线性代数课后参考答案

第一章作业参考答案
1-1. 求以下排列的逆序数：
（1）134782695 （3）13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 解：（1）t=0+0+0+0+4+2+0+4=10
（2）t=0+0+…+0+2+4+6+…+2(n-1)=2(1+2+3+…+n-1)=(1)
2(1)2
n n n n -⨯=-
1-2. 在6阶行列式的定义式中，以下的项各应带有什么符号？ （1）233142561465a a a a a a
解：()12(234516)4,•3126454t t t t ====
128t t t =+=为偶数，故该项带正号。

1-3. 用行列式的定义计算：
（1）
0004
0043
0432
4321
（3）
01
2
3
10
0010001x x x a a a x a ---+
解：（1）
12412312400040
043(1)(1)444425604324
3
21
t
q q q a a a ++=-=-⨯⨯⨯⨯=∑ （3）
1320
1
2
3
1
00010()(1)(1)001x x x x x x a x x a x a a a x a --=⨯⨯⨯++-⨯⨯⨯-⨯-+
233432103210(1)(1)(1)(1)(1)a a x a x a x a x a +-⨯-⨯-⨯+-⨯-⨯=++++
1-4. 计算下列行列式：
（1） 1
1
1
1
111111111111--- （3）
1
2003
40000130
051
- （5）
1111111
1
11111
1
11a a b b
+-+- （7）n a b b b b a b b D b b b a
=
解：（1）111111111111
0200
1(2)(2)(2)81111002011110002
--=
=⨯-⨯-⨯-=-----
（3）
()1200
34001213(1423)113532001334510
05
1
-=⨯=⨯-⨯⨯-⨯-⨯=⎡⎤⎣⎦- （5）11111111111111100000
1111000011110000a a a a a a
a
b a b a b b a b a b
++----=
=+-------
2221
1
1
11
1
00000
0000
00
0000
0a a
a b a a a b b b b
a
b
+
--===---
（7）(1)(1)(1)n a b b b a n b a n b a n b b a b b b a b
D b b b a b b a
+-+-+-=
=
1111111
00
[(1)]
[(1)][(1)]()00000n b
a b a b a n b a n b a n b a b b
b a a b
--=+-=+-=+---
1-5. 证明：
（1）
332()x
y x y y x y x x y x y
x y ++=-++ （3）
2222222222222
2
2
2
(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++
证明：（1）2()2()2()x
y x y x y x y x y y x y x y x y x x y
x y x y x y +++++=
+++
1
111
11
2()
2()0
0x y y x y x x y x
x y x y
x y
y
x
=++=+-+--
2
3
3
2()[()]2()x y x y x y x y =+-+-=-+
（3）
22222222222
2
2
2
2
2
2222
(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469(1)(2)
(3)
21
44
69
(1)(2)(3)214469
a a a a a a a a
b b b b b b b b c
c c c c
c c c
d d d d d d d d ++++++++++++=
++++++++++++
2
22
2
21262126021262126
a a
b b
c c
d d ++=
=++
1-6. 计算下列行列式：
（1）00100
000100
n a a D a a =
（3）123111000
022000001(1)
n n
n n ------ 解：（1）2001
0000
000
00(1)100000
00100
100n
n a a a a a D a a
a a a
==+-⨯⨯
2
n
n a a
-=-
（3）1231
1
2
3
21
11000110000220
0022000001(1)0000
(1)
n n
n n n n n ----=-------
1
12323342101000(1)!(1)002002
(1)
n n n n n n n n +++++++++++--+==
=----
1-7. 解下列方程：
（1）2
42
1123
1223
()023152319x D x x -=
=-
解：要使原方程有解，观察可知只有两种可能：
①当221x -=时，即1x =±时，4()0D x = ②当295x -=时，即2x =±时，4()0D x = 综上所述，原方程的解为1，-1，2，-2
1-8. 设15781
111
20963437
D --=
--，试证：414243440A A A A +++=
证明：根据拉普拉斯定理可知4142434411110A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯=
即414243440A A A A +++=
1-9. 用Cramer 法则解下列方程组：
（1）1234124
23412342583692254760
x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩
解：该方程组的系数行列式为2151
1306270212
1476D ---==--，常数向量89
50β⎛⎫
⎪
⎪= ⎪- ⎪
⎝⎭
18
1
5
1
93068152120476D ---==--- 22
8
5
1
1906
10805121076
D --==----
32
1
8
1
13962702521406D --==-- 42
1
5
8
13092702151470
D --==---
312412343,•4,•1,•1D D D D
x x x x D D D D
∴=
===-==-==
1-10. （1）问λ取何值时，下列齐次方程组有非零解？
12312313
220300x x x x x x x x λλ++=⎧⎪
++=⎨⎪-=⎩
解：要使原方程有解，由定理1.8知222
3
11200
1
λλλλ=+-=- 解得11λ=或22λ=-。

