高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书第7章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系Word版含解析

第三节空间点、直线、平面之间的位
置关系
[考纲传真 ] 1.理解空间直线、平面地点关系的定义 .2.认识能够作为推理依据的公义和定理 .3.能运用公义、定理和已获取的结论证明一些空间地点关系的简单命题．
1．平面的基天性质
(1)公义 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
(2)公义 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公义 3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2．空间点、直线、平面之间的地点关系
3.平行公义 (公义 4)和等角定理
平行公义：平行于同一条直线的两条直线相互平行．
等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互
补．
4．异面直线所成的角
(1)定义：设 a ，b 是两条异面直线， 经过空间中任一点 O 作直线 a ′∥ a ，b ′ ∥ b ，把 a ′与 b ′所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角．
π
(2)范围： 0，2 .
1．(思虑辨析 )判断以下结论的正误． (正确的打“√”，错误的打“×” )
(1)两个平面 α，β有一个公共点 A ，就说 α， β订交于过 A 点的随意一条直
线．(
)
(2)两两订交的三条直线最多能够确立三个平面．
(
) (3)假如两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
(
)
(4)若直线 a 不平行于平面 α，且 a?α，则 α内的全部直线与 a 异面． (
)
[答案 ](1)× (2)√ (3)× (4)× ． 教材改编 )如图 7-3-1 所示，在正方体 1 1 1 1 中，E ，F 分别是
2 ( ABCD-A B C D
AB ，AD 的中点，则异面直线 B C 与 EF 所成的角的大小为 ( )
1
图 7-3-1
A．30° B.45 °
C．60° D.90 °
C[连结B1D1，D1C，则B1D1∥EF，
故∠D1B1C 为所求的角，
又 B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝ 60°.]
3．在以下命题中，不是公义的是()
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在此
平面内
D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线
A[A不是公义，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基天性质公义．]
线
4．(2016 ·东高考山 )已知直线 a， b 分别在两个不一样的平
面
a 和直线
b 订交”是“平面α和平面β订交”的()
α，β内，则“直
A．充足不用要条件
B．必需不充足条件
C．充要条件
D．既不充足也不用要条件
A[由题意知a?α，b?β，若a，b订交，则a，b有公共点，进而α，β有公
共点，可得出α，β订交；反之，若α，β订交，则 a，b 的地点关系可能为平行、订交或异面．所以“直线 a 和直线 b 订交”是“平面α和平面β订交”的充足不
必需条件．应选 A.]
5．若直线 a⊥b，且直线 a∥平面α，则直线 b 与平面α的地点关系是 ________．
b 与α订交或 b? α或 b∥α
平面的基天性质
如图 7-3-2，正方体 ABCD -A1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点．求证：
图 7-3-2
(1)E， C， D1，F 四点共面；
(2)CE，D1 F，DA 三线共点．
【导学号： 01772249】[证明 ](1)如图，连结 EF， CD1，A1B.
∵E， F 分别是 AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.2 分
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F 四点共面 .5 分
(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，
∴CE 与 D1F 必订交，设交点为P，
则由 P∈直线CE，CE? 平面 ABCD，
得 P∈平面ABCD.8 分
同理 P∈平面ADD 1A1 .
又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝ DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA 三线共点 .12 分
[规律方法 ] 1.证明线共面或点共面的常用方法：
(1)直接法：证明直线平行或订交，进而证明线共面．
(2)归入平面法：先确立一个平面，再证明相关点、线在此平面内．
(3)协助平面法：先证明相关的点、线确立平面α，再证明其他元素确立平面β，最后证明平面α，β重合．
2．证明点共线问题的常用方法：
(1)基天性质法：一般转变为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据基
天性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
(2)归入直线法：选择此中两点确立一条直线，而后证明其他点也在该直线上．
[变式训练 1]
如图 7-3-3 所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形， BC 綊1
，
BE
綊
1
，2AD2FA
G， H 分别为 FA，FD 的中点．
图 7-3-3
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；
(2)C， D，F，E 四点能否共面？为何？
1
[解](1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD，得 GH 綊2AD.2 分
1
又 BC 綊2AD，
∴GH 綊 BC，∴四边形 BCHG 是平行四边形 .5 分
(2)C， D，F，E 四点共面，原因以下：
1
由 BE 綊2AF，G 为 FA 的中点知 BE 綊 GF，
∴四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥ BG.8 分
由(1)知 BG∥CH，∴EF∥CH，
∴EF 与 CH 共面．
又 D∈FH，∴C，D，F，E 四点共面 .12 分
空间直线的地点关系
(1)(2015 广·东高考 )若直线 l1和 l 2是异面直线， l1在平面α内，l2在平面β内， l 是平面α与平面β的交线，则以下命题正确的选项是 ()
【导学号： 01772250】A．l 与 l1， l2都不订交
B．l 与 l 1， l2都订交
C．l 至多与 l1，l 2中的一条订交
D．l 起码与 l 1，l 2中的一条订交
(2)(2017 郑·州模拟 )在图 7-3-4 中，G，H，M ，N 分别是正三棱柱的极点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有 ________(填上全部正确答案的序号 )．
