第七节机械能守恒定律导学案二

高一物理《7.7机械能守恒定律的应用》导学案No.30
时间：2011-5-23
★ 目标导向
【能力要求】
1．会用机械能守恒定律解决力学问题，熟练地掌握应用这个定律解题的步骤.
2．能灵活地选取研究对象和恰当的物理过程.
3．理解做功和机械能变化的关系.
【重点难点】
1．重点：机械能守恒定律的综合应用. 2．难点：研究对象和过程的恰当选取.
一、要点导析
1．应用机械能守恒定律解题的思路
（1）两个确定：即确定研究对象和研究过程
能灵活地选取研究对象和恰当的物理过程，是解决问题的关键.
①研究对象的选取不同,决定着机械能是否守恒,对于有几个物体参与的物理过程,单独研究某一物体时也许机械能不守恒,将几个物体作为整体(即作为一个系统)来研究,机械能就有可能守恒.
②恰当的物理过程的选取也很重要，全过程也许机械能不守恒，但某一过程中，机械能有可能守恒，选取的过程不同，则列的方程不同，一般应以解题简便为原则.
（2）两个分析
①根据研究对象所经历的物理过程，进行受力和做功分析，判断机械能是否守恒. ②恰当地选取重力势能为零的参考平面，并确定研究对象在研究过程中初、末状态的机械能。

（3）根据机械能守恒定律列方程，并求解结果.
只有明确了解题思路，解题才能有的放矢，才不会犯下不必要的错误，特别是初学者，更应该明确解题的基本思路。

2．机械能守恒定律的几种表达式
（1）物体初状态总机械能等于末状态总机械能，E E =初末
（2）系统重力势能的减少量等于系统动能的增量，p k E E ∆-=∆
（3）将系统分为A 、B 两部分，A 部分机械能的增加量等于B 部分机械能的减少量B A E E ∆-=∆
★ 方法导学
【思维导悟】
1．应用机械能守恒定律解题的基本方法
（1）机械能守恒只关心运动的初、末状态，而不必考虑这两个状态之间变化的细节.因此如果能恰当地选择研究对象和初末状态，巧妙地选定势能参考平面，问题就能得到简捷、便利的解决.可避免直接运用牛顿运动定律可能遇到的困难.机械能守恒定律为解决力学问题提供了一条简捷的途径.
（2）如果物体运动由几个不同的物理过程组成,则应分析每个过程是否守恒,还要分析过程的连接点有无能量损失,只有无能量损失才能对整体列机械能守恒式,否则只能给出每段相应的守恒关系.
（3）系统机械能若不守恒，则应优先考虑运用动能定理.
【例1】一质量为2m kg =的小球从光滑斜面上高 3.5h m =处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径为1R m =的光滑圆环，如图所示，求：
（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力；
（2）小球至少应从多高处由静止滑下才能越过圆环最高点？
（3）小球从'2h m =处由静止滑下时将在何处脱离圆环？（取210/g m s =）
【解析】（1）设小球滑至圆环顶点时速度为1v ，由机械能守恒定律得：
21122mgh mv mg R =+⋅ 到环顶时小球受环的压力N 向下，由牛顿第二定律有：21mv N mg R
+= 联立以上两式可解得：2 3.525210(5)401
h N mg mg N N R ⨯=-=⨯⨯-= 小球对环顶的压力'40N N =，方向向上.
（2）小球刚好越过圆环时，其速度0v 应满足：20mv mg R
= 由机械能守恒定律有：201552, 2.5222
mgh mv mg R mgR h R m =+=∴== （3）球将在到达环顶前与环脱离，设脱离时圆环的位置半径与竖直方向
夹角为θ，如图所示，由于此时小球不受环的压力，于是有：
2cos /mg mv R θ=
由机械能守恒有：21'(1cos )2
mgh mv mgR θ=
++ 联立解得：2(')2cos 33h R R θ-== 2cos .3
arc θ= 即小球将在圆心右侧离地55(1cos )33H R R m θ=+==处脱离圆环. 【评析】因为此题中考虑的高度都是从环的最低点计算的，所以在列机械能守恒定律方程式时，都是选圆环最低点所在水平面为参考面的.
2．应用机械能守恒定律的三种分析思路
对应于机械能守恒的不同表达式，应用于解题时有三种思路和方法。

思路1：所研究的过程中的任意两个状态的机械能总量保持不变，表达式：1122k p k p E E E E +=+
这是处理机械能守恒类问题的基本方法，用此思路处理时，应注意，列方程之前必须规定
重力势能的参考平面，这样系统初、末状态的机械能才能确定.
思路2：系统动能的增量等于系统重力势能的减少量.表达式：G p k W E E =∆-=∆ 此种思路不仅适用于单个物体，同样适用于满足守恒条件的一个系统，用此思路处理时，则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系.
【例2】如图所示，半径为R 的半圆槽木块固定在水平地面上，质量为m 的小球以某速度从A 点无摩擦地滚上半圆槽，小球通过最高点B 后落到水平地面上的C 点，已知
2.AC AB R ==求：
（1）小球在A 点时的速度；（2）小球在B 点时半圆槽对它的弹力. 【解析】从小球的运动情况看，小球从A 运动到B 的过程中做变速圆周运动，因无摩擦，机械能是守恒的，小球从B 到C 的过程是做平抛运动，不计空气阻力，机械能也是守恒的，设小球在A 点时速度为A v ，在B 点时的速度为B v ，则
2211222A B mv mg R mv =⨯+，由上式可知只要求出小球经过B 点时的速度B v ，就可求出小球在A 点时的速度A v .小球从B 到C 是做平抛
运动，2,B B AC R AC v t v t t ===即，而小球落地时间4R t g
=，因此4/B v gR R g
==，由此得 2112,5,22
A A mv mg R mgR v gR =⋅+=小球在最高点
B 时所需的向心力为 2,B mv mgR F mg R R
===向故小球在半圆槽的B 点时，半圆槽对它的弹力为零. 【解析】应用G p k W E E =∆-=∆处理此类问题时，关键在于确定物体初、末状态的位置以及初、末状态的高度差，同时应注意隐含条件和临界条件的分析.
思路3：若系统由A 、B 两部分组成，则A 部分机械能的增加量等于B 部分机械能的减少量，表达式：减增B A E ∆=∆E 用此思路处理时，同样不需规定重力势能的参考平面，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了.
【探究导引】
1．系统机械能守恒应用
【例1】如图所示，在长为L 的轻杆中点A 和端点B 各固定一质量均为m 的小球，杆可无摩擦地绕转轴O 转动.现使杆从水平位置无初速度释放，求当杆转到竖直位置时，A 、B 两球的速度分别是 、 。

解：对A 、B 系统：在杆从水平位置转到竖直位置的过程中，由E 1=E 2得，
222
1212B A mV mV L mg mgL +=+ 由ωr V =得，B A V V =2 解之，得515gL V A = ，5152gL V B =
2．多过程中应用机械能守恒定律
【例2】如图所示，质量均为m 的小球A 、B 、C ，用两条长均为L
的细线相连，置于高为h 的光滑水平桌面上，L ＞h ，A 球刚跨过桌
边.若A 、B 两球相继下落着地后均不再反弹，则C 球离开桌边时的
速度大小为 3
5gL . .解：对A 、B 、C 组成的系统：A 小球未落到地面之前，机械能守恒 ，它们的速率相等，A 球刚落到地面时速率为V 1，A 球减少的重力势能转化为系统的动能，则有：
212
13mV mgh ⨯=，
3．变质量问题
【例3】如图所示，总长为L 的光滑匀质的铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时某一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度是 2
gL 。

【课后作业】
1．从地面以抛射角θ斜上抛一个质量为m 的物体，初速度为0v ，不计空气阻力，取地面物体的重力势能为零，当物体的重力势能是其动能的3倍时，物体离地面高度为（ B ） A.2034v g B.2038v g
C.208v g
D.202v g 2．如图所示，在高为H 的平台上以初速0v 抛出一质量为m 的小球，
不计空气阻力，当它到达离抛出点的竖直距离为h 的B 点时，小球
的动能增量为（ D ） A.2012mv mgh + B.2012
mv mgH + C.()mg H h - D.mgh 3．如图所示，一物体以初速度0v 冲上光滑斜面AB ，并能沿斜面升高h ，下列说法中正确的是（ D ）
A.若把斜面弯成圆弧形，物体可能沿'AB 升高h
B.若把斜面从C 点锯断，由机械能守恒定律知，物体冲出C 点
后仍能升高h
C.若把斜面从C 点锯断或弯成圆弧状，物体不能升高h ，因为机
械能不守恒
D.若把斜面从C 点锯断或弯成圆弧状，物体不能升高h ，但机械
能仍守恒
4．如图，轻质杆上固定着相同的A 、B 两个小球，AB=BO ，将杆拉到水平位置后无初速度释放，杆在绕O 点转到竖直位置的过程中（ BC ）
A.A 、B 两球机械能各自守恒
B.A 、B 两球的总机械能守恒
C.A 球的机械能增加，B 球的机械能减少
D.B 球的机械能增加，A 球的
机械能减少
5．如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A 处固定
质量为2m 的小球，B 处固定质量为m 的小球，支架悬挂在O
点，可绕O 点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时
OB 与地面相垂直，放手后支架开始运动，在不计任何阻力的情
况下，下列说法正确的是（ BCD ）
A.A 球到达最低点时速度为零
B.A 球机械能的减少量等于B
球机械能的增加量
C.B 球向左摆动所能达到的最高位置应高于A 球开始运动时的高度
D.当支架从左向右回摆时，A 球一定能回到起始高度
6、如图所示，跨过同一高度处的光滑定滑轮的细线连着两个质量相同的物体A 和B ，A 套在光滑的水平杆上，B 被托在紧挨滑轮处，细线与水平杆的夹角053=θ，定滑轮离水平杆的高度0.2h m =，当B 由静止释放后，A 所能获得的最大速度为（cos530.6,sin530.8︒=︒=，g=10m/s 2） （ B ）
A.s m /22
B.1m/s
C. 2/m s
D.2 m/s
7、如图所示，让摆球从图中的位置由静止开始下摆，正好摆到最低点B 位置时线被拉断，设摆线长 1.6l m =，悬点到地面的竖直高度H=6.6m ，不计空气阻力，求：（1）摆球落地时的速度。

（2）落地点D 到C 点的距离。

（g=102
/m s ）
答案：（1）m V D 292 /s t=4s。