附加题：
计算：n
x x x a x
x a x x
a x x a
x x x
解：(1)(1)(1)(1)n n
x x x a a n x a n x a n x a n x x x a x x x a x
x
a x x x
a x x
a
x x x a
x x x +-+-+-+-=
1
111111
1
000[(1)][(1)]0
000
n x
x a x a x a n x a n x x
a x x a x a
x x x a x
-=+-=+--- (1)
12
[(1)](1)
()n n n a n x a x --=+-⨯--
第二次作业参考答案
2-1设21112210310,103,0161211132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,试求
()32A B C
-,并验证
()()AB C A BC =。

解: 633393
01836A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝
⎭,2442206222B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,4113211361614A B --⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭
()4
1110713211
3601291516143249A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪-=--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
21112223
831
010326
961211191011AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭⎝⎭,
()2
381
022132
690125
1291011322412AB C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1221052103011061113223BC -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()2115222133101062512612232412A BC --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()AB C A BC ∴=
2-2计算下列乘积：
（1）()312321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （2）()21123⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
（3）()11
1213112
321
2223231
32
333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
（7）0110n
⎛⎫ ⎪-⎝⎭
（n 为正整数）
解：(1) ()()()3123234310101⎛⎫
⎪
=++== ⎪ ⎪⎝⎭
(2) ()22411212336-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
(3)
()()11
1213111
2
321
22232111122133
121222233
131232333231
32
3333a a a x x x x x a a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x a a a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪
=++++++ ⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++
（7）令0110n
n A ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
当n=1时，111cos sin 01221011sin cos 22A ππ
ππ⎛⎫ ⎪⎛⎫==
⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
- ⎪⎝⎭
；当n=2时，
210c o s s i n 01s i n c o s A ππππ-⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭
； 当n=3时，333cos sin 01221033sin cos 22A ππ
ππ⎛⎫ ⎪-⎛⎫==
⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
- ⎪⎝⎭
；当n=4时，
410c o s 2s i n 201s i n 2
c o s 2A ππππ⎛⎫⎛
⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；
当n=5时，51155cos sin cos sin 012222
101155sin cos sin cos 2222A ππππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫===
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…… 猜想cos sin 0122
10sin cos 22n n n n A n n ππππ⎛⎫ ⎪
⎛⎫==
⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
- ⎪⎝⎭
下面用数学归纳法证明 当n=1时显然成立
假设当n=k 时猜想成立即cos sin 2
2
sin cos 2
2k k k A k k ππππ⎛
⎫
⎪=
⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭ 则当n=k+1时k 111cos sin 0122
1011sin cos 22k k k A A k k ππππ+++⎛⎫ ⎪
⎛⎫==
⎪ ⎪-++⎝⎭ ⎪- ⎪
⎝⎭
成立 故cos sin 012210sin cos 22n n n n n ππ
ππ⎛⎫ ⎪⎛⎫=
⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
- ⎪⎝⎭
2-4设A ,B 都是n 阶矩阵，问下列等式成立的条件是什么？
（1）()2
22
2A B A AB B +=++ （2）22()()A B A B A B +-=-
（1）()()222()()()A B A B A B A A B B A B A AB BA B +=++=+++=+++
为使()2
2222
2A B A AB BA B A AB B +=+++=++则AB BA =
即原等式成立的条件是AB BA =
（2）()()22()()A B A B A A B B A B A AB BA B +-=-+-=-+- 为使2222()()A B A B A AB BA B A B +-=-+-=-则AB BA = 即原等式成立的条件是AB BA =
2-6设1102A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,求所有与A 可交换的矩阵 解：若矩阵B 与矩阵A 可交换且A 为2⨯2矩阵，按矩阵乘法的定义知B 也必为2⨯2矩阵，不妨设
a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭
则110222a b a c b d AB c d c d ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112022a b a a b BA c d c c d +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，由已知得
AB BA = 2222a c a b d a b c c d c d
+=⎧⎪+=+⎪
∴⎨=⎪
⎪=+⎩0c d a b =⎧∴⎨=+⎩即0a b B a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭由此知所有与A 可交换的矩阵为0a b a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭其
中a,b 为任意常数
2-7已知A 是对角元互不相同的n 阶对角矩阵，即12n a a A a ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
，当i j ≠时，,(,1,,)i j a a i j n ≠= 。

证明：与A 可交换的矩阵必是对角矩阵。

证明：设与A 可交换的矩阵B 为111212122212
n n n n nn b b b b b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，则有 1111211112112212222122221212
000000000000n n n n n n n nn n n nn n a b b b b b b a a b b b b b b a a b b b b b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，即 111112111112121221222221212222121122n n n n n n n n n n n nn n n n nn a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，比较相应元素得()i ij j ij
a b a b i j =≠，
由于
,(,1,,)i j a a i j n ≠= ，所以()0ij b i j =≠，即与A 可交换的矩阵B 只能是对角矩阵。

2-8（1）证明：若A,B 都是n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换。

（2）设A 是一实对称矩阵，且2
A O =,证明：A O = 证明：（1） A,
B 均为n 阶对称矩阵, ,,B B A A T T ==∴ 先证充分性：由于A 与B 可交换，则AB BA =
()()T
T
T T
AB BA A B AB ∴===即AB 是对称矩阵
再证必要性：由于AB 是对称矩阵，则()T
AB AB =
()T
T T
AB B A BA AB ∴===即AB BA =
综上所述，若A,B 都是n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换。

（2）设()
ij
n n
A a ⨯=，由于T
A A =且2
A O =, 所以
211
221
221
21210(1,2,,)n j j n j n
j T ij n j ij j n
nj j a a A AA o a i n a a =====⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪===⇒==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
∑∑∑∑∑
0(,1,2,,)0ij a i j n A ⇒==⇒=
2-9求下列方程的逆矩阵
（1）cos sin sin cos θθθ
θ⎛⎫
⎪-⎝⎭
（3）1000120021301
21
4⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭（5）12n a a a ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ （其中0,1,2,,i a i n ≠= ） 注：其实一般不通过求伴随矩阵来求逆矩阵，因为比较麻烦，通过初等矩阵的推论来求会比较方便。

但作为基础，还是要学会通过求伴随矩阵求逆矩阵。

解：（1）令cos sin sin cos A θθθθ⎛⎫= ⎪-⎝⎭且22
cos sin 10A θθ=+=≠知A 可逆
()2111cos cos A θθ=-=，()()3121sin sin A θθ=--=，()3
211sin sin A θθ
=-=-，
()4
221cos cos A θθ=-=
*
cos sin sin cos A θθθθ-⎛⎫∴= ⎪⎝⎭1
*cos sin 1sin cos A A A θθθθ--⎛⎫∴== ⎪⎝⎭
(3)令1000120021301214A ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭且1234240A =⨯⨯⨯=≠知A 可逆 ()211200113024214A =-=，()312100123012114A =-=-，()4
1312012100124
A =-=，
()5
14120
12133121
A =-=，
()3
21000
11300
214
A =-=，
()4
22100
123012
114
A =-=，
()5
23100
12104124
A =-=-，
()6
24100
12135121A =-=-，
()4
31000
12000214
A =-=，
()5
32100
11001114A =-=-，()6
33100
11208124A =-=，()7
34100
11202121
A =-=-，
()5
41000
12000130
A =-=，
()6
42100
11000
230
A =-=，
()7
43100
11200
210
A =-=，
()8
44100
11206213
A =-=，
*
24000121200124803526A ⎛⎫
⎪-
⎪∴= ⎪--
⎪--⎝⎭1
*240001212001112480243526A A A -⎛⎫
⎪- ⎪∴== ⎪-- ⎪--⎝⎭
(5)令12n a a A a ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎝
⎭ 且120n
A a a a =≠ 易得12n ii i a a a A a = ，当i j ≠时0ij A = 12112*212n n n n a a a a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
11
*211
11n a a A A A
a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∴== ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
2-10设100220345A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
, *
A 是A 的伴随矩阵，求*1()A -
解：11*1**1*1100**1()()()22010345A A A A A AA A E A A A A A A A A -----⎛⎫ ⎪=⇒=⇒=⇒== ⎪ ⎪
⎝⎭
2-11．解下列矩阵方程： （1）25461321X -⎛⎫⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
解（1）：设a b X c d ⎛⎫=
⎪⎝⎭，则25461321a b c d -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

即2542563231a c b d a c b d +=⎧⎪+=-⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得2
23
08
a b c d =⎧⎪=-⎪
⎨=⎪
⎪=⎩。

22308X -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭
解（3）：11
2142413
3
12111
166
6-⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝⎭
，11020101211121
212-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭， 1
1
121110143120313321120111110110146
62X --⎛⎫⎛⎫
-⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪∴===
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
2-12，设423110123A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，2AB A B =+，求B .
解：2AB A B =+，(2)A E B A -=，2232110121A E ⎛⎫ ⎪
-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，|2|1A E -=-，
()11431432153153564564A E ----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
， ()114342338621531102965641232129B A E A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
∴=-=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2-13,利用逆矩阵解下列线性方程组：
（1）1231231232312252;353x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （2）1231231
232231;3250
x x x x x x x x x --=⎧⎪
--=⎨⎪+-=⎩
解（1）123122523513X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1
123112252035130X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）111221313250X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 故1
111252131032503X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2-15，设方阵A 满足方程2A A E O -+=，证明A 可逆，并求其逆。

解：2A A E O -+=，2A A E -=，()A E A E -=A ∴可逆且1A E A -=-。

2-17，分别写出下列矩阵的行阶梯形，行最简形和等价标准形。

（1）1234⎛⎫
⎪⎝⎭
2112
2312121210340100r r r r r -+⎛⎫
⨯- ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）123456789⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
322131247123123123456036036r r r r r r ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−−−→--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪
212313221332123100012010000000c c r c c c c -⎛⎫
⨯- ⎪-⎝⎭
-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
−−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

