【B版】人教课标版高中数学必修五教案2-等比数列的前n项和-新版

2.教学背景分析
1）教学内容分析
教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教B版）2.3.3,是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
即：
解得：
当 时， 上式成立
小结：这个方法与哪个方法本质是相同的？
动手尝试，寻找规律，尝试化简
立方差公式
不能，再看几项
符合
分两种情况讨论
时，该数列为常数列， 显然成立。
转化为整式
消去了大量的中间项
预设1：后一项是前一项倍数的形式
预设2：错位之后能抵消的形式
不一定，由 的前几项和组成的
叠加
叠乘
叠加法行不通
构造辅助数列
将 看成 这个数列的通项，利用递推关系求通项公式
方程组法：
方程思想
叠加法
类比方法
正弦定理
利用合比定理
解决复杂问题从简单入手找规律，符合学生认知规律，自然引发学生思考
联想曾经学过的知识，发现规律
归纳猜想出一般结论
明确公式结构，对
进行分类讨论
揭示猜想的价值
分析证明方法，给学生搭建台阶
揭示错位相减法适用的问题类型
观察能力、推理论证的能力
总结提升，形成数学思维的模式
2
五布置作业
1.已知：等比数列 求前n项和
2.已知：数列 的通项公式 求前n项和
课后完成
后测，1题检测学生基本知识的掌握，2题反映学生对方法的理解
3.教学目标(含重、难点)
1)教学目标：
知识与技能：理解等比数列前n项和公式的推导过程，会用公式解决简单问题
过程与方法：经历等比数列求和公式的探索过程，提高观察发现、归纳类比、演绎证明的思维能力
情感、态度与值观价：感受数学知识蕴含的思维价值，发展数学的理性思维
2)教学重点：等比数列前n项和公式的推导
由
后续计算留做作业
思考：尝试总结一下这种方法，我们是如何求出 的。
小结：通过递推公式求通项公式的方法，我们以前就学习过，今天我们将求前n项和 的问题转化为了求数列通项 的问题，这种将未知问题向已知问题转化的方法也是我们数学学习中常用的方法，同学们注意体会。
预设：方法三方程组法
问题4：上述两个递推公式都给出了 与 的关系，还能否找到另一种求 的方法？
回顾我们猜想的过程，是由几种特殊情况归纳猜想出一般结论，这种方法叫作：归纳法
由归纳猜想得出的结论，未必一定正确，所以还需对猜想进行证明。这种归纳推理的方法是数学中合情推理的一种。
在研究数学问题的过程中，常常是先猜再证，并且猜有时比证更困难，因为他是一个从无到有的发现过程。
因此合情推理是数学研究中发现新结论的重要方法。
……
观察第三项的结构，在哪里见过？
只有第三项符合这种结构，我能否猜想第n项也符合这种结构？
看看 和 是否符合结构？
猜想：
猜想所得公式成立的条件是什么？
时 如何表达？
所以：
猜想未必正确，但却能为我们的证明提供方向。
证明：错位相减
问题2：如何证明刚才的猜想？
分类： 时 成立
观察 时， 的结构，这种分式结构的等式如何证明？
从知识的体系来看：本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上，学习等比数列n前项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关求和问题。探索公式的推导、体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。本节内容基础知识和基本技能非常重要，涉及的数学思想、方法较为丰富，因此是重点内容之一。本设计是第一课时的教学内容。
2.3.2等比数列前n项和
1.指导思想与理论依据
本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，坚持面向全体学生，努力设计“适合学生发展得数学教育”，体现“人人学数学”，“不同的人学不同的数学”的理念。教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重要性，注重引导学生主动地进行探索，从而帮助学生树立正确的数学观，但又与教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调“活动”的内化，即在头脑中实现必要的重构或认知结构的重组，从而引起真正的数学思维，提高思维的效益。通过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的，一方面培养学生的社会意识，明确肯定“日常数学”的合理性等，另一方面，再调动学生生活经验的同时，又应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。
