高中数学竞赛讲义(免费)

高中数学竞赛资料
一、高中数学竞赛大纲
全国高中数学联赛
全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试
全国高中数学联赛加试（二试）和国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：
1.平面几何
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，分析几何方法。

2.代数
周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根和系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*
3.初等数论
同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题
圆排列，有重复元素的排列和组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及使用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲
1、数
整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数和最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

2、代数式
综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。

3、方程和不等式
含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。

4、函数
二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。

5、几何
三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。

6、逻辑推理问题
抽屉原理及其简单使用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；极端原理的简单使用；枚举法及其简单使用。

三、高中数学竞赛基础知识
第一章 集合和简易逻辑
一、基础知识
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。

集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。

规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 和B 相等。

如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且
定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或
定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。

定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合
},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞
定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：
（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；
（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =
【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。

（1）若)(C B A x ∈，则A x ∈，且B x ∈或C x ∈，所以)(B A x ∈或)(C A x ∈，即)()(C A B A x ∈；反之，)()(C A B A x ∈，则)(B A x ∈或)(C A x ∈，
即A x ∈且B x ∈或C x ∈，即A x ∈且)(C B x ∈，即).(C B A x ∈
（3）若B C A C x 11 ∈，则A C x 1∈或B C x 1∈，所以A x ∉或B x ∉，所以)(B A x ∉，又I x ∈，所以)(1B A C x ∈，即)(111B A C B C A C ⊆，反之也有
.)(111B C A C B A C ⊆
定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法。

定理3 乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法。

二、方法和例题
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。

例1 设},,{2
2Z y x y x a a M ∈-==，求证：
（1）)(,12Z k M k ∈∈-；
（2）)(,24Z k M k ∈∈-；
（3）若M q M p ∈∈,，则.M pq ∈
[证明]（1）因为Z k k ∈-1,，且22)1(12--=-k k k ，所以.12M k ∈-
（2）假设)(24Z k M k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使2224y x k -=-，由于y x -和y x +有相同的奇偶性，所以))((22y x y x y x +-=-是奇数或4的倍数，不可能等于24-k ，假设不成立，所以.24M k ∉-
（3）设Z b a y x b a q y x p ∈-=-=,,,,,2222，则))((2222b a y x pq --= 22222222a y b x b y a a --+=M ya xb yb xa ∈---=22)()(
（因为Z ya xb Z ya xa ∈-∈-,）。

2．利用子集的定义证明集合相等，先证B A ⊆，再证A B ⊆，则A =B 。

例2 设A ，B 是两个集合，又设集合M 满足
B A M B A B A M B M A ===,，求集合M （用A ，B 表示）。

【解】先证M B A ⊆)( ，若)(B A x ∈，因为B A M A =，所以M x M A x ∈∈, ，所以M B A ⊆)( ；
再证)(B A M ⊆，若M x ∈，则.B A M B A x =∈1）若A x ∈，则
B A M A x =∈；2）若B x ∈，则B A M B x =∈。

所以).(B A M ⊆ 综上，.B A M =
3．分类讨论思想的使用。

例3 }02{},01{},023{222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若C C A A B A == ,，求.,m a
【解】依题设，}2,1{=A ，再由012=-+-a ax x 解得1-=a x 或1=x ，
因为A B A = ，所以A B ⊆，所以A a ∈-1，所以11=-a 或2，所以2=a 或3。

因为C C A = ，所以A C ⊆，若∅=C ，则082<-=∆m ，即2222<<-m ，若∅≠C ，则C ∈1或C ∈2，解得.3=m
综上所述，2=a 或3=a ；3=m 或2222<<-m 。

4．计数原理的使用。

例4 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若I B A = ，求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数。

【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，I B A , 中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。

（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有1024210=个，非空真子集有1022个。

5．配对方法。

例5 给定集合},,3,2,1{n I =的k 个子集：k A A A ,,,21 ，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值。

