(湖北版)2016届高三数学上学期第五次月考试题 理

第五次月考数学理试题【湖北版】
试卷满分：150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

1．已知复数z
满足
z =
( i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部是（ ）
B. C. 12 D.1
2-
2．下列说法中，正确的是（ ）
A ．命题“若2
2
am bm <，则a b <”的逆命题是真命题
B ．命题“存在R x ∈，02>-x x ”的否定是：“任意R x ∈，02
≤-x x ”
C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件
3．某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N （110，102），若P （100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7
4． 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A.3
B.25 C ．12 D.23
5. 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( )
A ．13
B ．23
C ．1
2 D ．16
6. 在数列{}
n a 中，若对任意的*
n N ∈均有
12n n n a a a ++++为定值，且79982,3,4a a a ===，则数
列{
}
n a 的前100项的和100S =( )
A ．132
B ．299
C ．68
D ．99
7. 若函数
2()(,,,)
d
f x a b c d R ax bx c =
∈++的图象
如图所示，则:::a b c d 等于（ ） A ．1:6:5:(8)- B. 1:(6):5:(8)-- C ．1:(6):5:8-
D ．1:6:5:8
8. 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度
()25
731v t t t =-+
+(的单
位:s ,v 的单位:/m s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m )是( )
A ．125ln5+
B ．
11
825ln
3+ C ．425ln5+
D ．450ln 2+
9．已知函数的图象与直线y=m 有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10. 已知点F1、F2分别为双曲线x2a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一
点，若|PF2|2|PF1|
的最小值为9a ，则双曲线的离心率为( )
A ．2
B ．5
C ．3
D ．2或5
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡
对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）
11. 设f(x)＝lg 2＋x 2－x
，则)2()2(x f x f +的定义域为__________________.
12. 已知集合A ＝{(x ，y)|x2＋y2＝1}，B ＝{(x ，y)|kx －y －2≤0}，其中x 、y∈R.若A ⊆B ，则实
数k 的取值范围是________．
13. 菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为____________.
14. 若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_______. （二）选考题
15．（选修4-1：几何证明选讲）如右图，ABC ∆为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ．若,6,5AB AC AE BD ===，则线段CF 的长为________。

