2020-2021学年重庆市江北区初二数学第二学期期末试卷及解析

2020-2021学年重庆市江北区初二数学第二学期期末试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分） 1．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是( )
A ．1，2，2
B ．1，1
C ．13，14，15
D ．6，8，10
2．下列函数中，y 随x 的增大而减小的函数是( ) A ．3y x =
B ．41y x =-
C ．2y x =--
D ．31y x =-
3．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=的解为1x =，则k 值为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．3-
4．某地连续10天的最高气温统计如下：
这组数据的中位数和众数分别是( ) A ．23.5，24
B ．24，25
C ．25，24
D ．24.5，25
5．某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为89x =甲分，89
x =乙分，2
247S =甲
，2290S =乙，那么成绩较为整齐的是( ) A ．甲班 B ．乙班 C ．两班一样整齐 D ．无法确定
6．已知y 是x 的正比例函数，且函数图象经过点(4,6)-，则在此正比例函数图象上的点是( ) A ．(2,3)
B ．(4,6)-
C ．(3,2)-
D ．(6,4)-
7．若菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( ) A ．20
B ．24
C ．40
D ．48
8．对于一次函数4y x =-+，下列结论错误的是( ) A ．函数的图象与x 轴的交点坐标是(0,4) B ．函数值随自变量的增大而减小 C ．函数的图象不经过第三象限
D ．函数的图象向下平移4个单位长度得y x =-的图象
9．在正方形ABCD 中，对角线8AC BD cm ==，点P 为AB 边上的任一点，则点P 到AC 、BD 的距离之和为( )
A ．4cm
B ．5cm
C ．
D ．
10．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，4，6，8，10，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( )
A ．2，8，10
B ．4，6，10
C ．6，8，10
D ．4，4，8
11．有两个一元二次方程：2:0M ax bx c ++=；2:0N cx bx a ++=，其中0a c -≠，以下列四个结论中，错误的是( )
A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根
B ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =
C ．如果7是方程M 的一个根，那么
1
7
是方程N 的一个根
D ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同
12．小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家、学校到这条公路的距离忽略不计），一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小明与家的距离s （单位：米）与他所用时间t （单位：分钟）之间的函数关系如图所示，已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟，下列说法： ①小明从家出发5分钟时乘上公交车； ②公交车的速度为400米/分钟；
③小明下公交车后跑向学校的速度为100米/分钟； ④小明上课没有迟到． 其中正确的个数是( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共计24分） 13．一元二次方程220x x +=的解是 ．
14．在Rt ABC ∆中，两直角边的长分别为7和24，则其斜边上的中线长为 ．
15．从一个班抽测了6名男生的身高，将测得的每一个数据（单位：)cm 都减去165.0cm ，其结果如下：2.8-，0.1，8.3-，1.2，10.8，7.0-，这6名男生的平均身高约为 cm ．（结果保留到小数点后第一位） 16．如图，四边形ABCD 是周长为24的菱形，点A 的坐标是(4,0)，则点D 的坐标为 ．
17．函数3y x =+的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在函数2y x =+的图象上，若ABC ∆为等腰三角形，则满足条件的点C 共有 个．
18．如图，ABC ∆中，点E 在边AC 上，EB EA =，2A CBE ∠=∠，CD 垂直于BE 的延长线于点D ，9BD =，11.5AC =，则边BC 的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，前面7小题每小题10分，第8小题8分，共78分） 19．解方程：（1）2230x x -=；（2）2780x x -+=．
20．如图，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 为边AC 延长线上一定点．
（1）用直尺和圆规在边BC 的延长线上求作一点N ，使得CMN BAC ∠=∠，并连接BM 、AN （不写做法和证明，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的情况下，若AC CM =，猜想四边形ABMN 是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想． 21．某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写大赛”预赛，各参赛选手的成绩如下：