【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得12-n 对，每一对不能同在
这k 个子集中，因此，12-≤n k ；其次，每一对中必有一个在这k 个子集中出现，否则，若
有一对子集未出现，设为C 1A 和A ，并设∅=1A A ，则A C A 11⊆，从而可以在k 个子
集中再添加A C 1，和已知矛盾，所以12-≥n k 。

综上，12-=n k 。

6．竞赛常用方法和例问题。

定理4 容斥原理；用A 表示集合A 的元素个数，则,B A B A B A -+=
C B A C B C A B A C B A C B A +---++=，
需要xy 此结论可以推广到n 个集合的情况，即∑
∑∑∑=≠≤<<≤=+-=n i k j i j i n k j i j i i n i i A A A A A A A
111 .)1(11 n i i n A =--+-
定义8 集合的划分：若I A A A n = 21，且),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= ，则这些子集的全集叫I 的一个n -划分。

定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。

定理6 抽屉原理：将1+mn 个元素放入)1(>n n 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+m 个元素，也必有一个抽屉放有不多于m 个元素；将无穷多个元素放入n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。

例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。

【解】 记}）2（2,1001{},100,,3,2,1{x x x x A I 记为整除能被且≤≤== ，}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=，由容斥原理，
+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A 7430100151001010061005100=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡，所以不能被2，3，5整除的数有26=-C B A I 个。

例7 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。

由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，和已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数。

又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当
},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==时，恰有912=S ，且S 满足题目条件，所以最少含有912个元素。

例8 求所有自然数)2(≥n n ，使得存在实数n a a a ,,,21 满足：
}.2
)1(,,2,1{}1}{-=≤<≤-n n n j i a a j i 【解】 当2=n 时，1,021==a a ；当3=n 时，3,1,0321===a a a ；当4=n 时， 1,5,2,04321====a a a a 。

下证当5≥n 时，不存在n a a a ,,,21 满足条件。

令n a a a <<<= 210，则.2
)1(-=n n a n 所以必存在某两个下标j i <，使得1-=-n j i a a a ，所以1111--=-=-n n n a a a a 或21a a a n n -=-，即12=a ，所以1,2)1(1-=-=
-n n n a a n n a 或2)1(-=n n a n ，12=a 。

（ⅰ）若1,2
)1(1-=-=-n n n a a n n a ，考虑2-n a ，有22-=-n n a a 或22a a a n n -=-，即22=a ，设22-=-n n a a ，则121----=-n n n n a a a a ，导致矛盾，故只有.22=a 考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或33a a a n n -=-，即33=a ，设23-=-n n a a ，则02212a a a a n n -==---，推出矛盾，设33=a ，则2311a a a a n n -==--，又推出矛盾， 所以4,22==-n a a n 故当5≥n 时，不存在满足条件的实数。

（ⅱ）若1,2
)1(2=-=a n n a n ，考虑2-n a ，有12-=-n n a a 或32a a a n n -=-，即23=a ，这时1223a a a a -=-，推出矛盾，故21-=-n n a a 。

考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或-=-n n a a 33a ，即3a =3，于是123--=-n n a a a a ，矛盾。

因此32-=-n n a a ，所以12211a a a a n n -==---，这又矛盾，所以只有22a a n =-，所以4=n 。

故当5≥n 时，不存在满足条件的实数。

例9 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合i A ，.201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i 求n 的最小值。

【解】 .16min =n
设B 中每个数在所有i A 中最多重复出现k 次，则必有4≤k 。

若不然，数m 出现k 次（4>k ），则.123>k 在m 出现的所有i A 中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，121,,,b m a a }},,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a ，其中61,≤≤∈i A a i ，为满足题意的集合。

i a 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以.4≤k
20个i A 中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以16≥n 。

当16=n 时，如下20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。

例10 集合{1，2，…，3n }可以划分成n 个互不相交的三元集合},,{z y x ，其中z y x 3=+，求满足条件的最小正整数.n
【解】 设其中第i 个三元集为,,,2,1},,,{n i z y x i i =则1+2+…+∑==n i i z
n 1,43 所以∑==+n i i z n n 1
42)13(3。