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为
O
D
C
B
A
D 1
C 1
B 1
A 1
极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为51x at y t =+⎧⎨
=--⎩（为参数）
，圆C 的极坐标方程
为
)
4πρθ=-.若圆C 关于直线对称，则a 的值为
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知f(x)＝3sin ωx －2sin2ωx
2
(ω>0)的最小正周期为3π. (1)当x∈[π2，3π
4
]时，求函数f(x)的最小值；
(2)在△ABC 中，若f (C)＝1，且2sin2B ＝cosB ＋cos(A －C)，求sinA 的值．
18.（本小题满分12分）每年5月17日为国际电信日，某市电信
公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客
户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.
（1）求某两人选择同一套餐的概率；
（2）若用随机变量X 表示某两人所获优惠金额的总和，求X 的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱柱
1111ABCD A B C D -中，侧面11ADD A ⊥底面ABCD
，11D A D D ==，底
面ABCD 为直角梯形，其中// , BC AD AB AD ⊥，222AD AB BC ===，为AD 中点. （1）求证：
1
//AO 平面1AB C ； （2）求锐二面角C D C A --11的余弦值．
20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：*
121113,,2(2,)44n n n a a a a a n n N +-===+≥∈，数列
{}
n b 满足：
10
b <，
*13(2,)
n n b b n n n N --=≥∈，数列
{}
n b 的前n 项和为
n
S
.
（1）求证：数列}{n n a b -为等比数列； （2）求证：数列
}{n b 为递增数列；
（3）若当且仅当3n =时，n S 取得最小值，求1b 的取值范围．
21．（本小题满分13分）如图，分别过椭圆E ：)
0(12
22
2
>>=+
b a b y a
x 左右焦点1F 、2F 的动直线2
1,l l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于D C B A 、与、不同四点, 直线OD OC OB OA 、、、的斜率1k 、
2k 、3k 、4k 满足4321k k k k +=+．已知当x l 与1
轴重合时，32||=AB ，33
4||=
CD ．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）是否存在定点N M 、，使得||||PN PM +为定值．若存在，求出N M 、点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由． 22．（本小题满分14分） （1）当0>x 时，求证：
e x
x x e ≤≤-
ln 2
（2）当函数x
a y =（1>a ）与函数x y =有且仅有一个交点，求a 的值;
（3）讨论函数|||
|x a y x -=（0>a 且1≠a ）的零点个数.
参考答案
（第21
二.填空题(本题共25分)
11. )4,1()1,4(⋃-- 12. ]3,
3[- 13. 9
14. 6 15. 38
16. 2
17.解∵f(x)＝3sin(ωx)－2·
1－
ω2
＝3sin(ωx)＋cos(ωx)－1＝2sin(ωx ＋π
6
)－1，
由2πω＝3π得ω＝23，∴f(x)＝2sin(23x ＋π
6)－1. (1)由π2≤x≤3π4得π2≤23x ＋π6≤2π3
，
∴当sin(23x ＋π6)＝32时，f(x)min ＝2×3
2－1＝3－1. …………6分
(2)由f(C)＝2sin(23C ＋π6)－1及f(C)＝1，得sin(23C ＋π
6)＝1，
而π6≤23C ＋π6≤5π6， 所以23C ＋π6＝π2，解得C ＝π
2. 在Rt△ABC 中，∵A＋B ＝π
2
，2sin2B ＝cosB ＋cos(A －C)，
∴2cos2A－sinA －sinA ＝0，∴sin2A＋sinA －1＝0，解得sinA ＝－1±5
2.
∵0<sinA<1，∴sinA＝
5－1
2
. …………12分 18.解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为
1111331388228832P =⋅+⋅+⋅=
.
…………4分
(2) 由题意知某两人可获得优惠金额X 的可能取值为400，500，600，700，800，1000.
111(400)8864P X ==⋅=，12136(500)8864P X C ==⋅⋅= 339(600)8864P X ==⋅=，12118(700)8264P X C ==⋅⋅= 121324(800)2864P X C ==⋅⋅=，1116(1000)2264P X ==⋅=
…………8分
综上可得X 的分布列为：
z
y
x
O D
C B
A
D 1
C 1
B 1
A 1
A 1
B 1
C 1
D 1
A
B
C
D
O
169824164005006007008001000775646464646464EX =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
即X 的数学期望为775.
…………12分
19.(1)证明：如图，连接 , CO AC ，则四边形ABCO 为正方形，所以11OC AB A B ==，且
11////OC AB A B ，………2分
故四边形11A B CO 为平行四边形，所以11//AO B C ．
又
1
AO ⊄平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ， 所以
1//AO 平面1AB C . ……………5分
(2)因为
11 , D A D D O =为AD 的中点，所以1 D O AD ⊥，又侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，交线为AD ，故
1D O ⊥底面ABCD 。

…………6分
以O 为原点，所
1 , , OC OD OD 在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的坐标系， 则
()()1,0,0 , 0,1,0 , C D ()()
10,0,1 , 0,1,0D A -，
()()11,1,0 , 0,1,1 , DC DD ∴--()()
1110,1,1 , 1,1,0D A D C DC --==-，
设
()
,,m x y z =为平面
11CDD C 的一个法向量，由1 , m DC m DD ⊥⊥，
得00x y y z -=⎧⎨
-+=⎩
， 令1z =，则
()
1, 1 , 1,1,1y x m ==∴= ．
又设()111,,n x y z =为平面11
AC D 的一个法向量，由111 , n D A n D C ⊥⊥，得111100y z x y --=⎧⎨
-=⎩，令11z =，
则
()111, 1 , 1,1,1y x n =-=-∴=--， …………9分
则
1
cos ,3m n <>=
=-
， 故所求锐二面角C D C A --11的余弦值为1
3． …………12分
注：第2问用几何法做的酌情给分．
20．解：（Ⅰ）
),2(2*
11N n n a a a n n n ∈≥+=-+ ．
}{n a ∴是等差数列．
又
43,4121==
a a
41221)1(41-=⋅-+=
∴n n a n ………………2分
)
,2(331*1N n n n
b b n n ∈≥+=-
)
41
2(31121231412313111--=--=+-++=-∴++n b n b n n b a b n n n n n
)(31
n n a b -=． 又
041
111≠-
=-b a b
41}{1-
-∴b a b n n 是为首项，以31
为公比的等比数列．………………5分
（Ⅱ）
41
2,)31()41(11-=
⋅-=--n a b a b n n n n ．
41
2)31()41(11-+
⋅-=∴-n b b n n ． 当
211)31
)(41(3221,2----=
-≥n n n b b b n 时．
又01<b ， 01>-∴-n n b b ．
}{n b ∴是单调递增数列． ………………8分
（Ⅲ）3=n 当且仅当 时，取最小值
n S ．
⎩⎨⎧><∴00
43b b ， 即2131
5
11()()0443711()()0443b b ⎧+-<⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩，
)11,47(1--∈∴b ．………………12分
21．解：（1）当1l 与x 轴重合时，04321=+=+k k k k ，即43k k -=， ∴ 2l 垂直于x 轴，得322||==a AB ，
33
42||2=
=a b CD ， 得3=a ，2=b ， ∴ 椭圆E 的方程为1
232
2=+y x ．………4分
（2）焦点1F 、2F 坐标分别为(—1，0)、(1，0)．
当直线1l 或2l 斜率不存在时，P 点坐标为(—1，0)或(1，0)．………6分 当直线1l 、2l 斜率存在时，设斜率分别为1m ，2m ，设),(11y x A ，),(22y x B ， 由
⎪⎩
⎪⎨⎧+==+)
1(12
312
2x m y y x 得：0636)32(2
121221=-+++m x m x m ， ∴ 212
1
21326m m x x +-=+，
212
23623m x x m -=+． )2()11(212
1122111221121x x x x m x x x x m x y x y k k ++=+++=+=+24)222(2112
12
11--=--=m m m m m ，
同理4
3k k +242
22
--=
m m ．
∵4321k k k k +=+， ∴
24242
22
2
11
--=
--m m m m ，即0))(2(1221=-+m m m m ．
由题意知21m m ≠， ∴0221=+m m ．
设),(y x P ，则0
211=+-⋅+x y
x y ，即)1(1222±≠=+x x y ，
由当直线1l 或2l 斜率不存在时，P 点坐标为(—1，0)或(1，0)也满足此方程， ∴点),(y x P 在椭圆1
222
=+x y 上，………11分
存在点M(0,-1)和点N(0,1)，使得||||PN PM +为定值，定值为22 。

