【最新】人教版九年级数学上册课件：24.2.2 第3课时切线长定理【精品】

在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
OP=5 3cm.
即铁环的半径为 5 3cm.
13
练一练
PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= 5 ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
A
O
P
B
14
二 三角形的内切圆及作法
互动探究
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的 三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才 能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
37
课堂小结
切线长 切线长 定理
三角形 内切圆
原理 作用
辅助线
有关概念 应用
图形的轴对称性
提供了证线段和 角相等的新方法
① 分别连接圆心和切点； ② 连接两切点； ③ 连接圆心和圆外一点.
内心概念及性质
运用切线长定理，将相等线段 转化集中到某条边上，从而建 立方程.
38
圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r. 三角形角平分线的这个 性质，你还记得吗？
三圆角心形I应三是条三角角平形分的线三交条 为什么呢？
于角一平点分，线这的一交点与. 三角 形的三边距离相等.
17
做一做
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
A
N
作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和 CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. M 3.以O为圆心，OD为半径作 圆O.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
A
E
F
I
IA，IB，IC是△ABC的角
平分线，IE=IF=IG.
B
G
C
22
例3 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是 △ABC的内心，求∠ BIC的度数.
解：连接IB，IC.
∵点I是△ABC的内心，
∴IB，IC分别是∠ B，∠C的平分线，
在△IBC中，
O
☉O就是所求的圆.
B
D
C
18
知识要点
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
A ☉I是△ABC的内切圆，点
I是△ABC的内心，△ABC是
I
☉I的外切三角形.
B
C
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三 三角形的内心的性质
互动探究
问题1 如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段OA，
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分
别是圆外一点和切点，可以度量．
5
问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设
圆上与点A重合的点为B．
➢ OB是☉O的一条半径吗？
A
➢ PB是☉O的切线吗？
O.
P
➢ PA、PB有何关系？
B
➢ ∠APO和∠BPO有何关系？
（利用图形轴对称性解释）
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5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和 △ABC的外接圆相交于点D. 求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD， ∴BD=ID．
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
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例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如 下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为
30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到 相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相
切且测得PA=5cm，求铁环的半径．
B
BIC 180 (IBC ICB)
180 1 (B C) 2
180 1 (43 61 ) 128 . 2
A I
C
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例4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等 边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上 底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边 三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.
3
讲授新课
一 切线长定理及应用
互动探究
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线 (如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的 切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
A
A
P O
O.
P
B
B
4
知识要点
1.切线长的定义：
切线上一点到切点
A
之间的线段的长叫作这
点到圆的切线长．
O P
2.切线长与切线的区别在哪里？
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
9
想一想：若延长PO交⊙O于点C， A
连结CA、CB，你又能得出什么
C
O.
新的结论?并给出证明.
P
CA=CB
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
2
2
E
OO
C
D
B
31
3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边 为c，则其内切圆的半径r为__r__a___b__c__（以含a、
2
b、c的代数式表示r）.
解析：过点O分别作AC，BC，
AB的垂线，垂足分别为D，E，F.
则AD=AC-DC=b-r,
BF=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,
该木模可以抽象为几何如下几何图形.
24
解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∵ △ABC是等边三角形,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线
A
∴ ∠OAB=∠OBA=30o
∵OD⊥AB，AB=3cm，
D
∴AD=BD= 1 AB=1.5(cm)
rO
2
3
∴OD=AD·tan30o= 2 (cm)
B
C
答:圆柱底面圆的半径为 3cm.
2
25
例5 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求
AF、BD、CE的长.
A
想O
B
C
D
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解: 设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）， ∴∠DOC=∠BOC. ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∴∠BOC=∠OED， ∴DE∥OC．
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
35
方法二：
证明：连接BD， ∵AC切⊙O于点D，AC切⊙O于点B， ∴DC=BC，OC平分∠DCB.
∴OC⊥BD.
∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD. ∴DE∥OC．
OB ,OC有什么特点？
线段OA，OB ,OC
A
分别是∠A，∠B，
∠C的平分线.
I
B
C
20
问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂 足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什
么关系？
A
E
F
I
IE=IF=IG
B
G
C
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知识要点
三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的角平分线上.
证明：∵PA切☉O于点A， O.
P
∴ OA⊥PA.
B
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
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想一想：若连结两切点A、B，AB交
A
OP于点M.你又能得出什么新的结论? O. M
并给出证明.
P
OP垂直平分AB.
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∠ACB= 80 °,则∠BOC= 110 °.
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3.如图，在△ABC中，点I是内心，
（1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=1_2_0_°__. （2）若∠A=80 °，则∠BIC = 130 度.
（3）若∠BIC=100 °，则∠A = 20 度.
（4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数
所以a-r+b-r=c,
所以
r
a
b 2
c
.
A
c
F DrO
C
E
B
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当堂练习
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，
如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= 20 ° ,PB=4 .
A
A
P O
O
B 第1题
B 第2题 C
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °,
∴PC=PC.
∴ △PCA ≌ △PCB，
∴AC=BC.
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典例精析
例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、
DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H. D
求证：AB+CD=AD+BC. 证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O H
分别相切与点E、F、G、H，
G C
O· F
A
EB
∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
量关系？ A
BIC 90 1 A.
2
I
B
C
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4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是
AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于
E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，
∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠B=90°.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，
OD＝OB ，OC＝OC
解析：欲求半径OP，取圆的圆
心为O，连OA，OP，由切线性
质知△OPA为直角三角形，从
O
而在Rt△OPA中由勾股定理易求
得半径．
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解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆 心为O，连接OP、OA.
∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为 ∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.
O
Q
又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°， ∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
24.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1
学习目标 1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点） 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明. （难点）
2
导入新课
情境引入 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一 瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
的比.
A
O R
r
B
C
D
r OD sin∠OBD sin30° 1 .
R OB
2
30
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆 的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
A
S 1 AB OF 1 AC OE 1 BC OD
2
2
2
F
1 ( AB AC BC)r 1 Lr.
A
接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,
O
∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
B
C
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形. D
∴OD BDtan30 3cm. 内切圆半径
BD BD 2 3cm. 外接圆半径 cos 30
29
变式：
求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R
15
问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎 样的位置关系？
最大的圆与三角 形三边都相切
O
O
O O
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问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆 心I应满足什么条件？ (2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
6
知识要点
切线长定理: 过圆外一点作圆的两条
切线，两条切线长相等.圆 心与这一点的连线平分两条 切线的夹角.
几何语言:
PA、PB分别切☉O于A、B
A
O
P
B PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
7
推理验证
已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. A
确定方法
三角形三边
中垂线的交
点
B
图形
A
O
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三 角形的内部．
内心：三 角形内切 圆的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
1.到三边的距离相 等；
2.OA、OB、OC分
别平分∠BAC、
O
∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内
C 部．
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练一练
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外
A
BF=BD=AB-AF=13-x(cm). E
F
由 BD+CD=BC，可得
O
(13-x)+(9-x)=14，
C
D
解得 x=4.
∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转 化集中到某条边上，从而建立方程.
27
比一比
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心