山东省济南市2007年高三年级3月统一考试数学(理)

山东省济南市2007 年 高 三 年 级 3月 统一考试数学
（理）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至8 页．共150分．测试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号 涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．
一、选择题：本大题共12个小题．每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．若集合13
{|,11},{|2,01}A y y x x B y x x ==-≤≤=-<≤，则A
B 等于 （ ） A ．(-∞，一1) B ．[一1，1]
C ．φ
D ．{1}
2．如果a R ∈且2
0a a +<，那么a 、2
a 、-a 、- 2
a 的大小关系是 （ ）
A ．2
a >a>- 2
a >-a
B ．-a> 2a >- 2
a >a C ．-a> 2
a >a>- 2
a
D ．2
a >-a>a> 2
a
3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4 ，b ＝4 ，则
角B ＝
（ ）
A ．45°或135°
B ．135°
C ．45°
D ．以上答案都不对
4．若数列{ n a }的前n 项和为n S ，且满足3
32
n n S a =-，
则数列{n a }的通项公式是（ ） A ．2
2(1)n a n n =++
B ．33n a n =+
C ．32n
n a =
D ．23n
n a =
5．以3x 士4y ＝0渐近线的双曲线过点(3，一4)，则此双曲线的离心率e 等于 （ ）
A ．
54
B ．
53
C ．
43
D ．5543
或
6．已知向量a=(1，3)，b ＝(2，1)，若(a+2b)与(3a+λb)平行，则实数λ的值等于 （ ） A ．一6 B ．6 C ．2 D ．一2
7．由113x x +==2
y=3x 、、及x 轴围成的图形的面积为 （ ）
A ．28
B ．26
C ．30
D ．323
8．关于函数f(x)＝2sin(3x-34
π)，有下列四个命题：
（ ）
①其最小正周期为23π； ②其图象由y ＝2sin3x 向左平移4
π
个单位而得到； ③其表达式可写成．f(x)＝2cos(3x+34π)；④在5
[
,
]1212x π
π∈上为单调递增函数．
则其中真命题为
（ ） A ．①③④ B ．②③④ C.①②④ D ．①②③ 9．已知函数y ＝log 2x ，其反函数为y ＝f -1(x)，则函数f -1(x 一1)的图象是
（ ）
10．已知正三棱锥V —ABC
的主视图，俯视图如下图所示，
其中V A ＝4，AC ＝则该三棱锥的左视图的面积为 A ．9 B ．6 C ．
D
11．已知直线l: ax +by-1＝0与圆x 2+y 2＝50有公共点，且公
共点的横、纵坐标都是整数，那么这样的直线l 共有 （ ）
A ．66条
B ．72条
C ．78条
D ．84条
12．定义在实数集R 上的奇函数f(x)的最小正周期为20，在区间(0，10)内仅有f(3)＝0，则 函数f(
4
x
+3)在[一100，400]上零点的个数为 （ ）
A ．20
B ．26
C ．27
D ．25
二、填空题：本大题共4个小题．每小属4分；共16分．把答案填在题中横线上． 13．定义—种运算如下：a b c d ⎡⎤
⎢
⎥
⎣⎦
=ad-bc ，则复数1123i i +-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的共轭复数是________。

14．已知n 展开式中第4项为常数项，则展开式的各项的系数和为_______。

15．已知命题p ：|23|1x ->，命题q ：212
log (5)0x x +-<，则p ⌝是q ⌝的_______条件．
16．已知一个半球内有一个内接正六棱锥P —ABCDEF ，该正六棱锥的底面多边形的顶
点在半球的底面圆周上，且底面边长为2，则此六棱锥的侧面积是___________.
