公务员考试——数量关系公式讲解

数量关系基础知识
一、数列
1.等差数列：1)d
-(n
+
a=
a
1
n
q)
p
n
(m
a
a
a
a
q
p
n
m
+
=
+
+
=
+d
2
)1
n(n
na
2
)
a
a(n
S
1
n
1
n
-
+
=
+
=
中项求和公式①n为奇数时：
2
1
n
na
s
n+
=
②n为偶数时：)
a
(a
s
1
2
n
2
n
2
n
n
+
+
=
2.等比数列：1-n
1
n
q
a
a=)q
p
n
m
(
a
a
a
a
q
p
n
m
+
=
+
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠
-
-
=
=
=
1
q,
q
1
q
a
a
q-1
)
q-
(1
a
1
q
na
S
n
1
n
1
1
n
，
3.某些数列的前n项和
①奇数项和：1+3+5+…+(2n-1)=n2 【项数为时，奇数项和减偶数项和为数列中项】
②偶数项和：2+4+6+…+(2n)=n(n+1)
③平方数列求和：12+22+32+…+n2=
6
1n(n+1)(2n+1)
④立方数列求和：13+23+33+…+n3=
4
1[n(n+1)]2
二、数学基础公式
1.乘法公式
立方和：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) 立方差：a³- b³=(a-b)(a²+ab+b²)
完全立方和/差：(a〒b)³=a³〒3a²b+3ab²〒b³裂项公式：
)1
n(n
1
n
1
)1
n(n
1
-
-
=
-
加权平均数：
n
f
x
+
…
+
f
+x
f
x
k
k
2
2
1
1调和平均数：
n
2
1
x
1
x
1
x
1
n
+
⋯
+
+
二项式定理：n
n
n
r
r
n
r
n
2
2
n
2
n
1
n
1
n
n
n
n b
C
b
a
C
b
a
C
b
a
C
a
C
)b
a(+
+
+
+
+
+
=
+-
-
-
二项展开式的通项公式：r r n
r
n
1
r
b
a
C
T-
+
=)n
2
1
r(
，
，
=
分期付款(按揭贷款) ：每次还款
1
)b
1(
)b
1(
ab
x
n
n
-
+
+
=元（贷款a元，n次还清，每期利率为b）
2.几何公式
①扇形：周长L=(nπr/180)+2r 面积S=nπr2/360
②圆柱：表面积S=2πrh+2πr2 体积V=πr2h
③球体：表面积S=4πr2 体积V=
3
4πr3
④圆锥：表面积S=πr2+½πr2R【R为母线】体积V=⅓πr2h
③正四面体：表面积2
3
2
3
2
1a
a
a
4
S=
⋅
⨯
=体积a
a
h
s
V
3
6
2
4
3
3
1
3
1⨯
⨯
=
=
底
a
a
BF
BO3
2
3
3
2
3
2=
=
=⨯
a
a
BF
OF
6
3
2
3
3
1
3
1=
⨯
=
=
3.几何问题其他结论：
①所有表面积相等的立体图形中，球的体积最大，越接近球体，体积越大。

②n条直线最多可以将平面分为1+½n(n+1)个区域。

③n个圆相交最多可以有n(n-1)个交点。

③一个正方形被分割成若干小正方形，除了不能分为2个、3个、5个，其他数量都可完成。

④满足勾股定理的三边有：【3,4,5】【5,12,13】【6,8,10】【7,24,25】【8,15,17】【9,12,15】 ⑤已知三角形最长边为n ，三边均为整数，这样的三角形有多少个?
n=2k-1时，为k 2个三角形；
n=2k 时，为(k+1)k 个三角形。

⑥已知边长为a 、b 、c 的长方体由边长为1的小立方体组成。

则一共有abc 个小立方体； 内部看不见的立方有：(a-2)(b-2)(c-2)；露在外面的小立方体有：abc-(a-2)(b-2)(c-2)
⑦欧拉定理：V ＋F －E=2 (简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F)
E=各面多边形边数和的一半。