（3）1210224266210233
333
4--⎛⎫ ⎪--
⎪
⎪- ⎪⎝⎭
21314124
2231210212
102242660
006221023032213
333
40
963
2r r r r r r c c +--←−→----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
--- ⎪ ⎪−−−→
−−−−→
⎪
⎪
-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
32
4342123121
0122101220
6002060021022310
02330
36920
0691r r r r r r -----⎛⎫
--⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪
- ⎪−−−→−−−→
⎪
⎪-- ⎪
⎪ ⎪
- ⎪⎝⎭-⎝
⎭
231
61
21
0122101221060020100313100230013260000000000r r ⨯⨯--⎛⎫
--⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
--
⎪ ⎪−−−→ ⎪
⎪- ⎪- ⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
51
41
315243
53
2213
3
2
1
6
1
000001000001000000
0c c c c c c c c c c c c ++++-+⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭。

2-18，设,A B 同为m n ⨯矩阵，证明：A 等价于B 当且仅当存在m 阶可逆阵P 和n 阶可逆阵Q ，
证明：必要性：先对A 进行有限次的初等行变换，相当于在A 的左边进行有限个m 阶初等矩阵，即有限个m 阶初等矩阵的乘积，可设为m 阶可逆阵P 。

再对P A 进行有限次的初等列变换，相当于在A 的右边乘以有限次的初等矩阵的乘积，设为n 阶可逆阵Q 。

∴A 可转换为B ，PAQ B =。

充分性：PAQ B =，P 为m 阶可逆阵，Q 为n 阶可逆阵，A ，B 同为m n ⨯矩阵，相当于对A 进行有限次初等行变换和初等列变换得到B ，∴A 与B 等价。

2-34.B 一个一个选项代入计算即得
2-51计算：
（1）()2
21237,34f A λλλ⎛⎫
=+-= ⎪⎝⎭
，求()f A .
22121761412222343418193638A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,21633334912A ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()2
1412637013152373638912074543f A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
V
3-15求下列各矩阵的秩：
（1）12345001230000400121⎛⎫ ⎪---
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（3）11210224203061103001-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
解：（
1
）1234512345123
45123450012300121001210
0121000040012300004
0000400121000040000
40
000
0⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故r=3 （3
）
1121011603116031
16032242010030012110
12113061101211016330
0844030010242202
4220
0844----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪
---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
------ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1160
3012110084400
000-⎛⎫ ⎪
- ⎪
→ ⎪
-- ⎪
⎝⎭
故r=3
第三章作业参考答案
3-2设1111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，2025α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，3136α⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭ ，求β ，使满足下式：
()()(
)
12323232αββααβ---=-。

解：化简上式可得：3211011362336221565114βααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3-3求解下列向量方程：
（1）3X u v +=
，其中130,111u v ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ；
（2）233X X βγ+=+ ，其中230,111βγ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
解：（1）3X v u =-
()1101111013
33112X v u ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎢⎥ ⎪
⎪ ⎪=-=
-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦
（2）23333011114X βγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3-4 设n R α∈ ，证明：α 线性无关当且仅当αθ≠。

证明： θαθα==⇔=
或0k k ，
充分性，令θα= k ，因为αθ≠ ，所以必有0=k ，故α
线性无关
必要性，（反证法）若θα= ，则存在不为零的实数k ，满足θα= k ，即α
线性相
关，矛盾！故αθ≠
3-5 设12,n R αα∈
，证明：12,αα 线性相关当且仅当它们的分量成比例。

证明：充分性，若12,αα 的分量成比例，则必存在一个实数k （0k ≠），12k αα=
，即
12k ααθ-= ，故存在121,0k k k ==-≠，使得1122k k ααθ+= ，即12,αα
线性相关。

必要性，若12,αα 线性相关，则必存在不全为0的12,k k 使得1122k k ααθ+=
，不妨设10k ≠，得2121k k αα=-
，即12,αα 的分量成比例
3-6 任取1234,,,n R αααα∈
，又记，
112223334441,,,βααβααβααβαα=+=+=+=+
，证明：1234ββββ ，，，必线性相关。

证明： 4231ββββ=-+，因此1234ββββ
，，，线性相关。

3-9设1,s αα
，
线性无关，任取s-1个数11,,s λλ- ，令 111222111,,,,s s s s s s s s βαλαβαλαβαλαβα---=+=+=+=
证明1,,s ββ 仍线性无关。

证明：令1122s s k k k βββθ+++=
，即
θαλλλααα=+++++++----s s s s s k k k k k k )(112211112211
因为1,s αα
，
线性无关，所以我们有 1211122110
000
s s s s k k k k k k k λλλ---=⎧⎪=⎪⎪
⎨⎪=⎪+++=⎪⎩
, 系数行列式12110000100
100
1
1
s λλλ-=≠
，故120s k k k ==== ，因此，1,,s ββ
线性无关。