当n 为偶数时，有n 38，所以8≥n ，当n 为奇数时，有138+n ，所以5≥n ，当5=n 时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以n 的最小值为5。

第二章 二次函数和命题
一、基础知识
1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-a
b 2，下同。

2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。

当a <0时，情况相反。

3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③和函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。

1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象和x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).
2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=a b 2-
,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x a
b 2-≠}和空集∅，f (x )的图象和x 轴有唯一公共点。

3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象和x 轴无公共点。

当a <0时，请读者自己分析。

4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=a b ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a
b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=a
b a
c 442
-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当
x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。

f (x )在[m, n ]上的最小值为f (m)；当x 0>n 时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (n )（以上结论由二次函数图象即可得出）。

定义1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。

不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题由复合命题。

注1 “p 或q ”复合命题只有当p ，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且q ”复合命题只有当p ，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 和“非p ”即“p ”恰好一真一假。

定义2 原命题：若p 则q （p 为条件，q 为结论）；逆命题：若q 则p ；否命题：若非p 则q ；逆否命题：若非q 则非p 。

注2 原命题和其逆否命题同真假。

一个命题的逆命题和否命题同真假。

注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。

定义3 如果命题“若p 则q ”为真，则记为p ⇒q 否则记作p ≠q .在命题“若p 则q ”中，如果已知p ⇒q ,则p 是q 的充分条件；如果q ⇒p ，则称p 是q 的必要条件；如果p ⇒q 但q 不⇒p ，则称p 是q 的充分非必要条件；如果p 不⇒q 但p ⇒q ，则p 称为q 的必要非充分条件；若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件。

二、方法和例题
1．待定系数法。

例1 设方程x 2-x +1=0的两根是α，β，求满足f (α)=β,f (β)=α,f (1)=1的二次函数f (x ).
【解】 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),
则由已知f (α)=β,f (β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a +b +1]=0，
因为方程x 2-x +1=0中△≠0，
所以α≠β，所以(α+β)a +b +1=0.
又α+β=1,所以a +b +1=0.
又因为f (1)=a +b +c =1，
所以c -1=1，所以c =2.
又b =-(a +1)，所以f (x )=ax 2-(a +1)x +2.
再由f (α)=β得a α2-(a +1)α+2=β,
所以a α2-a α+2=α+β=1，所以a α2-a α+1=0.
即a (α2-α+1)+1-a =0,即1-a =0，
所以a =1,
所以f (x )=x 2-2x +2.
2．方程的思想。

例2 已知f (x )=ax 2-c 满足-4≤f (1)≤-1, -1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围。

【解】 因为-4≤f (1)=a -c ≤-1,
所以1≤-f (1)=c -a ≤4.
又-1≤f (2)=4a -c ≤5, f (3)=
38f (2)-3
5f (1), 所以38×(-1)+35≤f (3)≤38×5+35×4, 所以-1≤f (3)≤20.
3．利用二次函数的性质。

例3 已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c ∈R, a ≠0)，若方程f (x )=x 无实根，求证：方程f (f (x ))=x 也无实根。

【证明】若a >0，因为f (x )=x 无实根，所以二次函数g (x )=f (x )-x 图象和x 轴无公共点且开口
向上，所以对任意的x ∈R,f (x )-x >0即f (x )>x ，从而f (f (x ))>f (x )。

所以f (f (x ))>x ，所以方程f (f (x ))=x 无实根。

注：请读者思考例3的逆命题是否正确。

4．利用二次函数表达式解题。

例4 设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，方程f (x )=x 的两根x 1, x 2满足0<x 1<x 2<
a 1, （Ⅰ）当x ∈(0, x 1)时，求证：x <f (x )<x 1；
（Ⅱ）设函数f (x )的图象关于x =x 0对称，求证：x 0<.2
1x 【证明】 因为x 1, x 2是方程f (x )-x =0的两根，所以f (x )-x =a (x -x 1)(x -x 2)，
即f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)+x .
（Ⅰ）当x ∈(0, x 1)时，x -x 1<0, x -x 2<0, a >0，所以f (x )>x .
其次f (x )-x 1=(x -x 1)[a (x -x 2)+1]=a (x -x 1)[x -x 2+a
1]<0，所以f (x )<x 1. 综上，x <f (x )<x 1.
（Ⅱ）f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)+x =ax 2+[1-a (x 1+x 2)]x +ax 1x 2,
所以x 0=a
x x a x x a 21221)(2121-+=-+, 所以012121222210<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-
a x a x x x ， 所以.2
10x x < 5．构造二次函数解题。