若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：F n 21E =；若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：V m 2
1E = ⑧立体涂色问题：一个边长为n 的正方体，由n ³个边长为1的小正方体构成。

最外层涂色，则：3面被涂色的小正方体有8个
2面被涂色的小正方体有(n-2)〓12个
1面被涂色的小正方体有(n-2)²〓6个
0面被涂色的小正方体有(n-2)³个
总共被涂色的有n ³－(n-2)³个
三、数字特性
1.倍数关系
若a 〕b=m 〕n(m ，n 互质)，则a 是m 的倍数；b 是n 的倍数；a 〒b 是m 〒n 的倍数。

若x=mny(m ，n 互质)，则x 是m 的倍数；y 是n 的倍数。

2.两个数的最小公倍数与最大公约数的关系：最大公约数〓最小公倍数=两数的积
3.奇偶运算法则
①加减规律：奇〒奇=偶〒偶=偶；奇〒偶=奇；
②乘法规律：奇〓偶=偶〓偶=偶；奇〓奇=奇；【有奇为偶，无偶为奇】
4.基本幂数周期
①2n 的尾数周期为4，分别为2，4，6，8…
②3n 的尾数周期为4，分别为3，9，7，1…
③4n 的尾数周期为2，分别为4，6…
④5n ，6n 的尾数不变；
⑤7n 的尾数周期为4，分别为7，9，3，1…
⑥8n 的尾数周期为4，分别为8，4，2，6…
⑦9n 的尾数周期为2，分别为9，1…
⑧n n (n ≥10)的尾数为n 末位的幂的尾数。

4.整除判定法则
①能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性
能被2(或5)整除的数，末一位数能被2(或5)整除；
能被4(或 25)整除的数，末两位数能被4(或25)整除；
能被8(或125)整除的数，末三位数能被8(或125)整除；
一个数被2(或5)除得的余数，就是其末一位数被2(或5)除得的余数；
一个数被4(或 25)除得的余数，就是其末两位数被4(或 25)除得的余数；
一个数被8(或125)除得的余数，就是其末三位数被8(或125)除得的余数。

②能被3(或9)整除的数，各位数字和能被3(或9)整除；
一个数被3(或9)除得的余数，就是其各位相加后被3(或9)除得的余数。

③能被7整除的数，其末一位数的2倍与剩下数之差，能被7整除；其末三位数与剩下
数之差，能被7整除。

如362，末一位的2倍为4，与剩下数36之差为32——不能被7整除
如12047，末三位047与剩下数12之差为35——能被7整除
③能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。

当且仅当其末三位数与剩下数之差，能被11整除。

如7394，奇数位和7+9=16，偶数位和3+4=7，16-7=9——不能被11整除
如15235，末三位235与剩下数15之差为220——能被11整除111
④能被7(11或13)整除的数，其末三位数与剩下数之差，能被7(11或13)整除。

将一个多位数从后往前三位一组分段，奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差能被7(11或13)整除。

5.剩余定理
①余同加余：一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，因为余数都是1，则取1，公倍数做周期，则这个数为60n+1
②和同加和：一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，因为4+3=5+2=6+1，则取7，公倍数做周期，则这个数为60n+7
③差同减差：一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，因为4-1=5-2=6-3，则取3，公倍数做周期，则这个数为60n-3
【例题】：三位的自然数N满足：除以6余3，除以5余3，除以4也余3，则符合条件的自然数n有几个?
A.8
B.9
C.15
D.16
【解析】4、5、6的最小公倍数是60，可以算出这个数为60n+3，已知的条件n是一个三位数，所以n可以取2到16的所有整数，共15个。

6.余数定理
定理1：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和
（1）7〔3=…1，5〔3=…2，则（7+5）〔3的余数就等于1+2=3，所以余0
（2）8〔3=…2，5〔3=…2，2+2=4>3，4〔3…1，则（8+5）〔3的余数就等于1 【例题】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（）。

