奥林匹克及自主招生辅导材料第二集(强烈推荐)第四讲：递推方法
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第四讲 递推方法
递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想.例如自然数中 最小的数是 1，比 1 大 1 的数是 2，接下来比 2 大 1 的数是 3，…由此得到了自然数数列：1， 2，3，4，5，….在这里实际上就有了一个递推公式，假设第 n 个数为 an，则 an+1=an+1; 即 由自然数中第 n 个数加上 1，就是第 n+1 个数.由此可得 an＋2=an＋1＋1，这样就可以得到自然 数数列中任何一个数. 一般来说， 如果一个与自然数有关的数列中的任一项 an 可以由它前面 的 k（≤n－1）项经过运算或其他方法表示出来，我们就称相邻项之间有递归关系，并称这 个数列为递归数列.如果这种推算方法能用公式表示出来，就称这种公式为递推公式或递推 关系式.通过寻求递归关系来解决问题的方法就称为递推方法.这里所说的递推方法是指对于 某些与自然数有关的问题，我们有时可以用递推法解决，所谓用递推法解题，就是根据题目 的特点，构造出递推关系解题的一种方法，解决问题的关键在于构造递推关系.递推关系一 般可以用归纳、猜想等途径获得.利用递推法解题的一般步骤为：(1)确定初始值；(2)建立递 推关系；(3)利用递推关系求通项. 例 1．把一个圆分成 n(n 2) 个扇形，依次设为 s1 , s2 , , sn ，每个扇形都可用红、黄、蓝 3 种不同的颜色之一涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问共有多少种涂色方法？ 解：设不同的涂色方法有 an (n 2) 种.当 n 2 时，对 s1 有 3 种涂色方法，继而对 s2 有两 种涂色方法，得 a2 6 . 下面确定 an 的递推关系，如图所示，若先涂 s1 有 3 种涂法；继 而涂 s2 , s3 , , sn 1 均有 2 种涂法.最后到 sn ，如果只要求 sn 与 sn 1 的颜 色不同，而不顾及 sn 与 s1 的颜色是否相同，仍有 2 种涂法，这样就 共有 3 2n 1 种涂法.但是这 3 2n 1 种涂法分成了两类： 一类是 sn 与 s1 的 颜色不同，其方法数是 an ；另一类是 sn 与 s1 的颜色相同，这种涂法 不符合题意， 但把 sn 与 s1 合成一个扇形， 得出这类涂法的总数为 an 1.
31
为 s1 , s2 , , sn ，每个扇形都可以用 m 种不同颜色中的任一种颜色涂色，要求相邻的扇形颜色 互不相同，则有 (m 1)n (1)n (m 1)(n 2) 种涂法. 再者，利用此拓展结论，可以解决 2001 年全国高中数学联赛中的 一道题.在一个正六边形的 6 个区域栽种观赏植物， 如图所示， 要求同一 块种同一植物，相邻的两块种不同的植物.现在 4 种不同的植物，则有 种不同的栽种方案. 答案： n 6, m 4 ， 共有 36 (1)6 3 732 种. F E 数为 an (n3 5n 6). 6
32
探究 2
有一种用硬币下棋的游戏，棋盘上标有第 0 站，第 1 站，第 2 站，……，第 100 站，一 枚棋子开始在第 0 站，棋手每掷一次硬币棋子跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳动两站， 若出面反面，则棋子向前跳动一站，直到棋子恰好跳到第 99 站（胜利大本营）或第 100 站
a2 6, 于是得递推关系 n 1 an an 1 3 2 .
s1 sn
s2 s3 s4 s6 s5
有 an 2n (an 1 2n 1 ) (1)2 (an 2 2n 2 ) (1) n 2 (a2 22 ) (1) n 2 2 得 an 2(2n 1 (1) n 2 ) 种. 可将本题的三种颜色拓展到 m 种不同的颜色，即把一个圆分成 n (n 2) 个扇形，依次记
1 （1）点分线段得所有小线段数 an 2 (n 1)(n 2) ； 2 1 （2）射线分角得所有小角数 an 2 (n 1)(n 2) ； 2 1 （3）直线分割平面区域最多个数 an (n 2 n 2) ； 2 1 （4）直线分割圆面得区域的最多个数为 an (n 2 n 2) ； 2
D
探究 1
4 个人互相传球，要求接球后马上传给别人，由甲先传球 ，并作第一次传球，求经过 10 次传球后仍回到发球人甲手中传球方式的种数.