此处约定，对于 时 显然成立，因此在后续证明中，我们只研究 的情况。
预设：方法二递推公式——通项公式
问题3： 构成了一个新的数列，它是等比数列吗？它是如何构成的？那么数列 的前n项和 同时也是这个新数列的通项，我们将问题转化为了求数列 通项公式的问题。如何求一个陌生数列的通项公式？
回顾等差数列和等比数列我们是如何求他们的通项公式的？
通过分析 结构繁琐，引出探究公式展思维
二
探究方法
，
拓展思维
二
探究方法
，
拓展思维
二
探究方法
，
拓展思维
三
探究方法
，
拓展思维
预设：方法一合情推理
归纳：
问题1：解决这种形式复杂却有规律的问题，我们可以从简单情况入手，尝试找规律，请同学们写出 ，归纳前几项的规律，根据前几项的结构，能否猜想出 的结构？
等比数列的 还可表示为：
这个表达式已经用 将 表达了出来，能否用这个算式求 ？
所以我们还需对这个公式进行化简，想办法推导出 更简明的表达形式。
回答：定义、通项公式、
性质、前n项和
预设：首项 （或任意一项），公比 ，项数n
项数较少时可以，当项数较多时无法用它来求和
温故知新，形成对知识的整体感知。
明确本节课要研究的主要内容
由②得 ，
代入①得
解得
当 时， 上式成立
小结：此种方法体现了哪种数学思想？
预设：方法四叠加法
问题5：类比等差数列求和的方法，你能想出什么办法来求等比数列前n项和 ？
叠加得：
解得：
当 时， 上式成立
小结：这是什么数学思想方法
预设：方法五合比定理
问题6：利用等比数列定义，
，前面学过类似的结构吗？如何解决求和的问题？
接下来我们研究等比数列也要从这四个方面进行研究，我们已经学习了等比数列的定义、通项公式、性质，今天我们继续研究等比数列的前n项和。
（二）问题引入
想一想，你需要知道关于这个数列的哪些信息，就可以告诉我它的前n项和？
好的，那么这节课要解决的问题就是
问题1：已知等比数列 的首项 ，公比 ，项数 ，求 .
的数学符号表达：
欲证：
只需证：
只需证：
观察发现，两式中有相同的项，于是将②式向后错一位，对齐相同项，再相减
①-②得：
即： 时， ，猜想得证
将 乘 ，再向后错一位，对齐相同项再相减，这种方法叫做错位相减法，错位相减法为什么能够简单的求出 ？
什么样的结构可以使用错位相减法？
这是我们解方程组时常用的消元法。所以我们也可以将这两个等式看成方程组，将中间相同部分看成整体消去求出 ，这种做法体现了数学思想中的整体思想。
3)教学难点：探索等比数列前n项和公式推导的思路与方法
4.教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
教学时间
一
温故知新
，
问题引入
（一）温故知新
问题1：在前面的学习中我们了解了一般数列的研究方法，并对一个特殊的数列等差数列进行了深入研究；请同学们回顾研究等差数列的过程，思考我们研究了等差数列的哪些问题？
揭示思想方法
揭示合情推理对数学结论发现的价值
从另一种视角看待 ，将未知问题转化为已知问题
类比已学知识，为后续证明做铺垫，降低难度
类比已学知识
呈现解题思路
揭示思想方法
引出方程思想
揭示思想方法
类比已学知识
揭示思想方法
预设学生可能出现的方法
揭示方法的本质
5
5
10
5
四总结提升
，
归纳方法
1、回顾本节课我们学习了什么内容？
2、在公式推导中我们运用了哪些方法？
3、体现了什么数学思想方法？
等比数列前n项和公式
合情推理猜想结论，再用错位相减的方法进行证明，体现了消元方法和整体思想
从新的视角将 看成数列 的通项，将求和问题转化为了求数列通项的问题，体现了转化的思想
建立含 的方程组，求出 ，体现了方程思想
转化思想、方程思想、类比方法、归纳方法、分类讨论方法
2）学生情况分析
（1）知识和技能基础：学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。
（2）方法和经验基础：对合情推理的方法还比较陌生，对归纳、方程等思想方法有一定体会。
（3）可能存在的问题：合情推理—演绎证明的逻辑关系不能准确理解，自己独立思考难以得出结论
所以，我们可以尝试寻求 前后两项的递推关系，即 与 的关系，从而求出通项公式。
观察上式，能否找到 与 的关系？
这种递推公式的结构，可用何种方法求
还能找到其他递推关系吗？
这种递推公式的结构符合我们学过的哪种递推关系求通项？如何求
设： 解得：
即：
令： ，
则：
所以，辅助数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列。