3-10 设β 可由1,s αα ，线性表示，举反例说明：若向量组1,s αα
，线性相关，则表示式必不唯一。

解：反例，不妨设121231,2,3123ααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则12βαα=+ ，又有122βαα=-+ ，显然，
若向量组1,s αα
，
线性相关，则表示式必不唯一
3-12若向量组（Ⅱ）123βββ ，，可由向量组（Ⅰ）123,,ααα
线性表示为
112321233
123βαααβαααβααα⎧=-+⎪⎪=+-⎨⎪=-++⎪⎩
试将向量组（Ⅰ）由向量组（Ⅱ）表示出来。

解：由于原方程组较为简单，不妨直接求解可得
112223313112211221122αββαββαββ⎧=+⎪⎪
⎪=+⎨⎪
⎪=+⎪⎩
即11223311010112101βααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
3-13 求下列各向量组的秩及一个极大无关组，并以之表示同组其余向量：
（1）12319221004,,1102448ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪===
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； （2）1231011,2,3001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；
（3）123414122130,,,15423672αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ； （4）123451032113011,,,,21752421460ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=====
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . 解：（1）由()⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000000102018442101-41002291,,321行变换ααα 可知2r =，其中，12,αα 为一个极大无关组，312αα=-
（2）由()⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001100321101,,321行变换
ααα
可知3r =，其中，123,,ααα
自身即为一个极大无关组
（3）由()⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--−−→−⎪⎪
⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=0000000010012202763451312141,,,54
59565114321行变换αααα 可知2r =，其中，13,αα
即为一个极大无关组，21341311964,5555
αααααα=+=--
（4）由()⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=000001100010110103010614
242571211031
12301
,,,4321行变换αααα 可知3r =，其中，124,,ααα 即为一个极大无关组，31251243,ααααααα=+=--+
3-16 设AB C =,其中B 为n 阶可逆阵，A 、C 均为m n ⨯矩阵，试证明()()r A r C =,并问：
()r A 与()r B ，()r C 与()r B 关系如何？
证明：设A 的行向量为12,,,n a a a ，C 的行向量为12,,,n c c c ，由已知得
1122n n a c a c B a c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，由于B 为n 阶可逆阵，因此12,,,n c c c 可以由12,,,n
a a a 线性表出
同理两边同乘1B - 得
11221
n n a c a c B a c -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即12,,,n a a a 可以由12,,,n c c c 线性表出 综上所述12,,,n a a a 与12,,,n c c c 等价，即()()r A r C =
()()()()()min ,r C r AB r A r B =≤故()()r C r B ≤
()()()()()
11min ,r A r CB r C r B --=≤故()()1r A r B -≤即()()r A r B ≤
第四章作业参考答案
4-1.在下列各题中，将向量β
表为其他向量的线性组合：
（1）12331105,0,1,1;6111βααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）()()()()()12342,1,5,1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,1,0,0,0,1.βεεεε=-====
解：（1）令112233k k k βααα=++
，则123311*********k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
易解得12311,14,9k k k =-==，即12311149βααα=-++
（2）令11223344k k k k βεεεε=+++
，则123421000101005001010011k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
易解得12342,1,5,1k k k k ==-==，即123425βεεεε=-++
4-3.确定a 使下列方程组有解，并求出解来：
123412341
234212427411x x x x x x x x x x x x a
-++=⎧⎪
+-+=⎨⎪+-+=⎩ 解：由题意得211111214
212142053731741100005A a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
， 要使原方程组有解，则50a -=，即5a =
将5a =代入原方程组，则原方程组变为134234144555
373555x x x x x x ⎧
++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
，令3142,x t x t ==，解这个方程得，
1241653375500050X t t ⎛⎫
⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎪⎝⎭
,()12,t t R ∈
4-5.用初等变换解下列方程组；
（1）123123
1231
23233350433136x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎪⎨-+=⎪⎪+-=-⎩ （2）12342341242342344
3
331
731x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-++=-⎩ （4）2132344352x y z x y z x y z ωωω+-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩
解：（1）1331213310012
22315001530102411300330011A ⎛
⎫
-
⎪-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=-→--→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎪
⎝⎭
,即原方程组的解为 121X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（2）12344123440111301113130310024120731100004A
----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
,故()()
34r A r A =≠= 即原方程组无解
（4）11610777211115953213401777143520000
0A ⎛
⎫--
⎪-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪
⎪⎝
⎭
，令12,y t t ω==，解这个方程组得121211677779155x t t z t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，即1211677710079155001x y t t z ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，其中，()12,t t R ∈
4-6.求下列齐次线性方程组的基础解系：
（1）123412341
23430202220x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩ （3）2350
3287043602470
x y z x y z x y z x y z ωωωω+-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪
⎪-+-=⎩
解：（1）113110202111015122120054A --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，易解得142434
44
85345x x x x x x x x ⎧=⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪=⎩，故，该方程组的基础解
系为81545ξ⎛⎫
⎪-
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（3）231512473128702310041360018512470001A ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，即()r A n =，所以该方程组无基础解系
4-7.选择p,q 使下列方程有解，并求其解：
（1）1231232
1231px x x x px x p x x px p ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ （2）1234234
123412342222135x x x x x x x x x x x p x x x x q +-+=⎧⎪--=⎪⎨+-+=⎪⎪-++=⎩
解：（1）2
2
2211111
110
11111
0(1)(2)(1)(22)p p
p A p p p p p p
p p p p p p ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪=→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-++⎝
⎭⎝⎭
当1p ≠且2p ≠时，有唯一解()()()211121p x p p ⎛⎫-+ ⎪=≥ ⎪+
⎪ ⎪+⎝⎭
当1p =时，代入原方程组，易解得12111010001x t t --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，其中，()12,t t R ∈
当2p =时，代入原方程组，得原方程组无解
（2）
1222
2100000111101111111300001111500001p p q q -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
---- ⎪ ⎪
→ ⎪ ⎪
--
⎪ ⎪
-+⎝⎭⎝⎭
显然，当1p ≠或1q ≠-时，原方程组无解
当1p =且1q =-时代入原方程组，的原方程组的解为12004111010001x t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，其中，()12,t t R ∈
4-10已知123,,ξξξ是齐次方程组AX θ=的一个基础解系，记112223,2ηξξηξξ=-=+
331,3ηξξ=-+，问123,,ηηη是否也可以作为AX θ=的基础解系？
证明：为了证明123,,ηηη也可以作为AX θ=的基础解系，要证明三个方面。