例 2. 平面内有 n 个两两相交的圆，并且任意三个圆不经这同一点，试问：这 n 个圆把 平面分成多少个区域？ 显然 a1 2, a2 4. 在 n 1 个圆的基础上 解： 我们记 n 个圆把平面分成的区域个数为 an ， 再增加一个圆，这个圆与原来的 n 1 个圆都有两个交点，共有 2(n 1) 个交点，这些交点把 新增加的圆分为 2(n 1) 弧，而每段弧把原来区域分成两个区域，即在原来的基础上，增加 了 2(n 1) 个区域，从而有关系式 an an 1 2(n 1), 这是一个线性递推关系式，由此可求得 an n 2 n 2. 所以， n 个圆在题设条件下将平面分成了 n 2 n 2 个区域. 运用本题的办法，我们还可以得到如上结果：
1 （失败大本营）时，该游戏结束.如果硬币出现正反面的概率都是 ，分别求棋子跳到第 1 2
站和跳到胜利大本营的概率.
例 3.（1985 年全国高中数学联赛）某足球邀请赛有 16 个城市参加，每市派出甲、乙两 个队.根据比赛规则，每两队之间至多赛一场，并且同一城市的两队之间不进行比赛，比赛 若干天后进行统计，发现除 A 市甲队外，其他各队已比赛过的场数各不相同.问 A 市乙队已 赛过多少场？证明你的结论. 解法一：16 个城市共 32 队参加比赛，但同一城市的两队之间不比赛，因此每队至多比 赛 30 场.因除 A 市甲队外的 31 个比赛场数是各队是各不相同的，因此这些队比赛的场数分 因 a30 别为 0,1, 2, ,30. 设已赛过 k 场的队为 ak (k 0,1, 2, ,30) .显然 a30 与 a0 是同一城市的队， 队已赛 30 场，即与其他城市的队都已赛过，而只有 a0 队与 a30 队没有比赛.同样， a29 与 a1 是 属于同一城市，因为 a29 队除了 a0 队以及自己城市的队没有赛过之外，与其他声调的队都赛 过，而 a1 队只赛过一次，它是与 a30 队比赛的.依次类推，可知 a28 与 a2 ， a27 与 a3 ，……， a16 与 a14 是同一城市的队，这些队都不是 A 城市的乙队，所以 A 城市的已队只能是 a15 队，它已 赛过 15 场. 解法二：作更一般性的讨论.设有 n 个城市参加比赛，它们满足题设条件，记 A 市乙队已 赛过的场数为 an ，显然 a1 0. 根据比赛规则，每队至多赛 2(n 1) 场.由题设条件，除 A 市队外的 2n 1 个队，他们赛过 的场数应分别是 0,1, 2, , 2(n 1). 为了确定起见，不失一般性，设 B 市甲队赛了 2(n 1) 场， 则它已赛完全全部场次. 这样，除 B 市乙队以外的其余各队至少赛了一场，所以 B 市乙队赛过的场数为 0.现将 B 市的两队除开，考虑其余的 n 1 个城市，这时除 A 市甲队外，各队之间的比赛场数分别为 ， 设在 n 1 个 1 1 0, 2 1 1,3 1 2, , (2n 3) 1 2(n 2)（各减去与 B 市甲队赛过的一场） 城市的情形，A 市乙队赛过的场数为 an 1 ，则 an an 1 1(n 2) .