三、解答题：本大题共6个小题．共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)
已知：1tan(),()422
π
π
ααπ+
=-<< （1）求tan α的值； （2）求
2sin 22cos sin()4
ααπ
α--的值．
18．(本小题满分12分)
在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮5次，若投中2次就为“及格”，若投中3次就为“良好”并停止投篮．已知甲每次投篮投中的概率是23
． （1）求甲投了3次而不及格的概率;
（2）设甲投篮投中的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
19．(本小题满分12分)
已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，E 为CD 的中点，沿AE 将三角形AED 折起，使DB ＝
2
O 、H 分别为AE 、AB 的中
点．
（1）求证：直线OH//面BDE ； （2）求证：面ADE 上面ABCE ； （3）求二面角O —DH 一E 的大小． 20．(本小题满分12分)
已知函数．3
()2f x x ax =+与2
()g x bx cx =+的图象都过点P(2，0)，且在点P 处
有公共切线．
（1）求f(x)和g(x)的表达式及在点P 处的公切线方程； （2）设()
()ln(1)8mg x F x x x
=+-，其中0m <，求F(x)的单调区间．
21．(本小题满分12分)
已知过抛物线x 2＝4y 的对称轴上一点P(0，m)(m>0)作直线l ，l 与抛物线交于A 、B 两点．
（1）若角∠AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围；
（2）若l 的方程为x-2y+12＝0，且过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点且(A 在第一象限)
处有共同的切线，求圆C 的方程．
22．(本小题满分14分)
已知数列{ n a }、{ n b }满足：111
,1,41n n n n n
b a a b b a +=+==-. （1）求1,234,,b b b b ;
（2）求数列{ n b }的通项公式；
（3）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．
参考答案及评分标准
一、选择题
1．D 2．B 3． C 4．D 5．B 6．B 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B 二、填空题 13．-1-3i 14. 1
32
15．充分不必要 16．
三、解答题
17．解；(1)由1tan()42π
α+
=-,得1tan 11tan 2
αα+=--，解之得tan 3α=-…………4分
（2
）
22sin 22cos sin()
4
2
αααπ
α-==-………..8分
∵
2
x π
π<<且tan 3α=-
cos 10α=-
∴原式＝5
-……………..12分 18．解：(1)甲投了3次而不及格，即前3次中只有一次投中或三次都没有投中，其概率为 3
1
2
31
127
()()
3
3
327
P C =+=
…………………………………………………4分 (2)依题意，ξ可以取0，l ，2，3．
当ξ＝0时，表示连续5次都没投中，其概率为：5
11(0)()3
243
P ξ====
； 当ξ＝l 时，表示5次中仅有1次投中，其概率为：1452110(1)()()33243
P C ξ====； 当ξ＝2时，表示5次中仅有2次投中，其概率为：223
52140(2)()()33243
P C ξ====;
当ξ＝3时，表示①连续3次都投中，其慨串为：328()327
= ,或②前3次中有2次投中，
且第四次投中，其概率为：2
232128
()
33327
C =
，或③前4次中有2次投中，且第五 次投中，其概率为：222421216()()33381
C =，
即881664
(3)27278181
P ξ==++=
.………………………………………9分 ∴随机变量ξ的概率分布列为：
数学期望：01232432432438124327
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==………11分 答：(1)甲恰好投篮3次就通过的概率是7
27；
(2)甲投篮投中的次数的数学期望是74
27
…………………………………………12分．
19．(1)证明∵O 、H 分别为AE 、AB 的中点 ∴OH//BE ，又OH 不在面BDE 内
∴直线OH//面BDE ……………………………………4分 (2)O 为AE 的中点AD ＝DE ，∴DQ ⊥AE
∵
，
，BO 2＝32+12=10
∴2
2
2
DB DO BO =+ ∴DO OB ⊥
又因为AE 和BO 是相交直线 所以，DO ⊥面ABCE ， 又OD 在面ADE 内 ∴面ADE ⊥面ABCE ……………………………….8分
(3)由(1)(2)知OA 、OH 、OD 两两垂直，分别以OA 、OH 、OD 为x 、y 、z 轴建立空间坐 标系，则
0，0)，H(0
，0)，
，0，0)，D(0，0
)，………9分
向量(0,2,2)
(2,DH HE =-=-
设平面DHE 的法向量为n=(x ，y ，z)
则n ·DH ＝0
n ·HE ＝
