江苏省兴化中学2011-2012学年高二下学期2月周末自主练习数学试题

2011—2012学年度第二学期高二数学周末自主练习
2012.2.10.
班级 姓名 成绩
一、填空题（5分×14=70分）
1、已知方程
12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是)2
3
,1( 2、已知椭圆的焦点在x 轴上，长半轴长与短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准
方程为
116
3622=+y x 3、对于直线m 、 n 和平面 α、β、γ，有如下四个命题：;,,//)1(αα⊥⊥n n m m 则若
;//,,)2(ααn n m m 则若⊥⊥;//,,)3(γαβγβα则若⊥⊥,
)4(α⊥m 若
,β⊂m βα⊥则，其中正确的命题的个数是 1
4、下列命题：①若0xy =，则x 、y 中至少有一个为0；②“矩形的对角线相等”的逆命题；③“若a b >，则a b a b +<-”的否命题；④“若0k >，则关于x 的方程
220x x k +-=有实数根”的逆否命题，其中真命题的序号是 ①④
5、设直线30ax y -+=与圆2
2
(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为
a =_____0_____
6、若不等式1x a -<成立的充分不必要条件是
13
22
x <<，则实数a 的取值范围是 13
22
a ≤≤
7、已知直线06:1=++ay x l 和()=++-a y x a l 232:20，则当21//l l 时两直线之间的距离为
3
2
8
8、若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是
π3
8
9、若方程2
2
24380x y kx y k +++++=表示一个圆,则实数k 的取值范围是
)
,4()1,(+∞⋃--∞
10、
（理）已知圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛
⎫--+= ⎪⎝
⎭，若点P (x ，y )在该圆上，
则x ＋y 的最大值为 6
（文）已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ， 则=-m M 32
11
、若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为
3
2
12、在下列四个正方体中,能得出AB ⊥CD 的序号是 ① 13、(理)
已知两曲线的参数方程分别为sin x y θ
θ⎧=⎪⎨=⎪⎩（0≤θ ＜π）和25()4x t t R y t
⎧
=⎪∈⎨⎪=⎩，
则它们的交点坐标为
)
5
5
21(，
(文)若()π2,0∈x ，则函数sin cos y x x x =-的单调递增区间是()
π,0
14、α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： ②③④→①或①③④→② 二、解答题（共90分）
15、设圆C 上的点()3,2A 关于直线02=+y x 的对称点仍在圆上，且直线01=+-y x 被圆
C 截得的弦长为22，求圆C 的方程
解：解：设所求圆的圆心C 的坐标为()b a ,，半径为r ，则有02=+b a ①，
()
()
2
2
2
32r b a =-+-② ，2
2
212⎪⎭⎫
⎝
⎛+-+=b a r ③，由①②③消去r a ,得
()()()2
1323222
2
2
+-+=-+--b b b ，化简得021102
=++b b ，3-=b 或7-=b ，
④
①
则所求圆的方程为()()52362
2
=++-y x 或()()2447142
2
=++-y x
16、写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；
（2）两个焦点坐标分别是（0，-2）和（0,2）且过点P （23-
,2
5
） 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为122
22=+b
y a x )0(>>b a ，
由题意可得,82,102==c a 4,5==∴c a 9452
2222=-=-=∴c a b ，所以所求椭圆标
准方程为
19
252
2=+y x ； （2）因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设椭圆的标准方程为122
22=+b
x a y )0(>>b a ，
由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋2
2)225()23(-+-102
11023+=
102=，10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b ，所以所求标准方程为16
102
2=+x y 解法2：∵ 42
222-=-=a c a b ，∴可设所求方程14
2
222=-+a x a y ，将点（23-,25）的坐标代入可求出10=a ，从而椭圆方程为16
102
2=+x y 17、如图，正三棱柱ABC --111C B A 中（底面是正三角形，侧
棱垂直于底面），D 是BC 的中点，AB =a ， （1）求证：111C B D A ⊥；
（2）判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论 解：(1) 略证：由A 1A ⊥BC 、AD ⊥BC ，得BC ⊥平面A 1AD ，从而BC ⊥A 1D ，又BC ∥B 1C 1，所以A 1D ⊥BC ；
(2)平行，略证：设A 1C 与C 1A 交于点O ，连接OD ，通过证OD 是△A 1CB 的中位线，得出OD //A 1B ，从而A 1B //平面ADC 1
18、（理） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝2cos α， y ＝2＋2sin α.(α为参数)
M 是C 1上的动点，P 点满足OM 2=，P 点的轨迹为曲线C 2，(1)求C 2的参数方程；
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π
3
与C 1的异于极点的交点
为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB （文）设.ln 2)(x x
k
kx x f --
=（1）若0)2(='f ，求过点（2，)2(f ）的直线方程； （2）若)(x f 在其定义域内为单调增函数，求k 的取值范围
解：（理）设P (x ，y )，则由条件知M )2
2(y
x ，，由于M 点在C 1上，所以
A
B
C C 1
B 1
A 1
D
⎩⎨⎧
x
2
＝2cos α， y
2＝2＋2sin α，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos α， y ＝4＋4sin α.∴C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos α，
y ＝4＋4sin α.
