2018版高中数学第三章不等式3.4不等式的实际应用学案新人教B版

3.4 不等式的实际应用 学习目标 1.掌握建立一元二次不等式模型解决实际问题.2.掌握建立均值不等式模型解决实际问题．
知识点一 不等式模型
思考 一般情况下，建筑民用住宅时，民用住宅商户的总面积应小于该住宅的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和占地面积，如何研究住宅的采光条件是变好了还是变差了？
梳理 建立不等式模型解决实际问题的过程：
(1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解)；
(2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题；
(3)解决数学问题；
(4)回归实际问题，写出准确答案．
知识点二 常见的不等式模型
1．一元二次不等式模型
根据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数，需要求变量的范围或者最值，解决办法是解一元二次不等式或配方法求最值，注意实际含义对变量取值范围的影响．
2．均值不等式模型
根据题意抽象出的模型是(1)y ＝x ＋a x
(a ＞0)，(2)a ＋b ，ab 中有一个是定值，求另一个的最值，解决办法是应用均值不等式，注意均值不等式成立的条件a ＞0，b ＞0，以及等号成立的条件是否具备．
类型一 一元二次不等式的实际应用
命题角度1 范围问题
例1 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的产销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？
反思与感悟解有关不等式应用题的步骤
(1)选用合适的字母表示题中的未知数．
(2)由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．
(3)解所列出的不等式(组)．
(4)结合问题的实际意义写出答案．
跟踪训练1 某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
命题角度2 最值问题
例2 甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费
用小于g (x )万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险．
(1)若f (0)＝10，g (0)＝20，试解释它们的实际意义；
(2)设f (x )＝x 4
＋10，g (x )＝x ＋20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？
反思与感悟 与最值相关的二次函数问题的解题方法
(1)此类问题一般涉及最大值、最小值的确定，实质是求一元二次函数的最值，一般是根据题意列出相应的一元二次函数，再通过配方求最值．
(2)需要注意一元二次函数的对称轴与实际问题中自变量范围的关系，若对称轴在取值范围内，则最值在对称轴处取，若不在取值范围内，则根据函数的单调性确定在哪一个端点处取最值．
(3)对于列出的函数是分段函数的，则在每一段上求最值，再比较每个最值的大小．
跟踪训练2 已知不等式sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2>0对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．
类型二 均值不等式的实际应用
例3 某单位决定投资3 200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．
(1)仓库底面积S (m 2
)的最大允许值是多少？
(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
反思与感悟 (1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求．均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查．
(2)建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视．在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性．
跟踪训练3 把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
1．某工厂第一年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )
A ．x ＝a ＋b 2
B ．x ≤a ＋b 2
C ．x >a ＋b 2
D ．x ≥a ＋b 2
2.某校要建一个面积为392 m 2
的长方形游泳池，并且在四周要修建出
宽为 2 m 和 4 m 的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为
________m 2.
3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．
4．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x 件与单价P 元之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，该厂日产量多大时，每天获利不少于1 300元？
1.解不等式实际应用题的解题思路 实际问题――→建模审题、抽象概括、转化数学问题――→建模推理演算数学模型答案――→验证实际问题结论
2．建立一元二次不等式模型求解实际问题
操作步骤为：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系； (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
答案精析
问题导学
知识点一
思考设a和b分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积，m表示增加的面积，则只需比
较a
b
与
a＋m
b＋m
的大小即可．
题型探究
类型一
命题角度1
例1 解设产销量每年为x万瓶，则销售收入每年70x万元，
从中征收的金额为70x·R%万元，其中x＝100－10R.
由题意，得70(100－10R)·R%≥112，
整理，得R2－10R＋16≤0.
因为Δ＝36＞0，
所以方程R2－10R＋16＝0的两个实数根分别为R1＝2，R2＝8.
由二次函数y＝R2－10R＋16的图象，得不等式的解集为{R|2≤R≤8}．
所以当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元．
跟踪训练1 解如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，因为AB＝400，∠BAx ＝30°，所以热带风暴中心B的坐标为(2003，－200)，x h后热带风暴中心B到达点
P(2003，40x－200)处，
由已知，A市受热带风暴影响时，有|AP|≤350，
即(2003)2＋(40x－200)2≤3502，
整理得16x2－160x＋375≤0，
解不等式，得3.75≤x≤6.25，
A市受热带风暴影响的时间为
6．25－3.75＝2.5，
故在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h.
命题角度2
例2 解 (1)f (0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g (0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．
(2)设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，若双方均无失败的风险，依题意，当且仅当
⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥f x ＝14x ＋10，x ≥g y ＝y ＋20成立．
故y ≥14(y ＋20)＋10， 则4y －y －60≥0，
所以(y －4)(4y ＋15)≥0， 得y ≥4，故y ≥16，x ≥y ＋20≥24，
即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元宣传费．
跟踪训练2 解 设f (x )＝sin 2
x －
2a sin x ＋a 2－2a ＋2，
则f (x )＝(sin x －a )2＋2－2a .
当a <－1时，f (x )在sin x ＝－1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2＋3，a 2＋3>0显然成立，∴a <－1.
当－1≤a ≤1时，f (x )在sin x ＝a 时取到最小值，且f (x )min ＝2－2a ，
由2－2a >0，解得a <1，
∴－1≤a <1.
当a >1时，f (x )在sin x ＝1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2－4a ＋3，
由a 2－4a ＋3>0，解得a <1或a >3，
∴a >3.综上所述，a 的取值范围为 a <1或a >3.
类型二
例3 解 (1)设铁栅长为x m ，一侧砖墙长为y m ，
则有S ＝xy .
由题意得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200.
由均值不等式，得 3 200≥240x ·90y ＋20xy
＝120xy ＋20xy
＝120S＋20S，
∴S＋6S≤160，
即(S＋16)(S－10)≤0.
∵S＋16>0，∴S－10≤0，∴S≤100.
∴S的最大允许值是100 m2.
(2)由(1)知取得最大值的条件是40x＝90y，而xy＝100，由此求得x＝15，即铁栅的长应是15 m.
跟踪训练3 B
当堂训练
1．B 2.648 3.5
4．解由题意得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300，
化简得x2－65x＋900≤0，
解得20≤x≤45.
所以该厂每天产量在20件至45件之间时，每天获利不少于1 300元.。