例5 已知关于x 的方程(ax +1)2=a 2(a -x 2), a >1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。

【证明】 方程化为2a 2x 2+2ax +1-a 2=0.
构造f (x )=2a 2x 2+2ax +1-a 2,
f (1)=(a +1)2>0, f (-1)=(a -1)2>0, f (0)=1-a 2<0, 即△>0，
所以f (x )在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。

即方程的正根比1小，负根比-1大。

6．定义在区间上的二次函数的最值。

例6 当x 取何值时，函数y =2224)
1(5+++x x x 取最小值？求出这个最小值。

【解】 y =1-222)1(511+++x x ,令=+1
12x u,则0<u ≤1。

y =5u 2-u+1=5201920191012≥+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-u ,
且当101=u 即x =±3时，y m in =20
19. 例7 设变量x 满足x 2+bx ≤-x (b <-1)，并且x 2+bx 的最小值是2
1-
，求b 的值。

【解】 由x 2+bx ≤-x (b <-1)，得0≤x ≤-(b +1). ⅰ)-2
b ≤-(b +1)，即b ≤-2时，x 2+bx 的最小值为-214,422-=-b b ，所以b 2=2，所以2±=b （舍去）。

ⅱ) -
2
b >-(b +1)，即b >-2时，x 2+bx 在[0，-(b +1)]上是减函数， 所以x 2+bx 的最小值为b +1,b +1=-21,b =-2
3. 综上，b =-23. 7.一元二次不等式问题的解法。

例8 已知不等式组⎩⎨⎧>+<-+-1
2022a x a a x x ①②的整数解恰好有两个，求a 的取值范围。

【解】 因为方程x 2-x +a -a 2=0的两根为x 1=a , x 2=1-a ,
若a ≤0，则x 1<x 2.①的解集为a <x <1-a ，由②得x >1-2a .
因为1-2a ≥1-a ，所以a ≤0,所以不等式组无解。

若a >0，ⅰ）当0<a <2
1时，x 1<x 2,①的解集为a <x <1-a . 因为0<a <x <1-a <1，所以不等式组无整数解。

ⅱ）当a =
2
1时，a =1-a ，①无解。

ⅲ）当a >21时，a >1-a ，由②得x >1-2a ， 所以不等式组的解集为1-a <x <a .
又不等式组的整数解恰有2个，
所以a -(1-a )>1且a -(1-a )≤3，
所以1<a ≤2，并且当1<a ≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。

综上，a 的取值范围是1<a ≤2.
8．充分性和必要性。

例9 设定数A ，B ，C 使得不等式
A (x -y )(x -z )+
B (y -z )(y -x )+
C (z -x )(z -y )≥0 ①
对一切实数x ,y ,z 都成立，问A ，B ，C 应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A ，B ，C 的等式或不等式表示条件）
【解】 充要条件为A ，B ，C ≥0且A 2+B 2+C 2≤2(AB +BC +CA ).
先证必要性，①可改写为A (x -y )2-(B -A -C )(y -z )(x -y )+C (y -z )2≥0 ②
若A =0，则由②对一切x ,y ,z ∈R 成立，则只有B =C ，再由①知B =C =0，若A ≠0，则因为②恒成立，所以A >0，△=(B -A -C )2(y -z )2-4AC (y -z )2≤0恒成立，所以(B -A -C )2-4AC ≤0，即A 2+B 2+C 2≤2(AB +BC +CA )
同理有B ≥0，C ≥0，所以必要性成立。