A.29个 B.33个 C.36个 D.38个
【解析】小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。

因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数，总数量与小赵关于5同余。

用定理1计算总数量除以5的余数，17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个、44个除分别余2、余4、余4、余3、余0、余1、余3、余4。

2+4+4+3+0+1+3+4=21〔5=4…1，总数量除以5余1，因此小赵除以5也余1。

选C 定理2：两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积
（1）7〔3余1，5〔3余2，则（7〓5）〔3的余数就等于1〓2=2，所以余2
（2）8〔3=…2，5〔3=…2，2+2=4>3，4〔3…1，则（8〓5）〔3的余数就等于1 【例题】有一条长1773mm的钢管，把它锯成长度分别为41mm和19mm两种规格的小钢管，结果恰好用完，则可能锯成41mm的钢管（）段。

A.20
B.31
C.40
D.52
【解析】设长度为41mm的钢管x段，19mm的钢管y段，可列方程41x+19y=1773，19y显然能被19整除，而1773〔19=93…6，因此41x〔19一定也余6，又41〔19余
3，根据定理2，x 〔19只能余2，选项中只有C 选项满足此条件，应选C
数量关系经典题型
一、日期问题
1.每个世纪前99年，能被4整除的是闰年；每个世纪最后一年，能被400整除的是闰年。

2.平年有52个星期零1天，一年后的这一天星期数变化加1；闰年有52个星期零二天。

3.月历分析：七月前单月为大月，双月为小月【1，3，5，7，8，10，12】
八月后单月为小月，双月为大月【4，6，9，11】
①每月1，2，3日对应的星期数可能出现5次。

②大月当月1，2，3日对应的星期数出现5次；小月当月1，2日对应的星期数出现5次；闰年2月有29天，当月1日对应的星期出现5次。

二、年龄问题：利用年龄差不变，可列方程求解。

三、植树问题
1.不封闭路线①两端植树：颗树=全长/间距－1 ②两端不植树：颗数=全长/间距－1
2.封闭路线：颗数=全长/间距
四、方阵问题
1.从内向外：每层人数依次增加8 每层总人数=每边人数×4－4
2.空心方阵总人数=层数×中间层人数=每边最外层人数2－(最内层每边人数－2)2
五、钟表问题
1.分针每分钟走360°÷60=6°，时钟每分钟走60°÷60=0.5°，每分钟两者角度差为5.5°
2.时针每分钟走5/60=1/12格，时针每分钟走1格，每分钟两者路程差为11/12格。

3.分针追击时针问题：追及时间=在初始时刻需追赶的格数〔(1－1/12)
时针速度是分钟的1/12，分钟每走60÷（1－1/12）=11565（分）与时钟重合一次。

3.坏钟问题：坏钟每小时比标准时间快n 分钟，则坏钟/标准时间=(60+n)/60。

当坏钟显示过了x 分钟，标准时间相当于过了60x/(60+n)分钟。

4.时针成角度问题
①把12点方向作为角的始边，把两指针在某一时刻时针所指方向作为角的终边，则m 时n 分这个时刻时针所成的角为30（m+n/60）度，分针所成的角为6n 度，而这两个角度的差即为两指针的夹角。

用α表示此时两指针夹的度数，则α=30（m+n/60）-6n
则α=|30(m+n/60)-6n|=|30m-5.5n|。

【例如】求5时40分两指针所夹的角。

【解析】把m =5，n =40代入上式，得α=|150-220|=70°
②此公式也可计算何时两指针重合问题和两指针成任意角问题。

时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

【例如】求3时多少分两指针重合。

【解析】把α=0，m=3代入公式得：0=|30×3-5.5n|，解得n=180/11，即3时180/11分时两针重合。

六、浓度问题
1.基本公式：m 溶液=m 溶质+m 溶剂 c=m 溶质/m 溶液
2.等溶质递减溶剂问题公式：3
1312c c c c 2c += …c i 为第i 次的溶液浓度，i=1，2，3…‟ 3.溶液混合普通问题m 1c 1+m 2c 2=(m 1+m 2+)c 混 …m 为溶液质量，c 为溶液浓度‟
①有某溶液质量为m ，每次先倒出该溶液m 0，再倒入清水m 0，经过n 次操作后，溶液浓度由c 0变为c n 。