①②③④
图 7-3-4
(1)D(2)②④ [(1) 由直线 l 1和 l2是异面直线可知l1与 l 2不平行，故 l1，l 2中
起码有一条与 l 订交．
(2)图①中，直线GH∥MN ；图②中， G，H，N 三点共面，但M?平面 GHN，
所以直线 GH 与 MN 异面；图③中，连结MG，GM ∥HN，所以 GH 与 MN 共面；图④中， G， M，N 共面，但 H?平面 GMN，所以 GH 与 MN 异面，所以在图②
④中， GH 与 MN 异面． ]
[规律方法 ] 1.异面直线的判断方法：
(1)反证法：先假定两条直线不是异面直线，即两条直线平行或订交，由假
设出发，经过严格的推理，导出矛盾，进而否认假定，一定两条直线异面．
(2)定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线
是异面直线．
2．点、线、面地点关系的判断，要注意几何模型的选用，常借助正方体为
模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的地点关系．
[变式训练 2] (2017 ·烟台质检 )a， b， c 表示不一样的直线， M 表示平面，给出
四个命题：①若 a∥M，b∥M，则 a∥b 或 a，b 订交或 a，b 异面；②若 b? M，a∥b，则 a∥M；③若 a⊥c，b⊥c，则 a∥ b；④若 a⊥ M，b⊥M，则 a∥b.此中
正确的为 ()
A．①④C．③④B.②③D.①②
A[关于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、订交或异面，①为真命题．②中， b? M，a∥b，则 a∥M 或 a? M，②为假命题．命题③中， a 与 b 订交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题． ]
异面直线所成的角
(1)如图 7-3-5，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱
ABCD-A1B1C1D1中， AA1＝ 2AB＝2，则异面直线A1B 与 AD1所成角的余弦值为()
图 7-3-5
12
A.5
B.5
34
C.5
D.5
(2)(2016 全·国卷Ⅰ )平面α过正方体1 1 1 1 的极点A，α∥平面
ABCD-A B C D
1 1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB11＝n，则m，n所成角的正弦值为()
CB D A
32
A. 2
B. 2
31
C. 3
D.3
(1)D (2)A[(1) 连结 BC1，易证 BC1∥AD1，
则∠A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角．
111
连结 A C ，由 AB＝1，AA ＝2，
则 A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5，
在△A1BC1中，由余弦定理得
5＋5－24
cos∠A1BC1＝＝.
2×5×55
(2)设平面 CB1D1∩平面 ABCD＝m1 .
∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.
又平面 ABCD∥平面A1B1C1D1，
且平面 CB1D1∩平面 A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面 CB1D1∩平面 DCC1D1＝ CD1，
同理可证 CD1∥n.
所以直线 m 与 n 所成的角与直线 B1D1与 CD1所成的角相等，即∠CD1B1为 m，n所成的角．
在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，
3
故直线 B1D1与 CD1所成角为 60°，其正弦值为 2 .]
[规律方法 ] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三
种种类：利用图中已有的平行线平移；利用特别点(线段的端点或中点 )作平行线平移；补形平移．
2．求异面直线所成角的三个步骤：
(1)作：经过作平行线，获取订交直线的夹角．
(2)证：证明订交直线夹角为异面直线所成的角．
(3)求：解三角形，求出作出的角，假如求出的角是锐角或直角，则它就是
要求的角，假如求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
[变式训练 3]
如图 7-3-6，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形， C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与 BC 所成角的正切值为 ________．
图 7-3-6
2[取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连结C1D，AD，
则由于 C 是圆柱下底面弧AB 的中点，
所以 AD∥BC，
所以直线 AC1与 AD 所成角等于异面直线AC1与 BC 所成角，由于 C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，
所以 C1D⊥圆柱下底面，所以 C1 D⊥AD.
由于圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以 C1D＝2AD，
所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为2，
高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书第7章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系Word版含解析所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 2.]
[思想与方法 ]
1．主要题型的解题方法
(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确立一个平面，再
证其他直线或点也在这个平面内(即“归入法”)．
(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只需证明这些点都是这
两个平面的公共点，依据公义 3 可知这些点在交线上．
2．判断空间两条直线是异面直线的方法
(1)判断定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线．
(2)反证法：证明两线不行能平行、订交或证明两线不行能共面，进而可得
两线异面．
3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是经过平行挪动直线，把异面
问题转变为订交直线的夹角，表现了转变与化归思想．
[易错与防备 ]
1．异面直线不一样在任何一个平面内，不可以错误地理解为不在某一个平面内
的两条直线就是异面直线．
2．直线与平面的地点关系在判断时最易忽略“线在面内”．
3．两异面直线所成的角归纳到一个三角形的内角时，简单忽略这个三角形
的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．。