第一，要证明123,,ηηη也是AX θ=的解，第二，要证明123,,ηηη线性无关，第三，AX θ=的解空间最大线性无关组的秩为3.
首先证明123,,ηηη也可以作为AX θ=的基础解系，
(
)
11212A A A A ηξξξξθ=-=-=
同理可得，23,A A ηθηθ==
，
因此123,,ηηη也是AX θ=的解
其次，令112233k k k ηηηθ++=
，即(
)(
)(
)
11222333123k k k ξξξξξξθ-+-+-+=
132123
3010320120500110k k k k D k k +=⎧⎪
∴-=⇒=-=-≠⎨⎪--=⎩，所以123,,ηηη线性无关 最后由于123,,ξξξ是齐次方程组AX θ=的一个基础解系，显然，AX θ=的解空间最大线性无关组的秩为3
综上所述，123,,ηηη也可以作为AX θ=的基础解系
4-11.设A 是m s ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，X 是n 维列向量。

证明：若齐次方程组()AB X θ=与BX θ=同解，则有()()r AB r B =.
证明：设()AB X θ=的解空间为AB X ,BX θ=的解空间为B X ， 由()AB X θ=得()()AB r X n r AB =-， 由BX θ=得()()B r X n r B =-，
又由若齐次方程组()AB X θ=与BX θ=同解，得()()B AB r X r X =，所以()()r AB r B =
4-12设A ，B 都是n 阶方阵，证明：若0AB =，则()()r A r B n +≤。

进而证明：若将条件放宽为,A B 分别为,m n n s ⨯⨯矩阵，此结论仍成立。

证明：若设A ，B 都是n 阶方阵，记()
12,,,n B βββ= ，由()
12,,,0n AB A A A βββ==
,知
12,,,n βββ 是方程组0AX =的解，于是秩（B ）=秩（12,,,n βββ
）n ≤-秩（A ），即 ()()r A r B n +≤
若将条件放宽为,A B 分别为,m n n s ⨯⨯矩阵，对分块矩阵作初等变换，有
00,0
0n
n
n
E E E B AB A AB A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则0,00n
n
E E B r r AB A -⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
而()0,0n E r n r AB AB ⎛⎫=+
⎪⎝⎭()()()(),0n
E B r r A r B r A r B A -⎛⎫
≥+=+ ⎪⎝⎭
所以 ()()()r AB r A B n ≥+-,本题中()0r AB =，因此()()r A r B n +≤
4-15.设AX β=为非齐次线性方程组，AX θ=为其导出组，则下列命题中正确的有（） （a ）若AX θ=有非零解，则AX β=必有无穷多解； （b ）若AX β=有无穷多解，则AX θ=必有非零解； （c ）若AX θ=只有唯一零解，则AX β=也只有唯一解； （d ）若AX β=只有唯一解，则AX θ=只有唯一零解； （e ）若AX β=无解，则AX θ=只有唯一零解。

（正确的请证明，不正确的请举出反例）
正确：b,d
(a)反例：若100010000A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，001β⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭ ，显然AX θ=有非零解，但AX β=无解
(b)证明：由于AX β=有无穷多解，因此，()
()r A r A n =< ，故()()0A
r X n r A =->， 所以，AX θ=必有非零解
(c)反例：若1000
100010
1
0A ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪
⎪⎝⎭，1211β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，显然AX θ=只有唯一零解，但AX β=无解
(d)证明：由于AX β=只有唯一解，因此，()
()r A r A n == ，故()()0A
r X n r A =-=， 所以，AX θ=只有唯一零解
(e)反例：若100010000A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，001β⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，显然，AX β=无解，但AX θ=有非零解。

