2018-2019年最新高考总复习数学(理)第二次高考模拟突破冲刺卷及答案解析

2018年二模突破冲刺交流试卷（03）
高三数学（理）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
第I 卷选择题（共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是
符合题目要求的。

1. 设复数i
z --=
12
，则在复平面内z i ⋅对应的点坐标为 A .()1,1 B ．()1,1- C ．()1,1-- D ． ()1,1-
2. 已知两个集合(){}2ln 2++-==x x y x A ，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤-+=212x e e x
B 则=⋂B A
A.⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-2,2
1 B ． ⎥⎦
⎤ ⎝
⎛
--21,1 C ．()e ,1- D ．()e ,2
3．随机变量~(0,1)N ξ，则()12P ξ≤≤=
Ａ.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718
（参考数据：()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，(22)0.9544P μσξμσ-≤≤+=，(33)0.9974P μσξμσ-≤≤+=）
4．从9,8,7,6,5,4,3,2,1中不放回地依次取2个数，事件=A “第一次取到的是奇数” =B “第二次取到的是奇数”，则 ()=A B P
A. 51
B ．
10
3
C ．
5
2
D ．
2
1
5．按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是（ ）
A ．(20,25]
B ．(30,57]
C ．(30,32]
D ．(28,57]
6．已知数列{}n a 满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，2p p q a a +=，则{}n a 的前10 项和10S =
开始
输入x
k =0
x =2x +1
k =k +1 x >115?
.
结束
否
是
输出k
A. 31
B. 62
C. 170
D. 1023 7． 已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是 （ ）
()31.21A f x x x =
-- ()31
.21B f x x x =+- ()31.21C f x x x =-+ ()31
.21D f x x x =---
8． 如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C l D 1的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1111,,AD B C C D 上. 当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时， 三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于 A.
2
12a B. 214
a
C. 224
a
D. 234
a
9．若正数,a b 满足：
121=+b
a 则
2
112-+
-b a 的最小值为（ ）
A.2
B. 2 C . 22 D . 1
10．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，
C 在圆O 上，点B 的坐标为(1,2)-，点C 位于第一象限，AOC α∠=．若5
BC =，则2
3sin cos 3cos 2222α
α
α
+-
= 25
.5A - 5.5B - 5
.5C 25.5
D 11. 已知P B A ,,是双曲线122
22=-b
y a x 上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，
若直线PB PA ,的斜率乘积3
2
=⋅PB PA k k ，则该双曲线的离心率=e
A . 25
B ． 3
15 C ． 210
D ． 2
12.已知函数()()2
1
ln ,2+==x x g e x f x ，对()+∞∈∃∈∀,0,b R a ，使得()()b g a f =，则a
b -正视方向
图1
图2
C 1
D 1
B
1
A 1
C
D
A
B
M
Q N O x
y
αx y A
O C
B
的最小值为 A . 22ln 1+
B ． 22
ln 1- C ． 12-e D ．1-e
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设52501251(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-,则125a a a +++= ． 14．关于x 的方程320x px -+=有三个不同实数解，则实数p 的取值范围
为 ．
15．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，且320,OA OB OC ++=则∠
AOC= ．
16．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是
A B k k ，，规定(),A B k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在
点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),3A B ϕ>；
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤； ④设曲线
x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点
()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是
(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上） 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分） 甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为49
，乙、丙应聘成功的概率均为
(03)3
t
t <<，且三人是否应聘成功是相互独立的． （Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是16
81
，求t 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，求ξ的数学期望． 18．（本小题满分12分） 已知函数
222
(sin cos )1
()cos sin x x f x x x
+-=-，方程()3f x =在(0,)+∞上的解按从小到大
的顺序排成数列{}n a (*)n N ∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2
3(41)(32)
n
n a b n n =
--，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的表达式． 19．（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，
011160ACC CC B ∠=∠=，2AC =.
