【数学】2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第5节指数与指数函数教师用书文北师大版

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第五节指数与指数函数
[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.3.知道指数函数是一类重要的函数模型．
1．有理指数幂
(1)分数指数幂
①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
2．指数函数的图像与性质
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(－1)＝(－1)＝.( )
(2)函数y＝2x－1是指数函数．( )
(3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.( )
(4)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．( )
[答案] (1)×(2)×(3)×(4)×
2．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为( )
A．－9 B．7
C．－10 D．9
B [原式＝(26)－1＝8－1＝7.]
3．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图像可能是( )
A B C D
C [法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图像必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.
法二：当a＞1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，且过(1,0)，A，B，D都不合适；
当0＜a＜1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，因为0＜a＜1，故排除选项D.]
4．(教材改编)已知＜0.2n，则m________n(填“＞”或“＜”).
【导学号：】
＞ [设f (x)＝0.2x ，f (x)为减函数， 由已知f (m)＜f (n)，∴m ＞n.]
5．指数函数y ＝(2－a)x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________.
【导学号：】
(1,2) [由题意知0＜2－a ＜1，解得1＜a ＜2.]
指数幂的运算
化简求值：
(1)0＋2－2·－－(0.01)0.5； (2).
[解] (1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝. 6分 (2)原式＝＝a －－－·b ＋－＝. 12分
[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．
2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． [变式训练1] 化简求值： (1)(0.027)－－－2＋－(－1)0； (2)a ·b －2·(－－b －1)÷(·b －3). [解] (1)原式＝－－72＋－1 ＝－49＋－1＝－45. 6分 (2)原式＝－a －b －3÷(·b －3) ＝－a －b －3÷(ab －) ＝－a －·b －
＝－54·1ab 3
＝－5ab
4ab 2. 12分
指数函数的图像及应用
(1)函数f (x )＝1－e |x |
的图像大致是( )
(2)若曲线y ＝|2x
－1|与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围．
(1)A [将函数解析式与图像对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |
是偶函数，且值域是
(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．]
(2)曲线y ＝|2x
－1|与直线y ＝b 的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y ＝|2x
－1|与直线y ＝b 有两个公共点，8分
则b 的取值范围是(0,1). 12分
[规律方法] 指数函数图像的画法(判断)及应用
(1)画(判断)指数函数y ＝a x
(a ＞0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.
图2­5­1
[变式训练2] (1)函数f (x )＝a x －b
的图像如图2­5­1，其中a ，b 为常数，则下列结论
正确的是( )
A ．a ＞1，b ＜0
B ．a ＞1，b ＞0
C ．0＜a ＜1，b ＞0
D ．0＜a ＜1，b ＜0
(2)方程 2x
＝2－x 的解的个数是________． (1)D (2)1 [(1)由f (x )＝a x －b
的图像可以观察出，函数f (x )＝a
x －b
在定义域上递减，
所以0＜a ＜1，函数f (x )＝a
x －b
的图像是在y ＝a x
的基础上向左平移得到的，所以b ＜0.
(2)方程的解可看作函数y ＝2x
和y ＝2－x 的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．
由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]
指数函数的性质及应用
☞角度1 比较指数式的大小
(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝323，c ＝251
3
，则( )
【导学号：】
A ．b ＜a ＜c
B ．a ＜b ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b
(2)(2016·浙江高考)已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x
，x ∈R .( ) A ．若f (a )≤|b |，则a ≤b B ．若f (a )≤2b
，则a ≤b C ．若f (a )≥|b |，则a ≥b
D ．若f (a )≥2b
，则a ≥b
(1)A (2)B [(1)a ＝243＝423，b ＝323，c ＝2513＝52
3.
∵y ＝x 2
3
在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c ＞a ＞b .
(2)∵f (x )≥|x |，∴f (a )≥|a |.若f (a )≤|b |，则|a |≤|b |，A 项错误．若f (a )≥|b |且f (a )≥|a |，无法推出a ≥b ，故C 项错误．∵f (x )≥2x ，∴f (a )≥2a .若f (a )≤2b
，则2b ≥2a ，故b ≥a ，B 项正确．若f (a )≥2b 且f (a )≥2a
，无法推出a ≥b ，故D 项错误．故选B.]
☞角度2 解简单的指数方程或不等式
(2015·江苏高考)不等式2x 2
－x ＜4的解集为______．
{x |－1＜x ＜2}()或
－1，2
[∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22
，
∴x 2
－x ＜2，即x 2
－x －2＜0，∴－1＜x ＜2.] ☞角度3 探究指数型函数的性质
已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13.
(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值；
(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．
[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，
令g (x )＝－x 2
－4x ＋3＝－(x ＋2)2
＋7， 则g (x )在区间(－∞，－2)上递增，2分
在区间[－2，＋∞)上递减，又函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
在R 上是减函数，
因此f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2). 4分
(2)由f (x )有最大值3知，ax 2
－4x ＋3有最小值－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞0，12a －16
4a ＝－1，解得
a ＝1. 8分
(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2
－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. 12分 [规律方法] 1.比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转
化为一般不等式求解．
3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．
易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．
[思想与方法]
1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
2．判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．[易错与防范]
1．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论．
2．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．
3．对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．
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