再证充分性，若A ≥0，B ≥0，C ≥0且A 2+B 2+C 2≤2(AB +BC +CA )，
1）若A =0，则由B 2+C 2≤2BC 得(B -C )2≤0，所以B =C ，所以△=0，所以②成立，①成立。

2）若A >0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。

综上，充分性得证。

9．常用结论。

定理1 若a , b ∈R, |a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |.
【证明】 因为-|a |≤a ≤|a |,-|b |≤b ≤|b |，所以-(|a |+|b |)≤a +b ≤|a |+|b |, 所以|a +b |≤|a |+|b |（注：若m>0，则-m ≤x ≤m 等价于|x |≤m ）. 又|a |=|a +b -b |≤|a +b |+|-b |,
即|a |-|b |≤|a +b |.综上定理1得证。

定理2 若a ,b ∈R, 则a 2+b 2≥2ab ；若x ,y ∈R +,则x +y ≥.2xy
(证略)
注 定理2可以推广到n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。

第三章 函数 一、基础知识
定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素和之对应，则称f : A →B 为一个映射。

定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。

定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。

定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。

定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。

A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。

集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。

通常函数由分析式给出，此时函数定义域就是使分析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}.
定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在分析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。

例如：函数y =
x -11的反函数是y =1-x
1
(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。

定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。

定义7 函数的性质。

（1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)<f (x 2) (f (x )>f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。

（2）奇偶性：设函数y =f (x )的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集，若对于任意的x ∈D ，都有f (-x )=-f (x )，则称f (x )是奇函数；若对任意的x ∈D ，都有f (-x )=f (x )，则称f (x )是偶函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。

（3）周期性：对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内每一个数时，f (x +T )=f (x )总成立，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小
的正数T 0，则这个正数叫做函数f (x )的最小正周期。

定义8 如果实数a <b ，则数集{x |a <x <b , x ∈R}叫做开区间，记作（a ,b ），集合{x |a ≤x ≤b ,x ∈R}记作闭区间[a ,b ]，集合{x |a <x ≤b }记作半开半闭区间（a ,b ]，集合{x |a ≤x <b }记作半闭半开区间[a , b )，集合{x |x >a }记作开区间（a , +∞），集合{x |x ≤a }记作半开半闭区间（-∞,a ]. 定义9 函数的图象，点集{(x ,y )|y =f (x ), x ∈D}称为函数y =f (x )的图象，其中D 为f (x )的定义域。

通过画图不难得出函数y =f (x )的图象和其他函数图象之间的关系(a ,b >0)；（1）向右平移a 个单位得到y =f (x -a )的图象；（2）向左平移a 个单位得到y =f (x +a )的图象；（3）向下平移b 个单位得到y =f (x )-b 的图象；（4）和函数y =f (-x )的图象关于y 轴对称；（5）和函数y =-f (-x )的图象关于原点成中心对称；（6）和函数y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称；（7）和函数y =-f (x )的图象关于x 轴对称。

定理3 复合函数y =f [g (x )]的单调性，记住四个字：“同增异减”。

例如y =x
-21
, u=2-x 在（-∞,2）上是减函数，y =
u 1在（0，+∞）上是减函数，所以y =x
-21在（-∞,2）上是增函数。

注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。

这里不做严格论证，求导之后是显然的。

二、方法和例题 1．数形结合法。

例1 求方程|x -1|=x 1
的正根的个数.
【解】 分别画出y =|x -1|和y =
x
1
的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。

例2 求函数f (x )=11363242
4
+--+--x x x x x 的最
大值。

【解】 f (x )=2
22222)0()1()3()2(-+---+-x x x x ，记点P (x , x -2)，A （3，2），B
（0，1），则f (x )表示动点P 到点A 和B 距离的差。

因为|P A |-|P A |≤|AB |=10)12(322=-+,当且仅当P 为AB 延长线和抛物线y =x 2的交点时等号成立。

所以f (x )m ax =.10 2.函数性质的使用。

例3 设x , y ∈R ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-1
)1(1997)1(1
)1(1997)1(3
2
y y x x ，求x +y .
【解】 设f (t )=t 3+1997t ，先证f (t )在（-∞，+∞）上递增。