八（1）班：91，92，93，93，93，94，98，88，98，100； 八（2）班：93，93，93，95，96，96，98，89；98，99． 通过整理，得到数据分析表如下：
班级最高分平均分中位数众数方差八（1）班100a939312
八（2）班9995b c8.4
（1）直接写出表中a，b，c的值；
（2）依据数据分析表，有人说：“八（1）班的最高分100大于八（2）班的最高分99，八（1）班的成绩比八（2）班好”，但也有人说八（2）班的成绩比较好，请给出两条支持八（2）班成绩好的理由．22．在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式--利用函数图象研究其性质--运用函数解决问题的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．以下是我们研究函数||
=+性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
y a x b
（1）根据下表信息，求这个函数的解析式，并求出m、n的值；
x⋯4-3-2-1-01234⋯y⋯6-4-m02n2-4-6-⋯（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“⨯”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．()
②当0
x<时，y随x的增大而增大．()
x>时，y随x的增大而减小；当0
（3）请在同一平面直角坐标系中再画出函数21
=+的图象，直
y a x b
=-的图象，结合你所画的函数||
y x
接写出不等式||21
+>-的解集．
a x
b x
23．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；
信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的零售单价；
（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各600件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售120件，商店决定把甲种商品的零售单价下降(0)
m m>元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1200元？
24．在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数--“少2数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以7余数为5，且除以5余数为3，则称这个数为“少2数”．
例如：33745
÷=⋯⋯，33563
÷=⋯⋯，所以33是“少2数”；43583
÷=⋯⋯，但43761
÷=⋯⋯，所以43不是“少2数”．
（1）判断68和89是否为“少2数”？请说明理由；
（2）求大于100且小于200的所有“少2数”．
25．如图所示，直线
1
:23
2
l y x
=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点(0
C，43)．
（1）求AOB
∆的面积；
（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求COM
∆的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图10
AB=，C为AB上一动点（不含端点和中点），以AC，BC为边向上作正方形AEDC，CFGB．连接EF并作DH平行EF交直线FG于H，再以CD，DH为边作平行四边形CDHJ，连接BJ．
（1）求CBJ
∠的度数．
（2）当四边形BJHG的面积为15时，求AC的长．
（3）当BCJ
∆是等腰三角形时，直接写出AC的长．
答案与解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分） 1．解：A 、222122+≠，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B 、22211+≠，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C 、222131415+≠，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D 、2226810+=，能构成直角三角形，故符合题意．
故选：D ．
2．解：A 、B 、D 选项中的函数解析式k 值都是正数，y 随x 的增大而增大， C 选项2y x =--中，10k =-<，y 随x 的增大而减少．
故选：C ．
3．解：把1x =代入方程220x x k +-=，得120k +-=， 解得3k =． 故选：C ．
4．解：在这一组数据中25是出现次数最多的，故众数是25；
处于这组数据中间位置的两个个数都是24，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是2424
242
+=；
故这组数据的中位数与众数分别是24，25． 故选：B ．
5．解：甲、乙两个班的平均分相同，而22
S S <乙甲，
因此甲班的成绩比较整齐， 故选：A ．
6．解：设正比例函数解析式为(0)y kx k =≠． 正比例函数图象经过点(4,6)-， 64k ∴-=，
3
2
k ∴=-．
当4x =-时，3
62
y x =-=，
∴点(4,6)-在此正比例函数图象上．
故选：B ．
7．解：四边形ABCD 是菱形， AC ∴与BD 互相平分，AC BD ⊥，
菱形的边长22
(
)()916522
AC BD =+=+=， ∴个菱形的周长4520=⨯=，
故选：A ．
8．解：A 、函数的图象与x 轴的交点坐标是(4,0)，故符合题意；
B 、由于4y x =-+中的10k =-<，所以函数值随自变量的增大而减小，故不符合题意；
C 、由于4y x =-+中的10k =-<，40b =>，所以函数的图象不经过第三象限，故不符合题意；
D 、一次函数4y x =-+的图象向下平移4个单位长度得到44y x x =-+-=-，即y x =-的图象，故不符
合题意； 故选：A ．