（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥； （Ⅱ）若16AB =，求二面角11C AB A --的余弦值. 20．（本小题满分12分）
已知椭圆形：22
221x y a b ＋＝（a ＞b ＞0）的离心率为32
，其左顶点
A 在
圆O ：2216x y ＋＝上．
（Ⅰ）求椭圆W 的方程；
（Ⅱ）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ．是否存在点P ，使得
PQ AP
＝3? 若存在，求出点P 的坐标；若
不存在，说明理由． 21．（本小题满分12分）
已知函数()(sin cos )x f x e x x a =++，2()(10)x g x a a e =-+（a R ∈且a 为常数）． （Ⅰ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线过点(1,2)，求实数a 的值；
（Ⅱ）判断函数222
(1)()1
()1(1)(10)b e g x x lnx b a a e x x
ϕ+=-++>-+在(0,)+∞上的零点个数，并说明理由．
四、选考题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号
涂黑。

） 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 经过圆O 上的点C ，并且OA ＝OB ，
CA ＝CB ，圆O 交直线OB 于点E 、D ，其中D 在线
段OB 上．连结EC ，CD ．
（Ⅰ）证明：直线AB 是圆O 的切线； （Ⅱ）若tan ∠CED ＝12
，圆O 的半径为
3，求OA
的长．
23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=-=t
y t
x 2122（t 为参数），以
原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θ
ρ2
sin 312+=
（I ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（II ）设点()1,2-M ，曲线1C 与曲线2C 交于B A ,,求MB MA ⋅的值.
24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数()a x x f -=
（I ）若()m x f ≤的解集为[]5,1-，求实数m a ,的值；
（II ）当2=a 且20<≤t 时，解关于x 的不等式()()2+≥+x f t x f
参考答案
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数
i
z --=
12，则在复平面内
z
i ⋅对应的点坐标为
D
A .()1,1
B ．()1,1-
C ．()1,1--
D ． ()1,1-
2.已知两个集合(){}2ln 2++-==x x y x A ，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤-+=212x e e x
B 则=⋂B A B
A.⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-2,2
1 B ． ⎥⎦
⎤ ⎝
⎛
--21,1 C ．()e ,1- D ．()e ,2
3．随机变量~(0,1)N ξ，则()12P ξ≤≤= B
Ａ.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718 （参考数据：()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，(22)0.9544P μσξμσ-≤≤+=，
(33)0.9974P μσξμσ-≤≤+=）
4．从9,8,7,6,5,4,3,2,1中不放回地依次取2个数，事件=A “第一次取到的是奇数”
=B “第二次取到的是奇数”，则 ()=A B P D
A. 5
1 B ．
103 C ． 5
2
D ．2
1
5．按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是（ D ）
A ．(20,25]
B ．(30,57]
C ．(30,32]
D ．(28,57]
6．已知数列{}n a 满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，2p p q a a +=， 则{}n a 的前10项和10S =B .31A .62B .170C .1023D
7． 已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是 A
()31
.21A f x x x =
-- ()31
.21
B f x x x =
+- ()31
.21C f x x x =-+
()31
.21
D f x x x =---
开始
输入x
k =0
x =2x +1
k =k +1 x >115?
.
结束
否
是
输出k O x
y
8． 如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C l D 1的棱长为a ， 动点M 、N 、Q 分别在线段1111,,AD B C C D 上. 当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时，
三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于 B
A. 2
12a B. 214a C. 2
24a D. 234
a
9．若正数,a b 满足：121=+b
a 则
2
112-+
-b a 的最小值为（ A ）
A 、2
B 、
2 C 、22 D 、1
10．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为(1,2)-，点C 位于第一象限，
AOC α∠=．若5BC =，则2
3
sin
cos
3cos 2
2
22
α
α
α
+-
= D 25
.5A - 5.5B -
5.5
C
25
.5D
11.已知P B A ,,是双曲线122
22=-b
y a x 上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，
若直线PB PA ,的斜率乘积3
2
=⋅PB PA k k ，则该双曲线的离心率=e B
A . 25
B ． 3
15 C ． 210
D ． 2
12.已知函数()()2
1
ln ,2+==x x g e x f x ，对()+∞∈∃∈∀,0,b R a ，使得()()b g a f =，则a b -的最小值为 A A .