事实上，若a <b ，则
x
y 1 1
f (b )-f (a )=b 3-a 3+1997(b -a )=(b -a )(b 2+ba +a 2+1997)>0，所以f (t )递增。

由题设f (x -1)=-1=f (1-y )，所以x -1=1-y ，所以x +y =2.
例4 奇函数f (x )在定义域（-1，1）内是减函数，又f (1-a )+f (1-a 2)<0，求a 的取值范围。

【解】 因为f (x ) 是奇函数，所以f (1-a 2)=-f (a 2-1)，由题设f (1-a )<f (a 2-1)。

又f (x )在定义域（-1，1）上递减，所以-1<1-a <a 2-1<1，解得0<a <1。

例5 设f (x )是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k ∈Z , 用I k 表示区间(2k -1, 2k +1]，已知当x ∈I 0时，f (x )=x 2，求f (x )在I k 上的分析式。

【解】 设x ∈I k ，则2k -1<x ≤2k +1， 所以f (x -2k )=(x -2k )2.
又因为f (x )是以2为周期的函数， 所以当x ∈I k 时，f (x )=f (x -2k )=(x -2k )2.
例6 解方程：(3x -1)(15692++-x x )+(2x -3)(131242+-x x +1)=0. 【解】 令m=3x -1, n =2x -3，方程化为 m(42
+m +1)+n (42+n +1)=0. ①
若m=0，则由①得n =0，但m, n 不同时为0，所以m ≠0, n ≠0.
ⅰ)若m>0，则由①得n <0，设f (t )=t (42
+t +1),则f (t )在（0，+∞）上是增函数。

又f (m)=f (-n )，
所以m=-n ，所以3x -1+2x -3=0，所以x =.54
ⅱ)若m<0，且n >0。

同理有m+n =0,x =5
4
,但和m<0矛盾。

综上，方程有唯一实数解x =.5
4
3.配方法。

例7 求函数y =x +12+x 的值域。

【解】 y =x +12+x =2
1
[2x +1+212+x +1]-1 =21(12+x +1)-1≥21-1=-2
1. 当x =-21时，y 取最小值-21，所以函数值域是[-2
1
，+∞）。

4．换元法。

例8 求函数y =(x +1+x -1+2)(2
1x -+1),x ∈[0,1]的值域。

【解】令x +1+x -1=u ，因为x ∈[0,1]，所以2≤u 2=2+22
1x -≤4,所以2≤u ≤2,
所以222+≤22+u ≤2，1≤22u ≤2，所以y =2
2+u ,u 2
∈[2+2，8]。

所以该函数值域为[2+2，8]。

5．判别式法。

例9 求函数y =4
34
322+++-x x x x 的值域。

【解】由函数分析式得(y -1)x 2+3(y +1)x +4y -4=0. ① 当y ≠1时，①式是关于x 的方程有实根。

所以△=9(y +1)2-16(y -1)2≥0，解得
7
1
≤y ≤1. 又当y =1时，存在x =0使分析式成立， 所以函数值域为[
7
1
，7]。

6．关于反函数。

例10 若函数y =f (x )定义域、值域均为R ，且存在反函数。

若f (x )在(-∞,+ ∞)上递增，求证：y =f -1(x )在(-∞,+ ∞)上也是增函数。

【证明】设x 1<x 2, 且y 1=f -1(x 1), y 2=f -1(x 2)，则x 1=f (y 1), x 2=f (y 2)，若y 1≥y 2，则因为f (x )在(-∞,+ ∞)上递增，所以x 1≥x 2和假设矛盾，所以y 1<y 2。

即y =f -1(x )在(-∞,+ ∞)递增。

例11 设函数f (x )=4
2
31
4++x x ，解方程：f (x )=f -1(x ).
【解】 首先f (x )定义域为（-∞，-
32）∪[-4
1
，+∞）；其次，设x 1, x 2是定义域内变量，且x 1<x 2<-
32;231422++x x 231
411++-
x x =)
23)(23()(51212++-x x x x >0, 所以f (x )在（-∞，-
32）上递增，同理f (x )在[-4
1
，+∞）上递增。