则c n =c 0[(m-m 0)/m]n
②有某溶液质量为m ，每次先倒入清水m 0，再倒出该溶液m 0，经过n 次操作后，溶液浓度由c 0变为c n 。

则c n =c 0[m/(m+m 0)]n
【例题】从装满1000克浓度为50%的酒精瓶中倒出200克酒精，再倒入纯酒精将瓶加满。

这样反复三次后，瓶中的酒精浓度是多少？
【解析】将题中酒精视为溶剂，清水视为溶质，则杯中原有清水浓度为1-50%=50%，根据多次混合公式，可得到多次混合之后清水的浓度为50%[(1000-200)/1000]3=25.6%，所以多次混合后酒精的浓度为1-25.6%=74.4%。

3.十字交叉法与浓度问题
浓度问题中的混合问题，一般主要采用十字交叉法来实现多的量和少的量保持平衡。

已知一瓶溶液的浓度为a%，另外一瓶的溶液浓度为b%，分别取m 和n 份进行混合，求混合溶液的浓度？(m ＞n)
第一部分 a%
x-b% —— m
x 则n
m x %a %b -x =- 第二部分 b% a%-x —— n
【例题】某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成绩为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是( )。

【解析】设男生平均分x ，女生1.2x 。

(75-1.2x)/(75-x)=1/1.8得x=70，则女生平均分为84
4.溶液交换浓度相等问题
设两个溶液的浓度分别为a%，b%，且 a>b ，设需要交换溶液为x 。

则有：
(b-x)：x=x ：(a-x) → x=ab/a+b
【例题】两瓶浓度不同得盐水混合液。

60%的溶液是40克，40%的溶液是60克。

要使得两个瓶子的溶液浓度相同，则需要相互交换( )克的溶液?
A.36
B.32
C.28
D.24
【解析】设交换的溶液为x 克，混和后的标准浓度c 。

先对60%的溶液研究，采用十字交叉法来得：40-x ：x=(c-40% ) ：(60%-c)
再对40%的溶液进行研究，同理得：60-x ：x=(60%-c) ：(c-40%)
由上面两式得40-x ：x=x ：60-x 即推出x=(40〓60)/(40+60)=24
七、盈亏问题：核心思想即 人数=盈亏差÷分配差
1.一次盈，一次亏：(盈+亏)〔(两次每人分配数的差)=人数
2.两次都有盈： (大盈-小盈)〔(两次每人分配数的差)=人数
3.两次都是亏： (大亏-小亏)〔(两次每人分配数的差)=人数
4.一次亏，一次刚好：亏〔(两次每人分配数的差)=人数
5.一次盈，一次刚好：盈〔(两次每人分配数的差)=人数
【例题1】用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米不到井口，那么井深多少米？绳长多少米？
【解析】井深=(3×2+4×1)/(4-3)=10米，绳长=(10+2)×3=36米。

【例题2】有一个班的同学去划船。

他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；如果减少1条船，正好每条船坐9个人。

那么这个班共有多少名同学？
【解析】增加一条和减少一条，前后相差2条，可理解为每条船坐6人正好，若坐9人则空出两条船。

这样就是一个盈亏问题的标准形式了。

解答：增加一条船后的船数=9×2/(9-6)=6条，这个班共有6×6=36名同学。

或者也可以理解为每条船坐9人正好，若坐6人则还缺两条船。

增加一条船后的船数=6×2/(9-6)=4条，这个班共有4〓9=36名同学。

八、鸡兔同笼问题
假设全是鸡，则兔子数=（总脚数-鸡脚数×总只数）÷（兔脚数-鸡脚数）
假设全是兔子，则鸡数=（兔脚数×总只数-总脚数-）÷（兔脚数-鸡脚数）
【例题】灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。