2
2
ln 1+
B ．
2
2ln 1-
C ． 12-e
正视方向
图1
图2
C 1
D 1
B 1
A
1
C
D
A
B
M Q N
α
x
y
A
O
C
B
D ．1
-e
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设52501251(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-,则125a a a +++= ．31 14．关于x 的方程320x px -+=有三个不同实数解，则实数p 的取值范围
为 ．3p >
15．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，且320,OA OB OC ++=则∠
AOC= ．2
3
π
16．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是
A B k k ，，规定(),A B k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点
A 与点
B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),3A B ϕ>； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，
若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上） 16．答案②③.解:①错：(1,1),(2,5),||17,||7,A B A B AB k k =-=
7
(,)317
A B ϕ∴=
<；
②对：如1y =； ③对；22222
|22|2
(,)2()()1()
A B A B A B A B x x A B x x x x x x ϕ-==≤-+-++；④错；12121
21
22
2
2
12||||(,)()()
1()
x x x x x x x x e e e e A B x x e e e e ϕ--=
=
-+-+-，
121212221()1111,(,)||()x x x x x x e e A B e e e e ϕ+-==+>--因为1
(,)
t A B ϕ<
恒成立，故1t ≤. 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分13分）
甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为49
，乙、丙应聘成功的概率均为
(03)3
t
t <<，且三人是否应聘成功是相互独立的． （Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是16
81
，求t 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，求ξ的数学期望． 17解：（Ⅰ）依题意
416
93381
t t ⨯⨯=, 所以2t =. （Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为2
3
, ξ的可能取值为0,1,2
428(2)9327P ξ==⋅=，415214
(1)939327P ξ==⋅+⋅=，
515(0)9327P ξ==⋅=，所以81453010
210272727279
E ξ=⨯+⨯+⨯==.
18．（本小题满分13分）
已知函数
222(sin cos )1()cos sin x x f x x x
+-=-，方程()3f x =在(0,)+∞上的解按从小到大
的顺序排成数列{}n a (*)n N ∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设23(41)(32)
n
n a b n n =
--，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的表达式．
18．解：（Ⅰ）222(sin cos )12sin cos sin 2()tan 2cos sin cos 2cos 2x x x x x
f x x x x x x
+-=
===-, …………2分
由()3f x =及0x >得2,3x k π
π=+
∴()26
k x k Z ππ
=
+∈ ………4分
方程()3f x =在(0,)+∞的解从小到大依次排列构成首项为6
π
，
公
差
为
2
π
的等差数列∴
(32)(1)
626
n n a n π
π
π
-=
+-=
. ………………6分
（Ⅱ）23(32)(41)(32)62(21)(21)n n b n n n n ππ
-=⋅=
---+111()42121
n n π=--+， 111111(1)()()(1)4335212142142n n S n n n n πππ
⎡⎤=-+-++-=-=
⎢⎥-+++⎣⎦. 19．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，
11160ACC CC B ∠=∠=，2AC =. （Ⅰ）求证：11AB CC ⊥； （Ⅱ）若16AB =，求二面角11C AB A --的余弦值.
19【答案】（1）证明详见解析；（2）10
5
-
.
解析：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形． 取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1． 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1＝3，又AB 1＝6，
所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系，则C(0，－1，0)，B 1(3，0，0)，A(0，0，3)， 设平面CAB 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 因为
1(3,0,3)AB =-，(0,1,3)AC =--，
所以11111130300130
x y z x y z ⎧⨯+⨯-⨯=⎪⎨
⨯-⨯-⨯=⎪⎩，取m ＝(1，－3，1)． 8分
设平面A 1AB 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 因为1(3,0,3)AB =-，1(0,2,0)AA =，
所以22211130300200
x y z x y z ⎧⨯+⨯-⨯=⎪⎨
⨯+⨯+⨯=⎪⎩，取n ＝(1，0，1)． 10分 则210
cos ,5||||52
m n m n m n ⋅<>=
==
⨯，因为二面角C-AB 1-A 1为钝角，
所以二面角C-AB 1-A 1的余弦值为10
5
-． 12分
20．（本小题满分12分）
已知椭圆形：22
221x y a b
＋＝（a ＞b ＞0）的离
心率为
3
2
，其左顶点A 在圆O ：2216x y ＋＝上．
（Ⅰ）求椭圆W 的方程；
（Ⅱ）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的
点，直
线AP 与圆O 的另一个交点为Q ．是否存在点P ，使得PQ AP
＝3? 若存在，
求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． .20 解：（1）因为椭圆W 的左顶点A 在圆16:2
2=+y x O 上，令0=y ，得4±=x ，
所以4=a .又离心率为
23
，所以2
3=
=a
c e ，所以32=c ,所以2224b a c =-=,
所以W 的方程为22
1164x y +=.
