2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《不等式的解法》

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《不等式的解法》
【题型一】：一元二次不等式的解法 【题型二】：高次不等式的解法 【题型三】：无理不等式的解法 【题型四】：指对不等式的解法 【题型一】：一元二次不等式的解法
【例1】. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集。

【解析】由题意可知方程20x mx n +-=的两根为4x =和5x =
由韦达定理有45m +=-，45n ⨯=- ∴9m =-，20n =-
∴210nx mx +->化为220910x x --->，即220910x x ++<
(41)(51)0x x ++<，解得11
45
x -<<-，
故不等式210nx mx +->的解集为11
(,)45
--.
【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。

【变式训练】：
【变式1】已知220ax x c ++>的解为11
32
x -<<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->.
【解析】由韦达定理有：11232a -+=-，1132c
a
-⋅=，∴12a =-,2c =.
∴代入不等式220cx x a -+->得222120x x -++>， 即260x x --<，(3)(2)0x x -+<，解得23x -<<， 故不等式220cx x a -+->的解集为：(2,3)-.
【变式2】已知关于x 的不等式20x a x b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式
210bx ax ++>的解集.
【解析】由韦达定理有：1212a b -=+⎧⎨=⨯⎩，解得3
2
a b =-⎧⎨=⎩, 代入不等式210bx ax ++>得
22310x x -+>，即(21)(1)0x x -->，解得1
2
x <
或1x >. ∴210bx ax ++>的解集为：1
(,)(1,)2
-∞+∞.
【例2】．已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

【解析】(1)当m 2+4m-5=0时，m=1或m=-5
若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x 成立，符合题意。

若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x 均成立，所以m=-5舍去。

(2)当m 2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，
由此一元二次不等式的解集为R 知，抛物线y=(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3开口向上，且与x 轴无交点，
所以⎪⎩⎪⎨⎧<-+--=∆>-+0
)5m 4m (12)1m (1605m 4m 2
22，
即⎩⎨⎧<<-<>19
m 15m 1m 或， ∴ 1<m<19。

综上所述，实数m 的取值范围是{m|1≤m<19}。

【总结升华】情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。

举一反三：
【变式1】若关于x 的不等式2(21)10mx m x m -++-≤的解为一切实数，求m 的取值范围. 【解析】当0m =时，原不等式为：10x --≤，即1x ≥-，不符合题意，舍去.
当0m ≠时，原不等式为一元二次不等式，只需0m <且0∆≤，
即2(21)4(1)00
m m m m ⎧+--≤⎨<⎩，解得18m ≤-，
综上，m 的取值范围为：1,8m ⎛
⎤∈-∞- ⎥⎝
⎦.
【变式2】若关于x 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为非空集，求m 的取值范围. 【解析】当0m =时，原不等式为：10x --≥，即1x ≤-，符合题意.
当0m >时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意 当0m <时，只需0∆≥，
即2(21)4(1)00
m m m m ⎧+--≥⎨<⎩，解得108m -≤<，
综上，m 的取值范围为：1
[,)8
m ∈-+∞.
【题型二】：高次不等式的解法
【例3】．解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0;(2)(x 2-5x-6)(1-x)>0. 【解析】(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）.
所以不等式的解集为(-∞,-2)⋃(-1,1)⋃(2,+∞).
(2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)<0.作出函数y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图（图2），所以解集为(-∞,-1)⋃(1,6).
【总结升华】(1)解题中首先观察关于x 的最高次项的系数是否为正数，如果为正数，函数y 在最右边的开区间上的函数值总为正数，因此曲线总在x 轴的上方，这样作草图就可以一蹴而就了，如果不是正数，那么首先化为正数；(2)解高次不等式的步骤可以概括为：找零点、分区间、画草图、写解集.
【变式训练】：
【变式1】解不等式(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0.
【解析】此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，当x 值从大于-1变化到小于-1时（不含-1），y 值符号没有发生变化，而x 值从大于1到小于1时（不含1），y 值符号发生了变化，如图，
故解集为(-2,-1)⋃(-1,1)⋃(3,+∞).
【总结升华】本题可以先对不等式化简再解。