在方程f (x )=f -1(x )中，记f (x )=f -1(x )=y ，则y ≥0，又由f -1(x )=y 得f (y )=x ，所以x ≥0,所以x ,y ∈
[-4
1
，+∞）. 若x ≠y ，设x <y ，则f (x )=y <f (y )=x ，矛盾。

同理若x >y 也可得出矛盾。

所以x =y . 即f (x )=x ，化简得3x 5+2x 4-4x -1=0, 即(x -1)(3x 4+5x 3+5x 2+5x +1)=0,
因为x ≥0，所以3x 4+5x 3+5x 2+5x +1>0，所以x =1. 第四章 几个初等函数的性质 一、基础知识
1．指数函数及其性质：形如y =a x (a >0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。

2．分数指数幂：n
m
n m
n n
n m n
m n n
a
a a
a
a a
a a
1
,1,,1
====-
-。

3．对数函数及其性质：形如y =log a x (a >0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），
值域为R ，图象过定点（1，0）。

当0<a <1，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数。

4．对数的性质（M>0, N >0）； 1）a x =M ⇔x =log a M(a >0, a ≠1)； 2）log a (M N )= log a M+ log a N ； 3）log a （
N
M
）= log a M- log a N ；4）log a M n =n log a M ；， 5）log a
n
M =n 1
log a M ；6）a loga M =M; 7) log a b =a
b c c log log (a ,b ,c >0, a , c ≠1).
5. 函数y =x +x
a （a >0）的单调递增区间是(]a -∞-,和[
)+∞,a ，单调递减区间为[)
,a -和(]
a ,0。

（请读者自己用定义证明）
6．连续函数的性质：若a <b , f (x )在[a , b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )=0在（a ,b ）上至少有一个实根。

二、方法和例题 1．构造函数解题。

例1 已知a , b , c ∈(-1, 1)，求证：ab +bc +ca +1>0.
【证明】 设f (x )=(b +c )x +bc +1 (x ∈(-1, 1))，则f (x )是关于x 的一次函数。

所以要证原不等式成立，只需证f (-1)>0且f (1)>0（因为-1<a <1）. 因为f (-1)=-(b +c )+bc +1=(1-b )(1-c )>0， f (1)=b +c +bc +a =(1+b )(1+c )>0， 所以f (a )>0，即ab +bc +ca +1>0.
例2 （柯西不等式）若a 1, a 2,…,a n 是不全为0的实数，b 1, b 2,…,b n ∈R ，则（
∑=n
i i
a
1
2
）·（
∑=n
i i
b
1
2
）
≥(
∑=n
i i
i b
a 1
)2，等号当且仅当存在∈μR ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 时成立。

【证明】 令f (x )= （
∑=n
i i
a
1
2）x 2
-2(
∑=n
i i
i b
a 1
)x +
∑=n
i i b 1
2=∑=-n
i i i
b x a
1
2)(,
因为
∑=n
i i
a
1
2>0，且对任意x ∈R, f (x )≥0，
所以△=4(
∑=n
i i
i b
a 1)-4（
∑=n
i i
a
1
2）(
∑=n
i i
b
12)≤0.
展开得（
∑=n
i i
a
1
2）(
∑=n
i i
b
1
2)≥(
∑=n
i i
i
b
a 1
)2。

等号成立等价于f (x )=0有实根，即存在μ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 。

例3 设x , y ∈R +, x +y =c , c 为常数且c ∈(0, 2]，求u=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
y y x x 11的最小值。

【解】u=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
y y x x 11=xy +xy x y y x 1++≥xy +xy 1+2·x y
y x ⋅ =xy +
xy
1
+2. 令xy =t ，则0<t =xy ≤44)(22c y x =+,设f (t )=t +t
1
,0<t ≤.42c 因为0<c ≤2，所以0<42
c ≤1，所以f (t )在⎥⎦
⎤ ⎝⎛4,02c 上单调递减。