9．解：如图所示，连接PO ，
正方形ABCD 中，对角线的长为8cm ， 4AO BO cm ∴==，
又90AOB ∠=︒，PE AO ⊥，PF BO ⊥，
∴
111
222
AO BO AO PE BO PF ⨯=⨯+⨯， 即4444PE PF ⨯=+， 4PE PF cm ∴+=，
即点P 到AC 、BD 的距离之和是4cm ， 故选：A ．
10．解：当选取的三块纸片的面积分别是4，6，1046
6⨯= 当选取的三块纸片的面积分别是2，8，1028
2⨯=， 当选取的三块纸片的面积分别是2，4，624
2⨯
2
>>， 因为当选取2，4，8；2，4，10；4，6，8；6，8，10；四种情况时，都不能构成直角三角形，
∴要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是4，6，10．
故选：B ．
11．解：A 、在方程20ax bx c ++=中△24b ac =-，在方程20cx bx a ++=中△24b ac =-，
∴如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根，正确；
B 、M N -得：2()0a c x c a -+-=，即2()a c x a c -=-，
0a c -≠，
21x ∴=，解得：1x =±，错误． C 、7是方程M 的一个根， 4970a b c ∴++=，
11
0749
a b c ∴++=，
∴
1
7
是方程N 的一个根，正确； D 、
c
a 和a
c
符号相同， ∴如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同，正确；
故选：B ．
12．解：①小明从家出发乘上公交车的时间为7(1200400)4005--÷=分钟，①正确； ②公交车的速度为(32001200)(127)400-÷-=米/分钟，②正确；
③小明下公交车后跑向学校的速度为(35003200)3100-÷=米/分钟，③正确；
④上公交车的时间为1257-=分钟，跑步的时间为15123-=分钟，因为34<，小明上课没有迟到，④正确； 故选：D ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共计24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．解：原方程可变形为：(2)0x x +=，解得10x =，22x =-． 14．解：在Rt ABC ∆中，两直角边的长分别为7和24，
25=，
∴斜边上的中线为25
2
．
故答案为：25
2
．
15．解：
2.80.18.3 1.210.87.0
165.0165.0(1)164.0()
6
cm -+-++-
+=+-=，
故答案为：164.0．
16．解：四边形ABCD是周长为24的菱形，6
AD
∴=，AC BD
⊥，
点A的坐标是(4,0)，
4
AO
∴=，
22361625
DO AD AO
∴=-=-=，
故点D坐标为(0,25)
-，
故答案为：(0,25)
-．
17．解：如图：
由图象得：满足条件的点C共有5个，
故答案为：5．
18．解：延长BD到F，使得DF BD
=，连接CF，如图所示：⊥，
CD BF
BCF
∴∆是等腰三角形，
∴=，
BC CF
过点C作//
CH AB，交BF于点H，
∴∠=∠=∠=∠，
ABD CHD CBD F
22
∴=，
HF CH
=，
EB EA
∴∠=∠，
ABE BAE
CH AB，
//
∠=∠，
∴∠=∠，BAE ECH
ABE CHE
∴∠=∠，
CHE ECH
∴=，
EH CE
=，
EA EB
∴=，
AC BH
AC=，
9
BD=，11.5
511.592DH BH BD AC BD ∴=-=-=-=， 139 2.52HF CH DF DH BD DF ∴==-=-=-=
， 在Rt CDH ∆中，由勾股定理得：2222135()()622
CD CH DH =-=-=， 在Rt BCD ∆中，由勾股定理得：222296313BC BD CD =+=+=，
故答案为：313．
三、解答题（本大题共8小题，前面7小题每小题10分，第8小题8分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．解：（1）2230x x -=，
(23)0x x ∴-=，
则0x =或230x -=，
解得10x =，2 1.5x =；
（2）2780x x -+=，
1a ∴=，7b =-，8c =，
则△2(7)418170=--⨯⨯=>，
24717b b ac x -±-±∴==， 1717x +∴2717x -=． 20．解：（1）如图，点N 即为所求．
（2）连接BM ，AN ，四边形ABMN 是菱形．
理由：在ACB ∆和MCN ∆中，
BAC NMC AC MC
ACB MCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ACB MCN ASA ∴∆≅∆，
BC CN ∴=，
AC CM =，
∴四边形ABMN 是平行四边形，
AM BN ⊥，
∴四边形ABMN 是菱形．
21．解：（1）八（1）班的平均分1(919293939394988898100)9410
a =⨯+++++++++=； 将八（2）班的成绩从小到大排列为：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99．
八（2）班的中位数959695.52
b +==； 八（2）班的成绩出现最多的是93，
∴八（2）班的成绩的众数93c =；
故答案为：94，95.5，93；
（2）八（2）班的平均分高于八（1）班；八（2）班的成绩的中位数为95.5，大于八（1）班的成绩的中位，故八（2）班成绩好．
22．解：（1）函数||y a x b =+的图象经过点(1,0)-，(0,2)，
∴02a b b +=⎧⎨=⎩，解得22a b =-⎧⎨=⎩
， ∴这个函数的表达式是2||2y x =-+；
∴当2x =-时，2|2|22m =-⨯-+=-，
当1x =时，2|1|20n =-⨯+=．
2m ∴=-，0n =；