例5.设()()()()1231,3,0,5,1,2,1,4,1,1,2,3,1,,3,T
T
T
T
a b αααβ====
.
（1）a,b 取何值时，β 能用123,,ααα
线性表示？表示为？ （2）a,b 取何值时，β 不能用123,,ααα
线性表示？
解：（1）不妨令112233k k k βααα=++ ，即12311113213012543a k k k
b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解上述方程组，易得1
1111111321012301230005
43
0002a a A a b b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪
=→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，而()2r A =为了使原方程组有解，则 00
202
a a
b a b ==⎧⎧⇒⎨⎨
--==⎩⎩ 将上述a,b 值代入原方程组得132
3223x x x x -=-⎧⎨+=⎩，令3t x =，解得122
32x t x t =-⎧⎨=-⎩，所以
()()123232()t t t t R βααα=-+-+∈ （2）由（1）式知若()()
r A r A ≠ 时，β 不能用123,,ααα 线性表示
当0a =时，若2b ≠则β 不能用123,,ααα
线性表示 当0a ≠时，显然，β 不能用123,,ααα
线性表示
第五章作业参考答案
5-2试证：()(
)()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T
T
T
ααα
=-==
是3R 的一组基，并求向量
()()125,0,7,9,8,13T T
v v ==--- 在这组基之下的坐标。

证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++=
的123,,k k k 只能均是0.联立方程得
1231232
3230
0320k k k k k k k k ++=⎧⎪
-++=⎨⎪+=⎩ 计算此方程系数的行列式12311160032-=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα
是3
R 的一组基
设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v
在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得
()()11112322123233,,,,,x y v x v y x y αααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
代入易解得112233233,312x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即为1v ，2v 在
这组基下的坐标。

5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T
T
T
αβγ=-=-=---
，求：
（1）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。

解（1）,1223111(1)6αβ=⨯+⨯-⨯+⨯-=
()()(),112112121αγ=⨯-+⨯--⨯-+⨯=
,7ααα==
,15βββ=
=
,10γγγ==
（2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T
x x x x x =，则
123412341234,20
,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ⎧=+-+=⎪⎪=++-=⎨⎪=---+=⎪⎩
解得143
243
3344
5533x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩
令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =-
令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-
则有125533
1001x t t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，其中12,t t 为任意实数，即为所求向量。

5-6证明：若β 与向量组1,m αα 中的每一个向量都正交，则它也与1,m αα
的任何线性组合正交。

证明：令α 为1,m αα 的线性组合，则1122m m k k k αααα=+++
，由题意知
12,0,,0,,,0m βαβαβα===
则11221122,,,,0,0m m m m k k k k k k βαβαααβαβαβα=+++=+=++=
原命题得证。

5-7用施密特正交化方法将123113212,,258137ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
===
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 正交规范化。

解：11122221121210122(1)
1ααβα⎛⎫
⎪ ⎪
===
⎪+++- ⎪-⎝⎭ 2221123,32γααββ⎛⎫ ⎪
⎪
=-=
⎪- ⎪⎝⎭ 同理可得222231326
2γβγ⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪- ⎪⎝⎭
3331132221,,12γααββαββ⎛⎫ ⎪
- ⎪
=--=
⎪- ⎪-⎝⎭
3332111102γβγ⎛⎫
⎪- ⎪
==
⎪
- ⎪-⎝⎭
综上所述，正交规范的结果为123122231111,,231102610122βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
===
⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
5-9已知()11,1,1,1T
α=
，试由它出发构造4
R 的一组规范正交基。

这样的基唯一吗？
解：令1234,,,αααα
为4
R 的一组规范正交基，由已知得234,,ααα 都与1α
正交，应满足方程
11,0T x x αα==
，设()1234,,,T
x x x x x =，故12340x x x x +++=
12342233
44x x x x x x x x x x =---⎧⎪=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 的基础解系123111100,,010001ξξξ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
112322112221
111111111,,,,102222100α
ξββγξξββξββαξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=====--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
34343333322434111122111,,,,2113615033γγβγξξββξβββγγ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
===--=-==
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以1234,,,ββββ 为4
R 的一组规范正交基，但这样的基不唯一。

5-10已知矩阵3277327
7
a Q b
c
d e ⎛⎫-
⎪
⎪
= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
为正交阵，求,,,,a b c d e 的值 解：由Q 为正交阵得
33271
773
21773212777
T a b a Q Q c b c d e d
e ⎛⎫-⎛⎫
⎪-
⎪⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪=-
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎝⎭
解上述方程组得62636,,,,77777
a b c d e =-
=±===-
第六章作业参考答案
6-1求下列矩阵的特征值和特征向量：
（1）3511⎛⎫ ⎪-⎝⎭； （4）220212020-⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪
-⎝⎭
解：（1）
3
5
011
E A λλλ---=
=-+,解得特征值为122,4λλ=-= 将其代入则，当12λ=-时，1223501
21x x ---⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭，解得121,1x x =-= 则特征向量()11,1p =-
当24λ=时，同理可得特征向量()25,1p =
（4）方法同（1）可以计算得特征值为1231,4,2λλλ===-，代入得 当11λ=时，特征向量为()12,1,2p =-- 当24λ=时，特征向量为()22,2,1p =- 当32λ=-时，特征向量为()31,2,2p =
6-2设7
414
744A y x -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪--⎝⎭
，其特征值为1233,12λλλ===，求,x y 。