所以f (t )m in =f (42c )=42c +24c ，所以u ≥42c +24c +2.
当x =y =2
c
时，等号成立. 所以u 的最小值为42c +24c +2.
2．指数和对数的运算技巧。

例4 设p , q ∈R +且满足log 9p = log 12q = log 16(p +q )，求
p
q
的值。

【解】 令log 9p = log 12q = log 16(p +q )=t ，则p =9 t , q =12 t , p +q =16t ，
所以9 t
+12 t
=16 t
，即1+.34342t
t ⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛
记x =t
t t p q ⎪⎭
⎫
⎝⎛==34912，则1+x =x 2，解得.251±=x 又
p q >0，所以p
q =.25
1± 例5 对于正整数a , b , c (a ≤b ≤c )和实数x , y , z , w ，若a x =b y =c z =70w ，且w
z y x 1
111=++，求证：a +b =c .
【证明】 由a x =b y =c z =70w 取常用对数得xlga =ylgb =zlgc =wlg 70. 所以
w 1lga =x 1lg 70, w 1lgb =y 1lg 70, w
1lgc =z 1
lg 70，
相加得
w 1
(lga +lgb +lgc )=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++z y x 111lg 70，由题设w z y x 1111=++， 所以lga +lgb +lgc =lg 70，所以lgabc =lg 70.
所以abc =70=2×5×7.
若a =1，则因为xlga =wlg 70，所以w =0和题设矛盾，所以a >1. 又a ≤b ≤c ，且a , b , c 为70的正约数，所以只有a =2, b =5, c =7. 所以a +b =c .
例6 已知x ≠1, ac ≠1, a ≠1, c ≠1. 且log a x +log c x =2log b x ，求证c 2=(ac )logab . 【证明】 由题设log a x +log c x =2log b x ，化为以a 为底的对数，得
b
x
c x x a a a a a log log 2log log log =
+
， 因为ac >0, ac ≠1，所以log a b =log ac c 2，所以c 2=(ac )logab .
注：指数和对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。

3．指数和对数方程的解法。

解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。

值得注意的是函数单调性的使用和未知数范围的讨论。

例7 解方程：3x +4 x +5 x =6 x .
【解】 方程可化为x
x x ⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛653221=1。

设f (x )=
x
x x ⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛653221, 则f (x )在(-∞,+∞)上是减函数，因为f (3)=1，所以方程只有一个解x =3.
例8 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==++312x y
y x
y x y x （其中x , y ∈R +）.
【解】 两边取对数，则原方程组可化为.3lg )(lg 12lg )(⎩
⎨⎧=+=+glx y y x y
x y x ①②
把①代入②得(x +y )2lgx =36lgx ，所以[(x +y )2-36]lgx =0.
由lgx =0得x =1，由(x +y )2-36=0(x , y ∈R +)得x +y =6， 代入①得lgx =2lgy ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0. 又y >0，所以y =2, x =4. 所以方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨
⎧==2
4
;1122
11y x y x . 例9 已知a >0, a ≠1，试求使方程log a (x -ak )=log a 2(x 2-a 2)有解的k 的取值范围。

【解】由对数性质知，原方程的解x 应满足⎪⎩
⎪
⎨⎧>->--=-00)(222
22a x ak x a x ak x .①②③
若①、②同时成立，则③必成立，
故只需解⎩⎨⎧>--=-0
)(2
22ak x a x ak x .
由①可得2kx =a (1+k 2)， ④
当k =0时，④无解；当k ≠0时，④的解是x =k k a 2)1(2+，代入②得k
k 212
+>k .
若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1.
综上，当k ∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时，原方程有解。

第五章 数列 一、基础知识
定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。

其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。

若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d.
定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =
d n n na a a n n 2
)
1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，
则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不
为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a n
n =+1
，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。

定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1
；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q
q a n --1)
1(1；当
q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。

定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞
→
定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为
q
a -11
（由极限的定义可得）。

定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。

竞赛常用定理
定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。

定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,。