乐昌中等职业技校对口升学数学二轮复习专项练习：直线、平面垂直的判定和性质

直线、平面垂直的判定和性质考点直线、平面垂直的判定和性质
1.如图,在正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中,P为对角线BD
1
的三等分点,P到各顶点的距离
的不同取值有( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案 B
2.如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.
证明(1)由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.
由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得P A⊥BC.
又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC.
所以BC⊥平面PAC.(6分)
(2)连结OG并延长交AC于M,连结QM,QO,由G为△AOC的重心,得M为AC中点. 由Q为PA中点,得QM∥PC.
又O为AB中点,得OM∥BC.
因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO,MO⊂平面QMO,
BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,
所以平面QMO∥平面PBC.
因为QG⊂平面QMO,
所以QG∥平面PBC.(12分)
3.如图,在三棱柱ABC-A
1B
1
C
1
中,侧棱AA
1
⊥底面
ABC,AB=AC=2AA
1=2,∠BAC=120°,D,D
1
分别是线段BC,B
1
C
1
的中点,P是线段AD上
异于端点的点.
(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A
1
BC平行的直线l,说明理由,并证明直线
l⊥平面ADD
1A
1 ;
(2)设(1)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A
1-QC
1
D的体积.锥体体积公式:V=Sh,
其中S为底面面积,h为高
解析(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,
因为l在平面A
1BC外,BC在平面A
1
BC内,
由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A
1
BC. 由已知,AB=AC,D是BC的中点,
所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD.
因为AA
1⊥平面ABC,所以AA
1
⊥直线l.
又因为AD,AA
1在平面ADD
1
A
1
内,且AD与AA
1
相交,
所以直线l⊥平面ADD
1A
1
.(7分)
(2)过D作DE⊥AC于E.
因为AA
1⊥平面ABC,所以DE⊥AA
1
.
又因为AC,AA
1在平面AA
1
C
1
C内,且AC与AA
1
相交,
所以DE⊥平面AA
1C
1 C.
由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°,所以在△ACD中,DE=AD=,
又=A
1C
1
·AA
1
=1,
所以==DE·=××1=.
因此三棱锥A
1-QC
1
D的体积是.(12分)
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,
E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE.
所以ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD.
所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD.
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD∥EF.
所以CD⊥EF.
所以CD⊥平面BEF.
所以平面BEF⊥平面PCD.
5.如图,直四棱柱ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA
1
=3,E为CD上一
点,DE=1,EC=3.
(1)证明:BE⊥平面BB
1C
1 C;
(2)求点B
1到平面EA
1
C
1
的距离.
解析(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2. 在Rt△BEF中,BE=.
在Rt△CFB中,BC=.
在△BEC中,因为BE2+BC2=9=EC2,故BE⊥BC.
由BB
1⊥平面ABCD得BE⊥BB
1
,
所以BE⊥平面BB
1C
1 C.
(2)三棱锥E-A
1B
1
C
1
的体积V=AA
1
·=.
在Rt△A
1D
1
C
1
中,A
1
C
1
==3.
同理,EC
1
==3,
A
1
E==2.
故=3.
设点B
1到平面EA
1
C
1
的距离为d,则三棱锥B
1
-A
1
C
1
E的体积
V=·d·=d,
从而d=,d=.
6.如图,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.
(1)求证:CE∥平面PAD;
(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.
证明(1)证法一:取PA的中点H,连结EH,DH.
因为E为PB的中点,所以EH∥AB,EH=A B.
又AB∥CD,CD=AB,
所以EH∥CD,EH=CD.
因此四边形DCEH是平行四边形.
所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,
因此,CE∥平面PAD.
证法二:连结CF.
因为F为AB的中点,
所以AF=AB.
又CD=AB,
所以AF=CD.
又AF∥CD,
所以四边形AFCD为平行四边形.
因此CF∥AD.
又CF⊄平面PAD,
所以CF∥平面PAD.
因为E,F分别为PB,AB的中点,
所以EF∥PA.
又EF⊄平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
因为CF∩E F=F,
故平面CEF∥平面PAD.
又CE⊂平面CEF,
所以CE∥平面PAD.
(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,
所以EF∥PA.
又AB⊥PA,
所以AB⊥EF.
同理可证AB⊥FG.
又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG, 因此AB⊥平面EFG.
又M,N分别为PD,PC的中点,
所以MN∥CD.
又AB∥CD,
所以MN∥AB.
因此MN⊥平面EFG.
又MN⊂平面EMN,
所以平面EFG⊥平面EMN.。