解：()()()2
741473119444
4
A E y x x y x λ
λλλλλλ
--⎡⎤-=
-=--++++⎣⎦---
由其特征值为1233,12λλλ===,
()()()()()2331231536A E λλλλλλλ∴-=±---=±--+
与上式对比发现111594436x x y +=⎧⎨++=⎩ 解得41
x y =⎧⎨=-⎩
6-5设12,αα
是A 的属于不同特征值的特征向量，证明12αα+
不是A 的特征向量。

证明：利用反证法求解，假设12αα+
是A 的特征向量
设1α 的特征值为1λ，2α 的特征值为2λ，12αα+
的特征值为3λ，由已知得
()()()()123121111211223132
22A A A A ααλαααλαααλαλαλαααλα+=+⎧⎪=⇒+=+=+⎨⎪=⎩
1323,λλλλ∴== 12λλ∴=
而与题设12λλ≠矛盾。

所以假设不成立，即12αα+
不是A 的特征向量
6-7若n 阶方阵A 满足关系2
A E =,就称A 为对合矩阵（自逆阵）（参见题4-53）。

证明：对合矩阵的特征值只能是1或-1.
证明：任取A 的一个特征值为λ，特征向量x
2211Ax x A Ax A x A x Ax E x x λλλλλλλ=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=±
即对合矩阵的特征值只能是1或-1
6-9若A 为n 阶正交阵，证明A 的特征值只能是1或-1.
证明：任取A 的一个特征值λ，特征向量x
Ax x λ=
两端同乘()T Ax 得()()2T T T T T Ax Ax Ax x x A Ax x Ex x λ=⇒==
而()()()2
222
22
10T
T
Ax x x x x x x x
λλλλλλ==⇒=⇒-=
由于2
0x ≠
，故210λ-=，即1λ=±，亦即A 的特征值只能是1或-1.
6-13已知1002A -⎛⎫
Λ= ⎪⎝⎭
，求()det 3A E -
解：A Λ 由定义知必存在与,A Λ同阶的可逆矩阵P 满足1
A P P -=Λ
()11113333A E P P E P P P EP P E P ----∴-=Λ-=Λ-=Λ-
33A E E ∴-Λ-
由定理6.06（5）知33A E E -=Λ-
()()40
det 3det 3401
A E E -∴-=Λ-=
=-
6-14已知12110,3202P P AP ---⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
,求n
A
解：记1002-⎛⎫Λ=
⎪⎝⎭
为对角阵即1
P AP -=Λ
显然P 是Λ的同阶可逆阵，易得1
2132P --⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
111P P AP P P P ---=Λ ,即1A P P -=Λ 11n n n n P A P A P P --∴=Λ∴=Λ
()()()()()111112
4132
21221211032320
26132312n n n
n n
n n n n n n n A P P ++-+++⎛⎫⎛⎫---+--⎛⎫⎛⎫- ⎪∴=Λ==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
6-16证明：若,A B C D ,则0000A B C D ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
证明：A B ∴必存在与A 、B 同阶的可逆阵1P ，满足111B P AP -=,同理1
22D P CP -=
1
1
1
111
1
122220000000
000P B A P AP P P D B P CP P ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭ 11
1200
P P --⎛⎫ ⎪⎝⎭ 与1
200P P ⎛⎫ ⎪⎝⎭均为可逆阵且1
11
1
122000
0P P P P ---⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 0000A B C D ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
6-18证明：主对角元素互不相同的上（下）三角阵必可对角化。

证明：先证主对角元素互不相同的上三角阵必可对角化
设上三角阵为12
****
**n a a A a ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭ ，则12*****0*n a a A E a λλ
λλ
---==-
即1122,,,n n a a a λλλ=== ，由于主对角元素互不相同，即12,,,n a a a 互不相同 因此n 阶方阵A 由n 个不同的特征值，即A 必可对角化 同理可证，主对角元素互不相同的下三角阵必可对角化。

6-19求1111
11111n A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
的特征值和特征向量，并用正交变换将它对角化。

解：111111111
111111n n n n A E λλλλλλλλλ-------==
-- ()()()()1
111111
1110111100n n n n λλλλλλλλ
---=-=-=----
解得：120,n λλ==
当10λ=时，解得特征向量121111111,,,021001n y y y n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，将其单位化得
()()()()121
11161
21116,,,2120160101n n n n n P P P n n n n n ⎛⎫ ⎪
⎛
⎫-
⎪
⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪
-
⎪
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪- ⎪
⎪
⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎝
⎭
⎪-
⎪⎝
⎭ ⎪-⎝⎭。