北京市海淀区高三数学上学期期末考试试题 理 北师大版

北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学（理）试题
2013.1
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数
2
1i
-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --
2.已知直线2,:2x t l y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨
=⎩
（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是
A.π
,(1,0)4 B.π,(1,0)4- C.
3π,(1,0)4 D.3π
,(1,0)4
- 3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为 A.1- B.12-
C.1
3
- D.1 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为
A.4,30n S ==
B.5,30n S ==
C.4,45n S ==
D.5,45n S ==
5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，
弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅
6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*
,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}
n a 成等差数列”的
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为
A. 144
B.120
C. 108
D.72
B
8. 椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的
点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是
A.12(,)33
B.1(,1)2
C. 2(,1)3
D.111(,)(,1)322
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.
10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n m
n m
a a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.
11. 在261(3)x x
+的展开式中，常数项为______.(用数字作答) 12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.
13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥+⎩
表示的平面区域内，
若点(,)P x y 到直线
1y kx =-的最大距离为___.k =
14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -
表面上运
动，且PA r =（0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1
()2
f =______________;关
于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数21
()cos cos 2222
x x x f x +-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别
为,,a b c .
（I ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若()1,
f B C +=1a b ==，求角C 的大小.
D
A
B
C
左视图
16.（本小题满分13分）
汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:
（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
17. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，
12,AB AC AA ===E 是BC 中点.
（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；
（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.
18. （本小题满分13分）
E
C 1
B 1
A 1
C
B
A
已知函数e ().1
ax
f x x =
- （I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.
19. （本小题满分14分）
已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.
20. （本小题满分13分）
已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()
f x y x
=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2
()
f x y x =
在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，
求证：(24)0d d t +->；
(Ⅲ)定义集合{}
2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,
请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.
海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 （理）
参考答案及评分标准 2013．1
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 三、解答
题(本大
题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）
解：（I ）因为21
()cos cos 2222
x x x f x +-
cos 1
22cos 12
1
x x x x =
+-=++ π
sin()6
x =+ ………………6分
又sin y x =的单调递增区间为
ππ
2π,2π 22
k k -+（），()Z k ∈ 所以令πππ
2π2π262
k x k -
<+<+ 解得2ππ
2π2π 33
k x k -
<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ
(2π,2π) 33
k k -
+，()Z k ∈ ………………8分 (Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以π
sin()16
B C ++=，
又(0,π)B C +∈，ππ7π
(,)666
B C ++∈
所以πππ
,623
B C B C ++=+=，
所以
2π
3
A =
………………10分
由正弦定理sin sin B A
b a
=
把
1a b ==代入，得到
1
s i n 2
B =
………………12分
又
,
b a <B A <，所以π6
B =
，所以
π
6
C =
………………13分
16.（本小题满分13分） 解：（I ）这辆汽车是A 型车的概率约为
3A 3A,B =出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和30
0.63020
=+
这辆汽车是A 型车的概率为0.6 (3)
分
（II ）设“事件i A 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i 天”，
“事件j B 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j 天”，其中,1,2,3,...,7i j = 则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ………………5分
132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ ………………7分
52010203014
1001001001001001009125
=
⋅+⋅+⋅
=
该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
9125
………………9分
设Y 为
B 型车出租的天数，则Y 的分布列为
()10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.02
=3.62
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
()10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.05E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=3.48
………………12分
一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B 类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A 型车出租天数的方差小于B 型车出租天数的方差,综合分析，选择A 类型的出租车更加合理 . ………………13分
17.（本小题满分14分）