每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。

某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”
【解析】假设全部合格，则不合格的有(4×1000-3525)÷(4+15)=475〔19=25（个）假设全部不合格，不合格的有1000-(15×1000+3525)÷19=1000-18525÷19=25（个）九、牛吃草问题：
草生长速度=总量差〔时间差=（吃草速度1×时间1－吃草速度2×时间2）〔时间差
原有草量=（牛数－每天长草量）〓天数…一般设每天长草量为x‟
草的总量=原有草量+新生草量
十、利润问题
利润率＝利润/成本＝(售价成本)/成本＝售价/成本－1
售价＝成本×(１－利润率) 成本＝售价/（１＋利润率)
【例题】一商品的进价比上月低了5%，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了6个百分点，则超市上月销售该商品的利润率为多少？
A.12%
B.13%
C.14%
D.15%
【解析】本题中始终不变的是售价，根据售价＝成本×(１－利润率) ，设商品进价为100，上月利润率为x。

则有100×(1+x)=95×(1+x+6%) 解得x=14%，选C
十一、抽屉原理：
①原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

②原理2：把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。

③第二抽屉原理：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m —1）个物体。

注意：抽屉原理类题也可用“最不利原则”来思考，答案为“最不利+1”。

【例题】体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？
【解析】最多有同学拿球的配组方式共有C(1，3)+2C(2，3)=9种(足球、篮球、排球、足足、篮篮、排排、排篮、足排、足篮)。

以这9种配组方式制造9个抽屉，将这50个同学看作苹果50〔9＝5……5。

由抽屉原理2，k＝（m/n）＋1可得，至少有6人，他们所拿的球相同。

十二、容斥问题
1.三者容斥问题问题的两个不同公式
①A∪B∪C=A+B+C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C
②A∪B∪C=A+B+C－重叠一次的－2×重叠两次的
A∪B∪C=K1+K2+K3 …K1为第一层，K2为第二层，K3为第三层‟
A+B+C=K1+2K2+3K3=A∪B∪C+K2+2K3
【例题】五年级一班共有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班，35人参加书法班，28人参加美术班，31人参加舞蹈班，其中以上三种特长培训班都参加的有6人，则有（）人只参加了一种特长培训班。

A.45
B.33
C.29
D.22
【解析】根据A+B+C=A∪B∪C+K2+2K3=55+K2+2×6=35+28+31解得K2=27,
根据A∪B∪C=K1+K2+K3 解得K1=22。

K1即表示为只参加一种特长班的人数。

2.容斥问题其他类型
①求两个集合的交集的最小值：A+B-I
②求三个集合的交集的最小值：A+B+C-2I
【例题】小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。

问三人都做对的题目至少有几题?
A.4题
B.8题
C.12题
D.16题
【解析】解法一：代入公式：68+58+78-2〓100=4，选择A。

解法二：由题意知，小明、小刚，小红做错的题分别为32，42，22，三人做错的题共有32+42+22=96道，利用最不利原则，即三人最多做错96道，则至少做对100-96=4道十三、工程问题
1.基本工程问题：
(1)已知每个人完成工作的时间，设工作总量为工作效率的最大公倍数，求出每人的工作量。

(2)抓住单独工作效率或者合作工作效率为解题关键。

常见两种题型：
①合作过程中有人休息：一般假设不休息来算。

②轮流工作时：一般用周期来算。

计算每轮工作的效率，算出最后一轮的实际工作量，以及最后剩余工作量如何分配。

(3)某些题型，无论合作还是轮流，按照两人的工作效率，甲做的天数可以转化为相当于乙做了多少天。

【例题1】一件工作，甲单独做12天完成，乙单独做9天完成。

按照甲先乙后的顺序每人每次1天轮流，完成需几天？
A.31/3
B.32/3
C.11
D.10
【解析】设工作总量为36，则甲每天做3份，乙每天做4份，轮流2天可做7份。

