高中数学 第一章 三角函数 143 正切函数的性质与图象(第1课时)学案 新人教A版必修4 学案

1.4.3正切函数的性质与图象（1）
一、三维目标:
知识与技能: 1.会用单位圆中的正切线作正切函数的图象；
2.用正切函数图象解决有关的性质问题。

过程与方法: 1.理解并掌握作正切函数图象的方法；
2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法。

情感态度价值观: 培养认真学习的精神。

二、学习重、难点：
重点: 用单位圆中的正切线作正切函数图象。

难点: 正切函数的性质。

三、学法指导: 认真阅读教材,对教材的内容进行分析。

四、知识链接：
B问题1：正弦曲线是怎样画的？
B问题2：正切线是怎样画的?
B问题3：试画出下列各角的正切线：
．下面我们来作正切函数的图象。

五、学习过程：
1. 正切函数tan
y x
=的定义域是什么？
2．正切函数是不是周期函数？
()
tan tan,,
2
x x x R x k k z
π
ππ
⎛⎫
+=∈≠+∈
⎪
⎝⎭
且，
∴π是tan,,
2
y x x R x k k z
π
π
⎛⎫
=∈
≠
+∈
⎪
⎝⎭
且的一个周期。

π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

3．作tan
y x
=，x∈⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
2
,
2
π
π
的图象。

说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数。

R
x
x
y∈
=tan，且()z
k
k
x∈
+
≠π
π
2
的图象，称“正切曲线”。

（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2
x k k Z π
π=+
∈所隔开的无穷多支曲线组
成的。

4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：
；
（2）值域： ；
观察：当x 从小于()z k k ∈+2π
π，2
π+π−→−k x 时，tan x −−
→+∞ 当x 从大于
()z k k ∈+ππ
2
，ππ
k x +−→−
2
时，-∞−→−
x tan 。

（3）周期性：T = ；
（4）奇偶性：由()tan x -= 知，正切函数是 函数； （5）单调性：在开区间（ ， ）k Z ∈内，函数单调递增。

5.讲解范例： B 例1.比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭
⎫
⎝⎛-517tan π的大小。

C 例2.已知函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=4tan πx y ，求它的定义域、值域和周期。

C 例3.求下列函数的周期： （1）3tan 5y x π⎛⎫
=+ ⎪
⎝
⎭ （2）tan 36y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
说明：函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠的周期T πω
=。

C 例4.观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tan 0x >。

六、达标检测:
B1.求函数tan 2y x =的定义域、值域和周期、并作出它在区间[]
,ππ-内的图象。

π2
-π
-2
π2
3
七、学习小结： 本节课学习了以下内容：
1.因为正切函数x y tan =的定义域是},2
,|{Z k k x R x x ∈+
≠∈π
π，所以它的图象被, (2)
3
,2ππ
±±
=x 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。

2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。

3.讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y ＝tan(ωx )，x ≠
ω
π
ω
π
2+
k (k ∈Z)的周期T ＝
ω
π
；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的。

八、课后反思:
在正余弦函数图象与性质的研究的启发下，学生对正切函数的图象与性质较易理解，但容易忽略正切函数周期简图象的不连续性。

1.4.3正切函数的性质与图象（1）
例1、1317tan tan 45
ππ
⎛⎫⎛⎫
-
>-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
例2、 定义域为,4x x k k Z π
π⎧⎫
≠+
∈⎨⎬⎩
⎭
，值域为R,周期为π 例3、 ()1.,T π= ()2.3
T π
=
例4、(,),2
k k k Z π
ππ+
∈
达标检测
函数y ＝tan2x 的定义域为,24k x x k Z ππ⎧⎫
≠
+∈⎨⎬⎩⎭
,值域为R,周期为2π。