(4)
分
（2）设点),(),,(2211y x Q y x P ，设直线AP 的方程为)4(+=x k y ，
与椭圆方程联立得2
2(4)1164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩
,
化简得到2222(14)3264160k x k x k +++-=, 因为4-为方程的一个根，
所以2
12
32(4)14k x k -+-=+，所以2
12
41614k x k -=+
所以2
2
81||14k AP k +=
+. ………………………………
6分
因为圆心到直线AP 的距离为2|4|1
k d k =+，
所以222
168||2162
11AQ d k k =-==++, (8)
分
因为||||||||
1||||||PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-，
代入得到2222222
2
8||14331113||
1118114PQ k k k AP k k k k k ++=-=-==-+++++
显然23331k
-
≠+，所以不存在直线AP ，使得||3||PQ AP =. ……………………12分
21．（本小题满分14分）
已知函数()(sin cos )x f x e x x a =++，2()(10)x g x a a e =-+（a R ∈且a 为常数）． （Ⅰ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线过点(1,2)，求实数a 的值；
（Ⅱ）判断函数222
(1)()1
()1(1)(10)b e g x x lnx b a a e x x
ϕ+=-++>-+在(0,)+∞上的零点个数，并说明理由． 21．解：（Ⅰ）()(sin cos )(cos sin )x x f x e x x e x x '=++-=2cos x e x ，
又曲线()y f x =
在(0,(0))f 处的切线过点(1,2),得(0)f '=
(0)2
01
f --， …3分
即21a =-，解得
1a =- …………………………………………5分
（Ⅱ）由222
(1)()1
()1ln 0(10)b e g x x x a a xe x
ϕ+=-++=-+ (0)x >得 22(1)e 11ln 0x b e x xe x +-++=，化为22
(1)e 1ln x
b e x x x e +=--， ……7分
令()1ln h x x x x =--，则()2ln h x x '=-- 由()2ln 0h x x '=--=，得2x e -=， 故
()h x 在21(0,
)e 上递增，在21(,)e +∞上递减， 2211
()()1h x h e e
==+max
. …………………………………………10分
再令222
(1)e 1()(1)x x
b e t x b e e e +==+，
因为1b >，所以函数21
()(1)x t x b e e
=+在(0,)+∞上递增，
0222111
()t(0)(1)(1)1t x b e b e e e
>=+=+>+.
知max ()()t x h x >，由此判断函数()x ϕ在(0,)+∞上没有零点， 故()x ϕ零点个数为
0. ………………12分 【选考题】
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选
讲
如图，直线AB 经过圆O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA
＝CB ，圆O 交直线OB 于点E 、D ，其中D 在线段OB
上．连结EC ，CD ．
（Ⅰ）证明：直线AB 是圆O 的切线； （Ⅱ）若tan ∠CED ＝12
，圆O 的半径为3，求OA 的长．
22.解析：（1）证明：连结OC . 因为OA OB CA CB ==，，所以.OC AB ⊥ 又OC 是
圆O 的半径，所以AB
是圆O 的切线. ………………………5分
（2）因为直线AB 是圆O 的切线，所以.BCD E ∠=∠ 又CBD EBC ∠=∠，
所以.BCD BEC △△∽ 则有BC BD CD BE
BC
EC
==，又1tan 2
CD CED EC
∠==，
故12
BD CD BC
EC
==.
设BD x =，则2BC x =，又2
BC BD BE =⋅，故2(2)(6)x x x =+，即2
360x x -=. 解得2x =，即2BD =. 所以
32 5.OA OB OD DB ==+=+= ………………………10分
23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨
⎧+-=-=t
y t x 2122（t 为参数），以原点
为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
θ
ρ2
sin 312+=
（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设点()1,2-M ，曲线1C 与曲线2C 交于B A ,,求MB MA ⋅的值.
23. （1）14
,122
=++-=y x x y -----------4分
（2）将()为参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=-=221222代人2
C 直角坐标方程 得0821252=+-t t 5821=⋅t t 24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数()a x x f -=
(1)若()m x f ≤的解集为[]5,1-，求实数m a ,的值；
(2)当2=a 且20<≤t 时，解关于x 的不等式()()2+≥+x f t x f 24.（1）因为
m a x ≤-所以
m a x m a +≤≤-得3,25
1
==∴⎩⎨⎧=+-=-m a m a m a -------5分
（2）2=a 时等价于x t x ≥+-2
当20,2,2<≤≥+-≥t x t x x 所以舍去； 当,2
2
0,2,20+≤
≤∴≥+-<≤t x x t x x 成立 当x t x x -≥+-<2,0成立； 所以，原不等式解集是⎥⎦
⎤
⎝
⎛+∞-22,t -----------10分。