36〔7＝5……1，即甲乙轮流工作10天余1份，第11天时，甲完成剩余的1/3即可，所以共需31/3天。

【例题2】一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
【解析】解法一：甲乙合作30天可做完；现在甲做6天，乙做46天可做完，前后对比甲少做24天，乙多做16天，所以甲乙的效率之比为6：4。

所以乙做30天相当于甲做了45天，所以乙独做需75天；甲做30天相当于乙做20天，所以乙独做需要50天。

解法二：共同做了6天后，还成4/5的工作量，乙做4/5的工作量需要40天，所以乙独做需要50天，即乙每天做1/50，甲乙合作时乙做了30/50=3/5，甲做了2/5，甲做2/5的工作量需30天，所以甲独做需75天。

【例题3】一件工程，甲单独做10天完成，乙单独做30天完成.现在两队合作，其间甲休息了2天，乙休息了8天。

问开始到完工共用了多少天时间？
【解析】解法一：设工作总量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成1份。

在甲单独做8天，乙单独做2天后，还需两队合作(30-3×8-1×2)÷(3+1)= 1天，所以共需8+2+1=11天【例题4】甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。

现在他们两队一起做，其间甲
队休息了3天，乙队休息了若干天，从开始到完成共用了16天。

问乙队休息了多少天？【解析】解法一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是16×(1/20+1/30)=4/3 则两队休息期间未做的工作量为1/3，乙队休息期间未做的工作量1/3-3×(1/20)=11/60，乙队休息的天数是11/60〔(1/30)=5.5天
解法二：甲乙效率之比为3:2，甲单独做需20天，现在甲休息了3天，即甲做了13天，甲若再做7天即可完成，转化为乙做了10.5天，所有乙休息了16-10.5=5.5天。

2.工程问题——水管问题
【例题3】甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池。

现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池。

已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？
【解析】解法一：甲每分钟注入水量是：(1-1/9〓3)〔10=1/15，乙每分钟注入水量是：1/9-1/15=2/45。

因此水池容积是：0.6〔(/15-2/45)=27m3
解法二：甲管9分钟，乙管9分钟可注满；甲管13分钟，乙管3分钟注满。

前后对比甲管多进水4分钟，乙管少进水6分钟，即甲管和乙管的效率之比为4：6。

已知甲管比乙管每分钟多注水0.6m3，所以两管每分钟共进水3m³，所以水池容积为3〓9=27m3十四、行程问题
(1)相遇问题：路程和=速度和〓时间（S1+S2）=（v1+v2）t
(2)追及问题：路程差=速度差〓时间（S1+S2）=（v1+v2）t
(3)直线多次相遇问题：两人相向而行，第n次相遇时两人行走的总路程S总=(2n-1)S
(4)环形运动问题：圆形跑道长为S，两人走的路程分别为S1、S2
同地异向而行，相邻两次相遇间所走的路程和为周长，第n次相遇时两人走的总路程为nS 同地同向而行，相邻两次相遇间所走的路程差为周长，第n次追上时两人走的路程差为nS 1.沿途数车问题
发车时间间隔T=(2t1t2)/ (t1+t2)
车速/人速=(t1+t2)/ (t2-t1) …t1为迎面来一辆车所需时间，t2为从身后超过一辆车所需时间‟【例题】小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，每隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍？
A. 3
B.4
C. 5
D.6
【解析】车速/人速=(10+6)/(10-6)=4
2.公交车超骑车人和行人问题
【例题】一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。

每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车?
t人=超行人时间，t车=超自行车时间，v人=人的速度，v车=自行车的速度
通解公式：发车时间间隔T=[t人t车(v车-v人)]/(v车t车-v人t人)
上题代入解得T=8
3.队伍行走问题：已知：v1为传令兵速度，v2为队伍速度，L为队伍长度。