递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想.例如自然数中 最小的数是 1，比 1 大 1 的数是 2，接下来比 2 大 1 的数是 3，…由此得到了自然数数列：1， 2，3，4，5，….在这里实际上就有了一个递推公式，假设第 n 个数为 an，则 an+1=an+1; 即 由自然数中第 n 个数加上 1，就是第 n+1 个数.由此可得 an＋2=an＋1＋1，这样就可以得到自然 数数列中任何一个数. 一般来说， 如果一个与自然数有关的数列中的任一项 an 可以由它前面 的 k（≤n－1）项经过运算或其他方法表示出来，我们就称相邻项之间有递归关系，并称这 个数列为递归数列.如果这种推算方法能用公式表示出来，就称这种公式为递推公式或递推 关系式.通过寻求递归关系来解决问题的方法就称为递推方法.这里所说的递推方法是指对于 某些与自然数有关的问题，我们有时可以用递推法解决，所谓用递推法解题，就是根据题目 的特点，构造出递推关系解题的一种方法，解决问题的关键在于构造递推关系.递推关系一 般可以用归纳、猜想等途径获得.利用递推法解题的一般步骤为：(1)确定初始值；(2)建立递 推关系；(3)利用递推关系求通项. 例 1．把一个圆分成 n(n 2) 个扇形，依次设为 s1 , s2 , , sn ，每个扇形都可用红、黄、蓝 3 种不同的颜色之一涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问共有多少种涂色方法？ 解：设不同的涂色方法有 an (n 2) 种.当 n 2 时，对 s1 有 3 种涂色方法，继而对 s2 有两 种涂色方法，得 a2 6 . 下面确定 an 的递推关系，如图所示，若先涂 s1 有 3 种涂法；继 而涂 s2 , s3 , , sn 1 均有 2 种涂法.最后到 sn ，如果只要求 sn 与 sn 1 的颜 色不同，而不顾及 sn 与 s1 的颜色是否相同，仍有 2 种涂法，这样就 共有 3 2n 1 种涂法.但是这 3 2n 1 种涂法分成了两类： 一类是 sn 与 s1 的 颜色不同，其方法数是 an ；另一类是 sn 与 s1 的颜色相同，这种涂法 不符合题意， 但把 sn 与 s1 合成一个扇形， 得出这类涂法的总数为 an 1.
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为 s1 , s2 , , sn ，每个扇形都可以用 m 种不同颜色中的任一种颜色涂色，要求相邻的扇形颜色 互不相同，则有 (m 1)n (1)n (m 1)(n 2) 种涂法. 再者，利用此拓展结论，可以解决 2001 年全国高中数学联赛中的 一道题.在一个正六边形的 6 个区域栽种观赏植物， 如图所示， 要求同一 块种同一植物，相邻的两块种不同的植物.现在 4 种不同的植物，则有 种不同的栽种方案. 答案： n 6, m 4 ， 共有 36 (1)6 3 732 种. F E 数为 an (n3 5n 6). 6
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探究 2
有一种用硬币下棋的游戏，棋盘上标有第 0 站，第 1 站，第 2 站，……，第 100 站，一 枚棋子开始在第 0 站，棋手每掷一次硬币棋子跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳动两站， 若出面反面，则棋子向前跳动一站，直到棋子恰好跳到第 99 站（胜利大本营）或第 100 站
a2 6, 于是得递推关系 n 1 an an 1 3 2 .
s1 sn
s2 s3 s4 s6 s5
有 an 2n (an 1 2n 1 ) (1)2 (an 2 2n 2 ) (1) n 2 (a2 22 ) (1) n 2 2 得 an 2(2n 1 (1) n 2 ) 种. 可将本题的三种颜色拓展到 m 种不同的颜色，即把一个圆分成 n (n 2) 个扇形，依次记
1 （1）点分线段得所有小线段数 an 2 (n 1)(n 2) ； 2 1 （2）射线分角得所有小角数 an 2 (n 1)(n 2) ； 2 1 （3）直线分割平面区域最多个数 an (n 2 n 2) ； 2 1 （4）直线分割圆面得区域的最多个数为 an (n 2 n 2) ； 2
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探究 1
4 个人互相传球，要求接球后马上传给别人，由甲先传球 ，并作第一次传球，求经过 10 次传球后仍回到发球人甲手中传球方式的种数.
