学生的空间想象能力、以及转化与化归思想的应用，试题属于基础题．
8．【答案】B
【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，
当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；
当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；
当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或，
故这些可能的“特征值”的最大值为．
故选：B．
【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．
9．【答案】C
【解析】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）n+1，绝对值为3n ﹣2，故通项公式a n=（﹣1）n+1（3n﹣2）．
故选：C．
10．【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），
由于也在此直线上，
所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当x1≠x2时，直线的斜率存在，且有，
又x2﹣a为无理数，而为有理数，
所以只能是，且y2﹣y1=0，
即；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；
所以，正确的选项为C．
故选：C．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
11．【答案】C
【解析】解：∵b=，c=3，B=30°，
∴由余弦定理b2
=a2+c2﹣2accosB，可得：3=9+a2﹣3，整理可得：a2﹣3a+6=0，
∴解得：a=或2．
故选：C．
12．【答案】A
【解析】解：如图，
E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E，
对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置，
面BCD1的面积为定值，
要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1的面积和最大，
而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，
∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大．
故选：A．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
二、填空题
13．【答案】a≤0或a≥3．
【解析】解：∵A={x|x≤1或x≥3}，B={x|a≤x≤a+1}，且A∩B=B，
∴B⊆A，
则有a+1≤1或a≥3，
解得：a≤0或a≥3，
故答案为：a≤0或a≥3．
14．【答案】（1，±2）．
【解析】解：设点P坐标为（a2，a）
依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2
a2+2=，求得a=±2
∴点P的坐标为（1，±2）
故答案为：（1，±2）．
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．
15．【答案】②③④⑤
【解析】解：①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数，不正确，取x=，，但是
，，因此不是单调递增函数；
②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点，正确；
③数列{a n}为等差数列，设数列{a n}的前n项和为S n，S10＞0，S11＜0，∴=5（a6+a5）＞0，
=11a6＜0，
∴a5+a6＞0，a6＜0，∴a5＞0．因此S n最大值为S5，正确；
④在△ABC中，cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2sin（A+B）sin（B﹣A）＜0⇔A＞B，因此正确；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确．
其中正确命题的序号是②③④⑤．
【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
16．【答案】．
【解析】解：在区间[﹣2，3]上任取一个数a，
则﹣2≤a≤3，对应的区间长度为3﹣（﹣2）=5，
若f（x）=x3﹣ax2+（a+2）x有极值，
则f'（x）=x2﹣2ax+（a+2）=0有两个不同的根，
即判别式△=4a2﹣4（a+2）＞0，
解得a＞2或a＜﹣1，
∴﹣2≤a＜﹣1或2＜a≤3，
则对应的区间长度为﹣1﹣（﹣2）+3﹣2=1+1=2，
∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=，
故答案为：
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键．
17．【答案】cm3．
【解析】解：如图所示，
由三视图可知：
该几何体为三棱锥P﹣ABC．
该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，
由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2，
由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，
故几何体的体积V=×8×4=cm3，
故答案为：cm3
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．18．【答案】y=cosx．
【解析】解：把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得，即y=cos2x的图象，把y=cos2x
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx的图象；
故答案为：y=cosx．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：正方形ABCD中，CD BA，正方形ABEF中，EF BA．…
∴EF CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴CE∥DF．…
又DF⊂平面ADF，CE⊄平面ADF，∴CE∥平面ADF．…
（Ⅱ）解：∵BE=BC=2，CE=，∴CE2
=BC2+BE2．
∴△BCE为直角三角形，BE⊥BC，…
又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA⊂平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD．…
以B为原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），
F（0，2，2），A（0，2，0），=（2，2，0），=（0，2，2）．
设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．
由，，得可取=（1，﹣1，1），…
又=（0，﹣2，m），于是sinφ==，
∵30°≤φ≤45°，∴，即…
结合0＜m＜2，解得0，即BK的取值范围为（0，4﹣]．…
【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
20．【答案】
【解析】解：∵，
∴f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），
∴当x∈[﹣1，﹣），（1，2]时，f′（x）＞0；
当x∈（﹣，1）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在[﹣1，﹣），（1，2]上单调递增，在（﹣，1）上单调递减；
且f（﹣）=﹣﹣×+2×+5=5+，f（2）=8﹣×4﹣2×2+5=7；
故f max（x）=f（2）=7；
故对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立可化为7＜m；
故实数m的取值范围为（7，+∞）．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：如果g（x）是定义域（0，+∞）上的增函数，
则有g′（x）=2ax+b+=＞0；
从而有2ax2+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立；
又∵a＜0，则结合二次函数的图象可得，2ax2+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立不可能，故当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（Ⅱ）函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”，g（x）=ax2+bx+c•lnx不是“K函数”，
事实上，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，
k==a（x1+x2）+b=2ax0+b；
又f′（x0）=2ax0+b，
故k=f′（x0）；
故函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”；
对于函数g（x）=ax2+bx+c•lnx，
不妨设0＜x1＜x2，则k==2ax0+b+；
而g′（x0）=2ax0+b+；
故=，化简可得，
=；
设t=，则0＜t＜1，lnt=；
设s（t）=lnt﹣；则s′（t）=＞0；
则s（t）=lnt﹣是（0，1）上的增函数，
故s（t）＜s（1）=0；
则lnt≠；
故g（x）=ax2+bx+c•lnx不是“K函数”．
【点评】本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的接受能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】
【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；
【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．
（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为，即x+2y﹣6=0．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），即﹣ax3﹣bx+c=﹣ax3﹣bx﹣c，∴c=0．
∵f′（x）=3ax2+b的最小值为﹣12，∴b=﹣12．
又直线x﹣6y﹣7=0的斜率为，则f′（1）=3a+b=﹣6，得a=2，
∴a=2，b=﹣12，c=0；
（2）由（1）知f（x）=2x3﹣12x，∴f′（x）=6x2﹣12=6（x+）（x﹣），
，
）
∵f（﹣1）=10，f（）=﹣8，f（3）=18，
∴f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f（）=﹣8．
24．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.。