从队尾到队首的时间为：L/((v1-v2 )
从队首到队尾的时间为：L/(v1+v2 )
4.行程问题——停留问题，化静为动看待问题。

我们可以假设停留的时间没有停留，把它们两者的停留时间按照原速度计入总路程中。

【例题1】快慢两车同时从甲乙两站相对开出，6小时相遇，这时快车离乙站还有240千米，已知慢车从乙站到甲站需行15小时，两车到站后，快车停留半小时，慢车停留1小时
返回，从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小时?
【解析】相遇时快车距离乙站240km ，即为相遇时慢车走了240km ，则v 慢=40km/h ，甲乙两地总路程为40〓15=600km ，所以，相遇时快车走了360km ，则v 快=60km/h 从第一次相遇到返回途中再相遇，两车共行的路程为甲乙两站距离的2倍，假设快车不在乙站停留0.5小时，慢车不在甲站停留1小时，则两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程为600〓2+60〓0.5+40〓1=1270km ，两次相遇期间所经时间为1270〔(60+40)=12.7h
【例题2】甲乙两人同时从东镇出发，到相距90千米的西镇办事，甲骑自行车每小时行30千米，乙步行每小时行10千米，甲到西镇用1小时办完事情沿原路返回，途中与乙相遇。

问这时乙走了多少千米?
【解析】甲从东镇到西镇，返回时与乙相遇，故两人所行路程总和为90〓2=180km ，但因甲到西镇用了1小时办事。

倘若甲在这1小时中没有停留，而是继续骑行，这样两人所行总路程应为：90〓2+30=210km ，则相遇时间为：210〔(30+10)=5.25h ，则乙行了10〓5.25=52.5km 。

十五、流水行船问题
v 顺=v 船+v 水 v 逆=v 船-v 水
v 船=(v 顺+v 逆)/2 v 水=(v 顺-v 逆)/2 v 船/v 水=(v 顺+v 逆)/(v 顺-v 逆)
已知：A 、B 两地由一条河流相连，轮船匀速前进，从A 到B 顺流需时间T 顺，从B 到A 逆流需时间T 逆。

(1)漂流时间=2T 顺〃T 逆/(T 逆-T 顺)
(2)轮船在静水中从A 到B 的时间=2T 顺〃T 逆/(T 逆+T 顺)
【例题1】轮船从A 城到B 城需行3天，而从B 城到A 城需行4天.从A 城放一个无动力的木筏，它漂到B 城需多少天? 【解析】代入公式：2〓3〓4〔(4-3)=24天
【例题2】轮船从A 城到B 城需行3天，而从B 城到A 城需行6天，若轮船在静水中从A 到B 需要多长时间? 【解析】代入公式：2〓3〓6〔(3+6)=4天
(3)多次相遇公式：S 1为第一次相遇时的距离，S 2为第二次相遇时的距离。

S 1和S 2相对的是同一地点，则为单岸型，不同地点则为双岸型。

①单岸型：S=(3S 1-S 2)/2 ②双岸型：S=3S 1-S 2
(4)行船复杂问题
【例题】一只游轮从甲港顺流而下到乙港，又逆水返回甲港，共用8小时，顺水每小时比逆水每小时多行12千米，前4小时比后4小时多行30千米。

甲、乙两港相距多少千米?
A.72
B.60
C.55
D.48
【解析】全程共用8小时，所以逆水行船花的时间过半，后4小时全部是逆水行船，前4小时有一部分是顺水，一部分是逆水。

解法一：由于逆水速度不变，所以前4小时比后4小时多行驶的距离就是顺水时多行的距离，可以得出：t 顺=30/12=2.5h ，t 逆=5.5h
则v 顺/v 逆=5.5/2.5=2.2倍，v 顺-v 逆=1.2v 逆=12km/h ，则v 逆=10km/h ，甲乙两港的距离就是10×5.5=55km 。

