简谐振动的合成

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x

A1
2
o
A A1 A2
o
相互削弱
A
A2
3)一般情况 A1 A2 A A1 A2
21
2.n个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )

xn

An
cos(t

n
)
x x1 x2 xn
19
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 1)相位差 2 1 2kπ (k 0,1, 2,)
x

o
A1
A2
A
A A1 A2
相互加强
20
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2)相位差 2 1 (2k 1)π (k 0,1, )
dt 2
J ml 2
d 2
g
2 g
l 2
dt 2 l
cos(t ) m
g
l
T 2π l g

A

l
正 向
FT m
O
P
10
复摆
M l F
转动正向
O
M mgl sin J J d2
dt 2
l
*C
24
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成,其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
x1 A1 cos1t A1 cos2π1t x2 A2 cos2t A2 cos2π2t
mgl J d2
dt 2
P
令 2 mgl
J
d2 g
dt 2 l
(C点为质心)
cos(t ) m
mgl
J
T 2π J mgl
角谐振动
11
三、旋转矢量表示法 相位
1.旋转矢量表示法


t t 时
A
t

t 0时
o
x0 x
x0 Acos
x Acos(t )

A
A3
3


A2 2
o 1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为
简谐运动
22
x A cost

1
0
x A cos(t )
2
0
x3 A0cos(t 2)
o
A1
A2
A3
A4
A5
A
x
A Ai NA0
1
2
§8-1 简谐振动相位 §8-2简谐振动的合成 §8-3 阻尼振动 受迫振动 共振
3
§ 8-1 简谐振动 相位
4
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.
机械振动 物体围绕一固定位置来回往复运动.
其运动形式有直线、平面和空间振动.
例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中 原子的振动等.
2周期
T

2
3振幅频率 1 T 2
2 k
m
4相位:(t )
5初相:
8
二 几种典型的简谐振动
1 弹簧振子的振动
f kx
d2x kx m dt2
k
m
9
2 复摆和单摆的振动
单摆 M A2
A
x x1 x2
x Acos(t )
x 0
x2 2 1
x1A1
x
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
两个同方向同频 率简谐运动合成 后仍为简谐运动
x Acos(t )
以 o为 原点 旋转矢 量 A的端点
x 在 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
12
x Acos(t )
v A sin(t ) a A2 cos(t )
13
2.相位

A
2 v 2
T

o
xx
相位差 t 2 t 1 2 1
2
2
1 kA2 1 m 2 A2 弹簧振子 2 k
2
2
m
可见,弹簧振子的总能量不随时间改变,即机械能守恒。
16
2.复摆和单摆作简谐振动的能量
Ep

1 2
mgl
2

1 2
J 2
2

1 2
J

2 2 0
cos2
t

Ek

1 2
J

d
dt
2

1 2
J
x A cos[t (N 1)]
N
0
(1) 2kπ
讨 (k 0,1,2,)
论 (2) N 2k ' π
(k ' kN, k ' 1,2,)
i A4 A5
O A6
A0
A3

A2

A1
x
23
3.两个同方向频率相近的简谐运动的合成--拍
v v0
A
x2 0

v2 0
2
tan v0 x0
对给定振动系统, 周期由系统本身性质 决定,振幅和初相由 初始条件决定.
15
四、谐振动的能量
1.弹簧振子的能量
振动总能量是动能与势能之和 E 1 mv2 1 kx2
2
2
E 1 m 2 A2 sin2 (t ) 1 kA2 cos2 (t )
2 2 0
sin2
t

E

Ep

Ek

1 2
J

2 2 0
它是一个不随时间改变的常量,即能量守恒.
17
§ 8-2 简谐振动的合成
18
一、同方向简谐振动的合成
1.两个同方向同频率相位差恒定的简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
简谐运动 最简单、最基本的振动.
简谐运动
合成 分解
复杂振动
谐振子 作简谐运动的物体.
5
一、简谐振动

Fm
ox
x
6
一、简谐振动

Fm
ox
x
特征方程
d2 x 2 x
dt 2
运动方程 x Acos(t )
积分常数,根据初始条件确定
7
1振幅 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值A
0或2k
同相
或(2k+1) 反相
2 1 0 2 1<0
x2振动超前x1振动 x2振动落后x1振动
14
3.振幅 A、初相 与初始条件的关系
x A cos(t ) v A sin(t )
初始条件
t0 xx 0
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