(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO
因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点， 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线， 所以1//EO A B
………………2分
又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC 所以1//A B 平面1AEC
………………4分
（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系 所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),A A B B C C E 设(0,0,)(02)M m m ≤≤，所以11(2,0,2),(1,1,2)B M m C E =--=--，
因为11B M C E ⊥，所以 110B M C E ⋅=，解得1m =，所以
1AM = ………………8分
（Ⅲ）因为1(1,1,0),(0,2,2)AE AC ==， 设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =，
则有10
AE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，
令
1,
y =-则
1,1
x z ==，所以可以取
(1,1,1)n =-， ………………10分
因为
AC ⊥平面
1A B B A 1,取平面1
ABB A 1的法向量为
(0,2,0)AC = ………………11分
所
以
c o
||
A C
A
C A C ⋅
<>
………………13分
平面
1AEC 与平面1A B B A 1所
成锐二面角的余弦值为
………………14分 18. （本小题满分13分）
解
：
当
1
a =时，
e ()1
ax
f x x =
-，
2
e (2)
'()(1)
x x f x x -=- ………………2分 又(0)1f =-，'(0)2f =-， 所
以
()
f x 在
(0,(0))
f 处的切线方程为
21y x =-- ………………4分
（II ）2
e [(1)]
'()(1)ax ax a f x x -+=-
当0a =时，2
1
'()0(1)f x x -=
<-
又函数的定义域为{|1}x x ≠ 所
以
()
f x 的单调递减区间为
(,1-∞+∞ ………………6分
当 0a ≠时，令'()0f x =，即(1)0ax a -+=，解得1
a x a
+= ………………7分
当0a >时，1
1a x a
+=
>， 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表
所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，1
(1,
)a a
+， 单调递增区间为1
(
,)a a
++∞ ………………10分 当0a <时，1
1a x a
+=
< 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递增区间为1
(,
)a a
+-∞， 单调递减区间为1
(,1)a a
+，(1,)+∞ ………………13分 19. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）将()2,2E 代入2
2y px =，得1p =
所以抛物线方程为
22y x
=，焦点坐标为
1
(,0)2
………………3分
（Ⅱ）设2
11(,)2
y A y ，222(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，
法一：
因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率 设直线l 方程为(2)y k x =-
与抛物线方程联立得到 2
(2)2y k x y x
=-⎧⎨
=⎩，消去x ，得：
2240ky y k --=
则由韦达定理得：
121224,y y y y k
=-+=
………………6分 直线AE 的方程为：()
1212
2222
y y x y --=
--，即()12222y x y =-++， 令
2
x =-，
得
11242
M y y y -=
+
………………9分 同理
可
得
：
2224
2
N y y y -=
+
………………10分 又 4(2,),(2,
)m m
OM y ON y -=-=-， 所以12122424
4422
M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+
⋅
++ 121212124[2()4]
4[2()4]
y y y y y y y y -++=+
+++
44(44)444(44)
k k
--
+=+-++
0= ………………13分 所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2
………………14分 法二：
设直线l 方程为2x my =+
与抛物线方程联立得到 2
22x my y x
=+⎧⎨
=⎩，消去x ，得：
2240y my --=
则由韦达定理得：
12124,2y y y y m
=-+=
………………6分 直线AE 的方程为：()12
12
2222
y y x y --=
--，即()12222y x y =-++， 令
2
x =-，
得
11242
M y y y -=
+
………………9分 同理
可
得
：
2224
2
N y y y -=
+
………………10分 又 4(2,),(2,
)m m
OM y ON y -=-=-， 12124(2)(2)
44(2)(2)
M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+
++
121212124[2()4]
4[2()4]
y y y y y y y y -++=+
+++
4(424)
44(424)
m m --+=+
-++
=
………………12分
所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π
2
………………13分
20. （本小题满分14分）
解：（I ）因为1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω， 即2()
()2f x g x x hx h x
=
=--在(0,)+∞是增函数，所以0h ≤ ………………1分 而2()()2f x h h x x h x x =
=--在(0,)+∞不是增函数，而2
'()1h
h x x =+ 当()h x 是增函数时，有0h ≥，所以当()h x 不是增函数时，0h < 综
上
，
得
h <
………………4分
(Ⅱ) 因为1()f x ∈Ω，且0a b c a b c <<<<++ 所以
()()4=f a f a b c a a b c a b c
++<++++， 所以4()a
f a d a b c
=<
++，
同理可证4()b f b d a b c =<
++，4()c
f c t a b c
=<++
三式相加得4()
()()()24,a b c f a f b f c d t a b c
++++=+<
=++
所
以
2d t +-<
………………6分 因为
,d d a b <所以()0,b a d ab
-< 而0a b <<， 所以0d < 所
以
(d d +-
………………8分
(Ⅲ) 因为集合{}
2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取, 所以()f x ∀∈ψ，存在常数k ，使得 ()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立
我们先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 假设0(0,),x ∃∈+∞使得0()0f x >， 记
02
0()
0f x m x => 因为()f x 是二阶比增函数，即2
()
f x x 是增函数. 所以当0x x >时，
022
()
()f x f x m x x >=，所以2()f x mx > 所以一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >> 这
与
()f x k
< 对(0,)x ∈+∞成立矛
盾 ………………11分
()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立
所以()f x ∀∈ψ，()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解 假设存在20x >，使得2()0f x =，
则因为()f x 是二阶增函数，即
2
()
f x x 是增函数 一定存在32
0x x >>，3222
32()()
0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾 所以()0f x =在(0,)+∞上无解
综上，我们得到()f x ∀∈ψ，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立
所以存在常数0M ≥，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立
又令1
()(0)f x x x
=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，
又有
23()1
f x x x
-=在(0,)+∞上是增函数 ，所以()f x ∈ψ， 而任取常数0k <，总可以找到一个00x >，使得0x x >时，有()f x k >
所以M
的最小值 为0 ………………13分。