(α为参数)；
(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ，射线θ＝π
3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π
3，所以AB ＝|ρ1－ρ2|＝2 3.
（文）由x x k
kx x f ln 2)(--=得2
2222)(x k x kx x x k k x f +-=-+='，
令 0)2(='f ，得54=k ，∵2ln 22
54
254
)2(--⨯=f 2ln 256-=，过点（2，)2(f ）的直线方程为
)1(02ln 256
-=+-x y ，
即2ln 256-=y ；
（2）令)(,2)(2x f k x kx x h 要使+-=在其定义域（0，+∞）上单调递增，只需0)(≥x h 恒成立，由),0(121
2020)(2
2
+∞∈+
=+≥
≥+-≥x x
x x x
k k x kx x h 在即得上恒成立，
∵0>x ，∴21
≥+
x
x ，∴x
x 12+
1≤，∴1≥k
19、（理）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90
底面ABCD ，且1
2
PA AD DC ===
，1AB =，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值
（文）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3
a y x x =
+--，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克，（1）求a 的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解：（理科）证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2
A B C D P M .
（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故
由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD
.
又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==
.
510
|
|||,cos ,2,5||,2||=⋅<=⋅==PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故
（Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,λ=
λλ2
1
,1,1),21,0,1(),,1,1(==-=∴-=---=z y x z y x ，
要使14
,00,.25
AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得
),5
2
,1,51(),52,1,51(,.
0),52
,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0
为所求二面角的平面角，
30304||,||,.555
2cos(,).
3||||2
3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN =
==-∴==-⋅-
故所求的二面角的余弦值 （文科）解：（I ）因为x =5时，y =11，所以
1011, 2.2
a
a +== （II ）由（I ）可知，该商品每日的销售量2210(6),3
y x x =+--所以商场每日销售该商品所
获得的利润222()(3)[10(6)]210(3)(6),363
f x x x x x x x =-+-=+--<<-，从而
2
'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=--
'(),()f x f x ()f x 所以，当x =4时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大
20、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A
，离心率为2
，过点(3, 0)B 的
直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求BM BN ⋅的取值范围；（Ⅲ）设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证：AM AN k k +为定值
解：（Ⅰ）
由题意得22222
411,,2a b a b c c a
⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪
⎪=⎪⎩
解得a =
b =故椭圆C 的方程为22163x y +=；
（Ⅱ）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(3)y k x =-，
由22(3),
1,6
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)121860k x k x k +-+-=，因为直线l 与椭圆C 交于不同
的两点M 、N ，所以由4
2
2
2
1444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得
11k -<<，设M 、N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则2
1221212k x x k +=
+，2122
186
12k x x k -=+，11(3)y k x =-，22(3)y k x =-，所以1212(3)(3)BM BN x x y y ⋅=--+ 2
1212(1)[3()9]k x x x x =+-++223312k k +=+23
322(12)
k =+
+，因为11k -<<， 所以2332322(12)
k <
++≤．故BM BN ⋅的取值范围为(2, 3]； （Ⅲ）由（Ⅱ）得AM AN k k +121211
22
y y x x --=
+
-- 122112(31)(2)(31)(2)(2)(2)
kx k x kx k x x x ---+---=
--121212122(51)()124
2()4kx x k x x k x x x x -++++=-++
2222222(186)(51)12(124)(12)186244(12)k k k k k k k k k --+⋅+++=--++2244
222
k k -+==--，
所以AM AN k k +为定值2-。