原不等式等价于⎩⎨⎧>--+-≠0
)3)(1)(2(1x x x x
【题型三】：无理不等式的解法 【例4】．解不等式12-x ≤x -2.
解法一：⎪⎩⎪
⎨⎧-≤-≥-≥-2
)2(1202012x x x x 即 ⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≥≤≥≥51221x x x x 或，所以x≥5.
所以原不等式的解集为[5，+∞）.
解法二：设12-x =t (t≥0). 则x=21
2+t .
所以原不等式化为t≤2
1
2+t -2,
所以t 2-2t-3≥0, 即t≤-1或t≥3. 因为 t≥0, 所以 t≥3, 所以 x≥5.
解法3：令y 1=12-x , y 2=x-2, 从而原不等式的解集就是使函数y 1>y 2的x 的取值范围. 在同一坐标系中分别作出两个函数的图象（图）. 设它们交点的横坐标是x 0, 则120-x =x 0-2>0.
解之，得x 0=5或x 0=1（舍）.所以原不等式解集为[5，+∞）.
【总结升华】解法1是通法，要求必须熟练掌握，解法2是换元法，由于不等式两边次数恰是倍数关系，故换元后变为二次不等式，但最终还要解x 的方程.解法3是数形结合法，用图象解题，一般比较简捷、形象、直观，但要注意作图的正确和表达的清晰和完整.
【变式训练】：
【变式】解不等式02)1(≥+-x x
【解析】02)1(02)1(>+-⇔≥+-x x x x 或02)1(=+-x x
02020
10201=+⎩⎨⎧≥+=-⎩⎨⎧>+>-⇔x x x x x 或或⇔ x>1或x=1或x=-2.
所以原不等式的解集是[1,+∞)⋃{-2}.
【题型四】：指对不等式的解法
【例5】.若10,2x ⎛⎫
∀∈ ⎪⎝⎭
,均有9log x a x <(0a >且1a ≠)则实数a 的取值范围是( )
A. 132,1-⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ B.
13
0,2-⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 13
2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 13
1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】()()0,11,a ∈+∞
当1
02
x <<
时,函数9x y =的图像如下图所示:
对任意的1
02
x <<
,总有9log x a x <恒成立 若不等式9log x a x <恒成立,则log a y x =的图像恒在9x y =的图象的上方
log a y x =的图象与9x
y =的图象交于点1,32⎛⎫
⎪⎝⎭
时,此时1
32a -=
故所求的log a y x =的图象对应的底数a 应满足13
2
1a -
≤<故选A.
【变式训练】：
【变式】如图,函数()f x 的图象为折线ACB,则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是( )
A. {}|10x x -<≤
B. {}|11x x -≤≤
C. {}|11x x -<≤
D.{}|12x x -<≤ 【答案】C
【解析】由已知()f x 的图象,在此坐标系内做出()2log 1y x =+的图象,如图
满足不等式()()2log 1f x x ≥+的x 范围是11x -<≤所以不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是
{}|11x x -<≤故选C.
【例6】．解不等式)12(log )1(log )1(log 425.02->-++x x x 【解析】原不等式可化为：)1(log )12(log )1(log 4424-+->+x x x )1)(12(log )1(log 424-->+x x x
所以 ⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧-->+>->->+)1)(12()1(012010
12x x x x x x 所以
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧<<>>->5
021
11x x x x 所以 1<x<5. 所以原不等式的解集为（1，5）.
【总结升华】(1)解对数不等式要考虑原不等式中的定义域；(2)如出现
)1(log )1(log 425.0--=-x x ，往往将此项移项，这样可以避开分式运算；(3)如出现以2和4
为底数的对数，最好统一成4为底的对数，这样可以避开无理式运算.。