例 2. 平面内有 n 个两两相交的圆，并且任意三个圆不经这同一点，试问：这 n 个圆把 平面分成多少个区域？ 显然 a1 2, a2 4. 在 n 1 个圆的基础上 解： 我们记 n 个圆把平面分成的区域个数为 an ， 再增加一个圆，这个圆与原来的 n 1 个圆都有两个交点，共有 2(n 1) 个交点，这些交点把 新增加的圆分为 2(n 1) 弧，而每段弧把原来区域分成两个区域，即在原来的基础上，增加 了 2(n 1) 个区域，从而有关系式 an an 1 2(n 1), 这是一个线性递推关系式，由此可求得 an n 2 n 2. 所以， n 个圆在题设条件下将平面分成了 n 2 n 2 个区域. 运用本题的办法，我们还可以得到如上结果：
1 （失败大本营）时，该游戏结束.如果硬币出现正反面的概率都是 ，分别求棋子跳到第 1 2
站和跳到胜利大本营的概率.
例 3.（1985 年全国高中数学联赛）某足球邀请赛有 16 个城市参加，每市派出甲、乙两 个队.根据比赛规则，每两队之间至多赛一场，并且同一城市的两队之间不进行比赛，比赛 若干天后进行统计，发现除 A 市甲队外，其他各队已比赛过的场数各不相同.问 A 市乙队已 赛过多少场？证明你的结论. 解法一：16 个城市共 32 队参加比赛，但同一城市的两队之间不比赛，因此每队至多比 赛 30 场.因除 A 市甲队外的 31 个比赛场数是各队是各不相同的，因此这些队比赛的场数分 因 a30 别为 0,1, 2, ,30. 设已赛过 k 场的队为 ak (k 0,1, 2, ,30) .显然 a30 与 a0 是同一城市的队， 队已赛 30 场，即与其他城市的队都已赛过，而只有 a0 队与 a30 队没有比赛.同样， a29 与 a1 是 属于同一城市，因为 a29 队除了 a0 队以及自己城市的队没有赛过之外，与其他声调的队都赛 过，而 a1 队只赛过一次，它是与 a30 队比赛的.依次类推，可知 a28 与 a2 ， a27 与 a3 ，……， a16 与 a14 是同一城市的队，这些队都不是 A 城市的乙队，所以 A 城市的已队只能是 a15 队，它已 赛过 15 场. 解法二：作更一般性的讨论.设有 n 个城市参加比赛，它们满足题设条件，记 A 市乙队已 赛过的场数为 an ，显然 a1 0. 根据比赛规则，每队至多赛 2(n 1) 场.由题设条件，除 A 市队外的 2n 1 个队，他们赛过 的场数应分别是 0,1, 2, , 2(n 1). 为了确定起见，不失一般性，设 B 市甲队赛了 2(n 1) 场， 则它已赛完全全部场次. 这样，除 B 市乙队以外的其余各队至少赛了一场，所以 B 市乙队赛过的场数为 0.现将 B 市的两队除开，考虑其余的 n 1 个城市，这时除 A 市甲队外，各队之间的比赛场数分别为 ， 设在 n 1 个 1 1 0, 2 1 1,3 1 2, , (2n 3) 1 2(n 2)（各减去与 B 市甲队赛过的一场） 城市的情形，A 市乙队赛过的场数为 an 1 ，则 an an 1 1(n 2) .