2019_2020学年高中数学第3章不等式4.2简单线性规划教案北师大版必修5

4.2 简单线性规划
简单线性规划
阅读教材P 100～P 101“例6”以上部分，完成下列问题 (1)线性规划中的基本概念
①目标函数的最值
线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b
，在y 轴上的截距是z b
，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．
当b ＞0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b ＜0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． ②解决简单线性规划问题的一般步骤
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，
(ⅰ)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．
(ⅱ)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．
(ⅲ)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (ⅳ)答：写出答案．
思考：(1)在线性约束条件下，最优解唯一吗？ [提示] 可能唯一，也可能不唯一．
(2)若将目标函数z ＝3x ＋y 看成直线方程时，z 具有怎样的几何意义？ [提示] 由z ＝3x ＋y 得y ＝－3x ＋z ，z 是直线在y 轴上的截距．
1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y －4≤0，
x －3y ＋4≤0，
则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )
A ．－4
B ．0
C ．4
3
D ．4
D [作出可行域，如图所示．
联立⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，y ＝2.
当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4.]
2．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －2≥0x ≤4
y ≤5
，则s ＝x ＋y 的最小值为________．
2 [如图所示阴影部分为可行域，由s ＝x ＋y 得y ＝－x ＋s ，由图可知，
当直线y ＝－x ＋s 与直线x ＋y －2＝0重合时，s 最小，即x ＝4，y ＝－2时，s 的最小值为4－2＝2.]
3．如图，点(x ，y )在四边形ABCD 的内部和边界上运动，那么z ＝2x －y 的最小值为________．
1 [法一：目标函数z ＝2x －y 可变形为y ＝2x －z ，所以当直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距最大时，z 的值最小．移动直线2x －y ＝0，当直线移动到经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，即z 的值最小，为2×1－1＝1.
法二：将点A ，B ，C ，D 的坐标分别代入目标函数，求出相应的z 值，比较大小，得在A 点处取得最小值为1.]
4．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤4，y ≥x ，
x ≥1，
点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值
等于________，最大值等于________．
2
10 [画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示，因为|PO |表示可行域上的
点到原点的距离，从而使|PO |取得最小值的最优解为点A (1,1)；使|PO |取得最大值的最优解为点B (1,3)，所以|PO |min ＝2，|PO |max ＝10.
]
⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，
则z ＝x ＋y 的最大值为________．
3
2
[由题意画出可行域(如图所示)， 其中A (－2，－1)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12，C (0,1)，由z ＝x ＋y 知y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 经过B ⎝
⎛⎭
⎪⎫1，12时，z 取最大值3
2
.
]
用图解法解决线性规划问题的关键和注意点
图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax ＋by ＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最小值．
1．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，
x －3≤0，
则z ＝x －2y 的最小值为________．
－5 [画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的
交点(3,4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5.]
【例2】 已知变量x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，
y －1≤0.
若目标函数z ＝ax ＋y (其
中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a 的取值范围．
[解] 依据约束条件，画出可行域．
∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－1
2
，
目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)对应直线的斜率k 2＝－a ， 若符合题意，则需k 1＞k 2.即－12＞－a ，得a ＞1
2
.
含参数的线性目标函数问题的求解策略
(1)约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结合条件求出不同情况下的参数值．
(2)目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值．
2．(1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y ≤2，
y ≥0.
若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )
A ．3
B ．2
C ．－2
D ．－3
(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，
2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，
则实数a 的值为( )
A ．1
2或1 B ．2或1
2
C ．2或1
D ．2或－1
(1)B (2)D [(1)画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．
因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y 轴上的截距的最大值为4，作出过点D (0,4)的直线，由图可知，目标函数在点B (2,0)处取得最大值，故有2a ＋0＝4，解得a ＝2.
(2)作出可行域，如图中阴影部分所示．
由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则
a ＝－1.]
[1．(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离是什么？ (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，直线AB 的斜率是什么？ [提示] (1)|AB |＝(x 1－x 2)2
＋(y 1－y 2)2
. (2)k AB ＝
y 2－y 1
x 2－x 1
.
2．(1)代数式(x ＋2)2＋y 2
的几何意义是什么？ (2)代数式
y ＋3
x －2
的几何意义是什么？ [提示] (1)点(x ，y )与(－2,0)间的距离． (2)点(x ，y )与(2，－3)连线的斜率．
【例3】 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，
2y －3≤0，
求
(1)x 2
＋y 2
的最小值； (2)y
x
的最大值．
[解] 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，
(1)令u ＝x 2
＋y 2
，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．
过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋2y －4＝0，
y ＝2x 的解，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫45，85，
又由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2y －4＝0，
2y －3＝0，得C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32，所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫322＝132，所以，x 2＋y 2
的最小值为134.
(2)令v ＝y
x
，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝
y －0
x －0
. 由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32， 所以v max ＝32，所以y x 的最大值为3
2
.
1．(变结论)例3的条件不变，求x 2
＋(y ＋1)2
的最大值．
[解] 令z ＝x 2
＋(y ＋1)2
，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与(0，－1)的距离的
平方，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2y －3＝0
x －y －2＝0解得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫72，32，由例3的解答可知，点B 与(0，－1)间的
距离的平方最大，z max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12＝37
2
.
2．(变条件)把例3的线性约束条件换为⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤1，x ≤1，
x ＋y ≥1，
求z ＝x 2＋y 2
的最小值．
[解] 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝
⎛⎭⎪⎫122＝1
2
.
非线性目标函数的最值的求解策略
(1)z ＝(x －a )2
＋(y －b )2
型的目标函数可转化为点(x ，y )与点(a ，b )距离的平方；特别地，
z ＝x 2＋y 2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方．
(2)z ＝
y －b
x －a
型的目标函数可转化为点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)z ＝|Ax ＋By ＋C |可转化为点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2
＋B 2
倍．
1．用图解法求线性目标函数的最值时，要清楚z 的含义，z 一般与直线在y 轴上的截距有关．
2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只有当可行域是封闭的图形时，目标函数才有最优解．( ) (2)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x 或y 的值．( )
(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)错误，可行域不是封闭的图形，目标函数也有最优解； (2)错误，最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解；
(3)错误，由ax ＋by －z ＝0得y ＝－a b x ＋z b
，知z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上截距的b 倍．
2．目标函数z ＝－3x ＋5y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线在y 轴上的截距 B ．该直线在y 轴上的截距的5倍 C ．该直线在x 轴上的截距 D ．该直线在x 轴上的截距的5倍
B [将目标函数z ＝－3x ＋5y 变形得y ＝35x ＋z
5，所以z 的意义是该直线在y 轴上的截距
的5倍，故选B ．]
3．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，
x ≤0，
则z ＝3
x ＋2y
的最小值是________．
1 [不等式组表示的可行域如图阴影部分所示， 设t ＝x ＋2y ， 则y ＝－12x ＋t
2
，
当x ＝0，y ＝0时，t 最小＝0.
z ＝3x ＋2y 的最小值为1.]
4．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，
x －my ＋1≥0，
且x ＋y 的最大值为9，求实数m 的值．
[解] 作出满足题设条件的可行域如图所示(阴影部分)，设x ＋y ＝9，
显然只有在x ＋y ＝9与直线2x －y －3＝0的交点处满足要求．
联立方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝9，
2x －y －3＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
y ＝5.
即点A (4,5)在直线x －my ＋1＝0上， 所以4－5m ＋1＝0，得m ＝1.。