解法二：v 逆=v 顺-12 S 逆=4v 顺-48 S=S 逆+15=4v 顺-33
由S/v 顺+15/v 逆=S 逆/v 逆 代入解得v 顺=22 则S=55km
十六、排列组合
1.)1m n ()1n (n A m
n +-⋯-= 1)1m (m )1m n ()1n (n A A C m m m n m
n
⨯⋯⨯-+-⋯-== 2.“在位”与“不在位”：n 个元素中取m 个元素的排列
①某元素必在某位有1
-m 1-n A 种
②某元素不在某位有1m 1n m n A A ---（补集思想）1m 1n 11n A A ---=（着眼位臵）1m 1n 11m m
1n A A A ----+=（着眼元素）种
【例题】5本书从左到右依次摆在书架上，其中一本书既不能摆在排头，也不能摆在排尾，一共有多少种摆法？
【解析】解法一：补集思想。

5本书排列，若不限制条件，共有5
5A 种排法；其中某种书排
在排头或排尾有44A 2种，它不符合条件，故符合条件的排法有4455A 2A -=72种 解法二：插空法。

先把不能摆在排头也不能摆在排尾的的书拿开，让其余4本书做全
排列，有4
4A 种，然后再把那本书插入中间3个空隙处，有13A 种。

所有共有4413A A =72种 解法三：看眼位臵。

某本书既不能摆在排头，也不能摆在排尾，这两个位臵只能摆其余
4本书，有24A 种；中间3个位臵只能排余下的3本书，有3
3A 种。

所以共有3324A A =72 3.排列组合基本问题
①捆绑法：n 个元素的全排列，k 个元素必须相邻的排法有1k n 1k n k k A A +-+-种。

…应用于不相
邻问题，先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列 ‟
②插空法：n 个元素的全排列，k 个元素不能相邻的排法有k 1k -n k -n
k -n A A +种。

…应用于相邻
问题，先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中 ‟
③两组元素各相同的插空：m 个A 类元素n(n ≤m+1))个B 类元素排成一列，B 类元素必须分开，有n 1m n n
n 1m
C A A ++=种排法 ④插板法：n 个元素分成m 组，每组至少一个元素，可用m-1个“挡板”插入n 个元素形成的n-1个空隙中，将元素分成m 组，有1
-m 1-n C 种。

5.平均分组问题：将mn 个元素平均分成n 组，每组m 个，分法有n
n m m m )2n (m m 1)-m(n m
mn A C C C C ⋯-
6.环线排列问题：n 元素排成一圈，排法有)!1n (A n /A 1-n 1-n n
n -==种
注意：n 个珍珠串成一条项链，有种n n A /2n=½(n-1)! 种串法。

7.多人传球问题：n 人传接球m 次，则传球种数x=(n-1)m /n
[ 最接近x 的整数为末次传他人次数，第二接近x 的整数为末次传给自己的次数 ]
【例题】四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。

开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（ ）。

A.60种
B.65种
C.70种
D.75种
【解析】 (4-1)5 / 4=60.75 最接近的是61为最后传到别人次数，第二接近的是60为最后传给自己的次数。

即选A
8.比赛场次问题：已知n 人参赛人数
单循环场次=2n C 双循环场次=2n 2n A C 2=
淘汰赛(仅需决出冠亚军)：比赛场次=n-1
淘汰赛(需决出冠亚季军)：比赛场次=n
【例题】8支球队进行单循环比赛，每两支球队都比一场，胜者得2分，败者得0分，平局各得1分，比赛结束后，所有球队的总分和是( )。

A.28
B.56
C.84.
D.112
【解析】单循环比赛共需比赛场次28C =8×7/2=28，每场不管胜负，还是平平，都是每场产生2分的分值，则总分和为28×2=56分。

9.错位重排问题(伯努利-欧拉问题)，指把n 个元素的位臵重新排列，使每个元素都不在原。