………13分
22．证明：（1）令
0,2ln )(>-+
=x x e x x f ，0,ln )(>-=x x e
x x g ，
221)(x e x x e x x f -=-=
'，所以)(x f y =在),0(e 上单调递减，在),(∞+e 上单调递增，
∴0)()(min ==e f x f 同理可证
0)()(max ==e g x g ，故得证。

………4分
（2）令x a x h x -=)(，R x ∈，
1ln )(-='a a x h x
，令0)(='x h ，则)(log log e x a a =， )(x h y =在))(log log ,(e a a -∞上单调递减，在)),(log (log ∞+e a a 上单调递增。

,0>∃t 使
12
-≥
a a t ，
当3+≥t x 时，
]))[1(1(1
2)11(121212][][t x a a a a a a a a a a a t x t x t x t x t x --+⋅-≥-+⋅-=⋅-≥⋅-≥
⋅=----222))1)(1(1.(12
-->---+->
t x t x a a ; 22--≥-t x x a
x
当0≤x 时，x x a x
-≤-1, ∴
0)(log log log ))(log (log =-=e e e h a a a a a ，e a e =，1ln =e a ，e
e a 1
=………8分
（3）令
||)(|
|x a x k x -=，R x ∈. )(x k y =是偶函数，01)0(≠=k , 当0≥x 时，x a x k x
-=)(，由（2）知，当e
e a 1
= 时，函数
||)(|
|x a x k x -=有两个零点； 1ln )(-='a a x k x , 当10<<a 时，0)(<'x k , 1)0(=k ，01)1(<-=a k
所以函数||)(|
|x a x k x -=有两个零点；当e
e a 1
1<< 时，1ln )(-='a a x k x
，)(x k y =在
))
(log log ,0(e a a 上单调递减，在
)),(log (log ∞+e a a 上单调递增,
0)(log log log ))(log (log <-=e e e k a a a a a ，01)0(>=k ，
当
3
+≥t x 时，
]))[1(1(1
2)11(121212][][t x a a a a a a a a a a a t x t x t x t x t x --+⋅-≥-+⋅-=⋅-≥⋅-≥
⋅=----222))1)(1(1.(12
-->---+->
t x t x a a ; 22--≥-t x x a
x
所以01)32(>>+t k ，函数|||
|x a y x -=有四个零点；当e
e a 1
>时，)(x k y =在
))(log log ,0(e a a 上单调递减，在
)),(log (log ∞+e a a 上单调递增,且0)(log log log ))(log (log >-=e e e k a a a a a ，
函数
||)(|
|x a x k x -=没有零点。

………13分
综上所述，当10<<a 或e
e a 1=时，函数|||
|x a y x -=有两个零点；当e
e a 11<<时，函数
|||
|x a y x -=有四个零点；当e
e a 1>时，函数||||x a y x -=没有零点。

…14分。