0 …………………………10分
⎧=⎪⎨
-=⎪⎩即y=z,x=-z ∴平面DHE 的法向量为n ＝(z ，-z ，z)，不妨没z>0 ……………11分 又(2,0,0)OA =是平面DOH 的法向量
cos ,||||23n OA OA n n OA z
<>=
=
=由图二面角O —DH —E 为锐角，所以，二面角O —DH —E 的大小arc 12分 20．解：(1)∵3
()2f x x ax =+过点(2,0),P ∴a=-83
()28f x x x =-, …………………2分
2()68f x x x '=-
∴切线的斜率(2)16k f '==………………………3分 ∵2
()g x bx cx =+的图像过点(2,0),P ∴4b+2c=0,
∵()2,(2)(2)416g x bx c f g b c '''=+==+=,解得：b=8,c=-16……………4分 ∴2()816g x x x =-……………………………………………………………5分
切线方程为16y ＝（x-2）．即16x-y-32=0……………………………………6分
(2) ∵ ()(2)l n (1)
(F x m x
x x =-+->
11()(1)11
mx m F x m x x x -+'=+
=>--……………………………………8分 当m<0时，1
[(1)]
()1
m x m F x x --'=
-∵m<0 ∴111m ->………………………………9分 又x>1 当1(1,1)x m ∈-时()0F x '> 当1
(1,)x m ∈-+∞时()0F x '<
∴F (x)的单调减区间是1
(1,)m
-+∞
∴F(x)的单调增区间是(1，1
1m
-)………………………………………………11分
即m<0时，F(x)的单调递增区间是(1，11m -)，单调减区间是(1
1m -，+∞) (2)
21．解：(1)设l ：y ＝kx+m ，代入抛物线x 2＝4y 的方程化简得
x 2-4ky-4m ＝0，…………………………………………………1分 ∵m>O ∴△＝16k 2+16m>0恒成立
设A(11,x y )．B(x 2，y 2)，则x l +x 2＝4k ，x 1x 2＝-4m ．
又角∠AOB 为锐角，所以0OA OB >………………………………………3分 因为22121212121212()()(1)()OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m =+=+++=++++，
则2
2
(1)(4)40k m km k m +-++>，即2
40m m ->，
又因为m>0，解得m>4；……………………………………………………………6分
（2）解方程组242120x y x y ⎧=⎨-+=⎩
，得69x y =⎧⎨=⎩或4
4x y =-⎧⎨=⎩，
由题意得A （6，9）、B （－4，4）， 又函数214y x =
的导数为1
2
y x '=，所以过点A 的公共切线斜率k ＝3，由题意知圆C 的圆心C 是线段AB 的垂直平分线1l 和过点A 与公共切线垂直的直线2l 的交点，…… …………………………………………………………………………………………9分 113:2(1)2l y x -
=--，即117:22
l y x =-+， 21:9(6)3l y x -=--，即21
:113
l y x =-+，………………………………10分
联立1l 和2l 的方程解得圆心坐标323
(,)22
C -，
圆半径||r CA ==
=11分
故所求圆方程为2
23125
()2
2
x =
23＋＋（y －）2………………………………12分 22．解：（1) 11(1)(1)(2)2n n n n n n n n
b b b a a b b b +=
==---＋
∵1113,44a b =
= ∴234456
,,567
b b b ===…………………………………4分 （2）∵11112n n
b b +-=
-- ∴1211
1111n n n n b b b b +-==-+---
∴数列{
1
1
n b -}是以－4为首项，－1为公差的等差数列 ∴
1
4(1)31
n n n b =---=--- ∴12
133
n n b n n +=-
=
++…………………………………………………………10分 (3)1
13
n n a b n =-=+
∴12231111114556(3)(4)444(4)
n n n n S a a a a a a n n n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅=-=
⨯⨯++++ ∴22(1)(36)8
443(3)(4)
n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=++++ 由条件可知2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立即可满足条件设2()(1)3(2)8f n a n a n =-+-- a ＝1时，()380f n n =--<恒成立 a>1时，由二次函数的性质知不可能成立 a<l 时，对称轴3231
(1)02121
a a a --
=--<--
f(n)在(,1]-∞为单调递减函数．
2
(1)
(1)(36)8(1)(36)84150
f a n a n a a a =-+--=-+--=-< ∴15
4
a <
∴a<1时4n aS b <恒成立
综上知：a ≤1时，4n aS b 恒成立…………………………………………14分。