江苏省高校第十一届本三高等数学竞赛试题

江苏省高校第十一届本三高等数学竞赛试题
2012年江苏省普通高等学校第十一届
高等数学竞赛试题(本科三级)
一填空题(每小题4分，共32分) 1.=-+-+→561)
434lim 4
x x x 。

2.=+++→∞
43
3321lim n n n 。

3.=?→x x tdt
t x x 32030sin sin lim 。

4.),1ln(
x y -=则=)(n y 。

5.?=xdx x arctan 2 。

6. =?dx x
x 211arccos 。

7. 函数),(),(),(y x f x x ψ?皆可微，设)),(),((xy y x f z ψ?+=则
=??-??y
z x z 。

8.交换积分次序??x dy y x f dx cos 2040),(π 。

二、(每小题6分，共12分)(1)求))(1
3(lim 31223∑=→∞+-i n i n n n 。

(2)设)(x f 在0=x 处二阶可导，且,2)0(='f 求20
)
()1(lim x x f e f x x --→。

三、(第(1)小题4分，第(2)小题6分，共10分)在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？
若存在，举一例；若不存在，请给出证明。

(1)函数)(x f 在在),(δδ-上有定义)0(>δ，当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<="" f="" p="" 严格减少，)(lim="" 时，)(x=""> x f x →存在，且)0(f 是)(x f 极小值。

(2)函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导)0(>δ,)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。

四、(12分)求一个次数最低的多项式)(x P ，使得它在1=x 时取极大值2，且)0,2(是曲线)(x P y =
的拐点。

五、(12分)过点)0,0(作曲线x e y -=:Γ的切线L ，设D 是以曲线Γ，切线L 及x 轴为边界的无
界区域。

(1)求切线L 的方程；(2)求区域D 的面积；(3)求区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

六、(10分)设函数),(y x f 在平面区域D 上可微，线段PQ 位于D 内，点Q P ,的坐标分别为),(b a P ，
),(y x Q ，求证：在线段PQ 上存在点),(ηξM ，使得
))(,())(,(),(),(b y f a x f b a f y x f y x
-'+-'+=ηξηξ。

七、(12分)计算二重积分dxdy xy x
D ??+22)(，其中D 为}2),{(22x y x y x ≤+。