（2）函数2||2y x =-+的图象如图所示：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴．正确；
②当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大，正确；
故答案为：√；√；
（3）在同一平面直角坐标系中画出直线21y x =-与函数2||2y x =-+的图象，如图．
把21y x =-代入22y x =-+，得2122x x -=-+，解得34x =
， 根据图象可知，不等式||21a x b x +>-的解集是34x <
． 故答案为：34x <．
23．解：（1）设甲商品的零售单价为x 元，乙商品的零售单价为y 元，
由题意可得：11323212
y x x y +⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得：23x y =⎧⎨=⎩
， 答：甲商品的零售单价为2元，乙商品的零售单价为3元，
（2）由题意可得：甲的进货单价211=-=（元)，乙商品进货单价3122
+=
=（元)， 则(21)(600120)(32)60012000.1m m --+⨯+-⨯=， 解得：0m =（不合题意舍去），0.5m =，
答：当m 为0.5时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1200元．
24．解：（1）68是“少2数”，89不是“少2数”，
理由：685133÷=⋯⋯，68795÷=⋯⋯，所以68是“少2数”；
897125÷=⋯⋯，但895174÷=⋯⋯，所以89不是“少2数”
； （2）大于100且小于200的数除以7余5的数为103，110，117，124，131，138，145，152，159，166，173，180，187，194，
其中除以5余3的数是103，138，173，
即大于100且小于200的所有“少2数”是103，138，173．
25．解：（1）令0y =，102
x -+=，
解得x =
令0x =，y =
A ∴0)，
B ．
12
AOB S OA OB ∆=⨯⨯ 1
122
=⨯． AOB ∴∆的面积为12．
（2）动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动，
AM t ∴=． 当043t 时，
OM t =，
OC =
∴12
OCM S OM OC ∆=⨯⨯ 1
)2
t =⨯
24=-．
当t >
OM t =-
∴12OCM S OM OC ∆=⨯⨯ 143(43)2
t =⨯⨯- 2324t =-．
综上，COM ∆的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式：
2423(043)2324(43)
t t S t t ⎧-⎪=⎨->⎪⎩． （3）在平面直角坐标系中存在点N ，使以点A ，C ，N ，M 为顶点的四边形为菱形． ①当AC ，AM 为菱形的边时，
情况一：如图1，当点M 在点A 的左侧时， Rt AOC ∆中，
2246AC OA OC =+=，
46NC AC ∴==．
//NC AM ，
∴点(46N -，43)．
情况二，如图1'，当点M 在点A 的右侧时， 由情况一同理可得点N 的坐标为(46,43)．
②当AC为菱形的对角线时，如图2，
此时M，O重合，
四边形OANC为正方形，
则点(43
N，43)．
③如图3，当AC为菱形的边，AM为菱形的对角线时，
此时点C，N关于x轴对称，
N-．
∴点(0,43)
综上，在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，此时点N的坐标为：(46
-．
-，43)，(46,43)，(43，43)，(0,43)
26．解：当AC BC
<时，如图1，连接BF，
四边形CFGB是正方形，
45GFB ∴∠=︒，//FG BA ，
四边形ACDE 是正方形，
DE CD ∴=，//DE AB ，
////AB DE GF ∴，
又//EF DH ，
∴四边形EFHD 是平行四边形，
DE FH ∴=，
四边形CDHJ 是平行四边形，
//HJ DC ∴，CD HJ =，
ED DC FH HJ ∴===，90FHJ CFH ∠=∠=︒， 45HFJ ∴∠=︒，
∴点J 在BF 上，
45CBJ ∴∠=︒；
当AC BC >时，如图2，连接BF ，JF ，
同理可证点J 在FB 的延长线上，
45FBC ∠=︒，
135CBJ ∴∠=︒．
综上所述：CBJ ∠的度数为45︒或135︒；
（2）如图1，设AC a CD HJ FH ====，则10BC a FG BG =-==， 10102HG a a a ∴=--=-，
四边形BJHG 的面积为15， ∴(10)(102)152
a a a +-⨯-=， 72
a ∴=， 72
AC ∴=； 如图2，设AC a CD HJ FH ====，则10BC a FG BG =-==，
(10)210HG a a a ∴=--=-，
四边形BJHG 的面积为15， ∴(10)(210)152
a a a +--=， 132
a ∴=， 132
AC ∴=， 综上所述：AC 的长为
72或132； （3）如图1，设AC b CD HJ FH ====，则10BC b =-，
22FJ FH b ∴=，21022BF BC b =， 1022210222BJ b b b ∴==， 当CJ JB =时，
45JBC JCB ∴∠=∠=︒，
90CJB ∴∠=︒，
又CF BC =，90FCB ∠=︒，
2BF CJ ∴=， 10222(10222)b b ∴=，
103
b ∴=， 103AC ∴=
； 当BC BJ =时，
1010222b b ∴-=，
30102b -∴= 301027
AC -∴=； 当CB CJ =时，则点J 与点F 重合，不合题意舍去；
如图2，设AC b CD HJ FH
====，则10
BC b
=-，22
FJ FH b
∴=，21022
BF BC b
=，2102222102
BJ b b b
∴-=-
135
CBJ
∠=︒，
∴只存在BC BJ
=这一种情况，
1022102
b b
∴-=-，
解得：
302
7
b
+
=，30102
AC +
∴=
综上所述：AC 30102
-30102
+10
3
．。