湖北省2013高三数学第二次联考 理 版

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1
湖北省2013届高三数学第二次联考 理 新人教版
试卷满分：150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设x R,∈则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的（ ）
.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件
2．已知命题:,p m n 为直线，α为平面，若//,,m n n ⊂α则//m α; 命题:q 若,>a b 则>ac bc ,则下列命题为真命题的是（ ） A ．p 或q
B ．⌝p 或q
C ．⌝p 且q
D ．p 且q
3．设2
2
1
(32)=⎰-a x x dx ,则二项式
26
1()-ax x 展开式中的第4项为（ ） A ．3
1280-x
B ．1280-
C ．240
D ．240-
4．左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为1214,,
,.
A A A 右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输
出
的结果是（ ） 7 9
8 6 3 8
9 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 5．若
23529
++=x y z
，则函数μ的最大值为（ ） A
B ．
C
．
D
6．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为1V ，直径为4的球的体积为2V ，则12:V V =（ ）
侧视图
A ．1:2
B ．2:1
C ．1:1
D ．1:4
7.已知
()21sin ,
42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x '为 ()
f x 的导函数，则
()
f x '的图像是（ ）
8．已知双曲线22
221(0,0)-=>>x y a b a b 右支上的一点
00(,)P x y 到左焦点距离与到右焦点的距离
之差为2
3,
则双曲线的离心率为（ ）
A
B
C ．
D ． 9．已知,x R ∈符号[]x
表示不超过x 的最大整数，若函数
()[]()
0x f x a
x x
=
-≠有且仅有3个零
点，则a 的取值范围是（ ） A ．3443,,4532⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．3443,,4532⎡⎤
⎡⎤⎢⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
C ．1253,,2342⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦
⎣⎭
D ．1253,,2342⎡⎤
⎡⎤⎢⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
10．定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为平面斜坐标系。

在平面斜坐标系xOy 中，若12OP xe ye =+（其中12,e e 分别是斜坐标系x 轴，y 轴正方向上的单位向量，,,x y R O ∈为坐标系原点），则有序数对
(),x y 称为点P 的
斜坐标。

在平面斜坐标系xOy 中，若120,xOy ∠=点C 的斜坐标为
()2,3,则以点C 为圆心，2为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程是（ ）
A ．096422=+--+y x y x
B ．
096422=++++y x y x
C ．03422=+---+xy y x y x
D ．
034.22=+++++xy y x y x
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. （一）必考题（11—14题） 11．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则每天比前一天多织 尺布.(不作近似计算）
12．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为 .
13．已知,x y 满足约束条件603
0-+≥⎧⎪
≤⎨⎪++≥⎩x y x x y k ，且24=+z x y 的最小值为6.
（1）常数=k ;
（2）若实数[]3,3,0,9,
2x y ⎡⎤
∈-∈⎢⎥⎣⎦则点(),P x y 落在上述区域内的概率为 .
14．对于*
,n N ∈把n 表示为
121
0012122222,
k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯当0i =时，1;i a =当1i k ≤≤时，i a 为0或1.记()I n 为上述表示中i a 为0的个数（例如：0210112,4120202,=⨯=⨯+⨯+⨯故()()10,42),I I ==若*,,0,r m N a ∈>则
（1）()2
r
I =
；（2）()21
1m I n
n a -==
∑ .
（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答. 如果全选，则按第15题作答结果计分） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，割线PBC 经过圆心O ，1==OB PB ，OB 绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连PD 交圆O 于点E ,则PE = .
16.（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，过圆
6cos ρ=θ
的圆
心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知锐角△ABC 中的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，定义向量2
(2sin ,3),(2cos 1,cos 2),2B
m B n B ==-且.m n ⊥
（1）求()sin 2cos cos 2sin f x x B x B =-的单调减区间；
（2）如果4,b =求ABC ∆面积的最大值.
18．（本小题满分12分）某市准备从7名报名者（其中男4人，女3人）中选3人参加三个副局长职务竞选.
（1）设所选3人中女副局长人数为X ，求X 的分布列及数学期望；
（2）若选派三个副局长依次到A 、B 、C 三个局上任，求A 局是男副局长的情况下，B 局为女副局长的概率.
19．（本小题满分12分）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC
的中点，2,1,DB DC BC ==
AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,︒如右图.
求证：AE ⊥平面;BDC
求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知数列
{}n a 中，
()*111,,.3n
n n a a a n N a +==
∈+
（1）求数列
{}n a 的通项公式;n a （2）若数列
{}n b 满足
()
31,2n n n n n b a =-数列{}n b 的前n 项和为,n T 若不等式()1n n T λ-<对
一切*
n N ∈恒成立，求λ的取值范围. 21．（本小题满分13分）已知椭圆1,
C 抛物线
2
C 的焦点均在y 轴上，
1
C 的中心和
2
C 的顶点均
为原点
,O 从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
求
12
,C C 的标准方程；
设斜率不为0的动直线l 与1
C 有且只有一个公共点
,P 且与2C 的准线相交于点,Q 试探究：在
坐标平面内是否存在定点,M 使得以PQ 为直径的圆恒过点?M 若存在，求出点M 的坐标；
若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分14分）已知函数
1()ln()=+f x x x ，且()f x 在1
2=
x 处的切线方程为().y g x =
（1）求
()
y g x =的解析式；
（2）证明：当0x >时，恒有
()();
f x
g x ≥
（3）证明：若
()*0,1,,,
i a i n i n N >≤≤∈且
1
1,
n
i
i a
==∑则
212121111.
n
n n n a a a a a a n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++≥ ⎪ ⎪⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭。