课件2：1.1.3 第1课时 交集与并集

跟踪训练2
若集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{1,2,4}，则A∪B＝( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{1,2}
D．{0}
【答案】A 【解析】A∪B＝{0,1,2,3}∪{1,2,4}＝{0,1,2,3,4}．
命题方向3 交集、并集的实际应用
例3 某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为 49%，电视机拥有率为85%，洗衣机拥有率为44%，至少拥有 上述三种电器中两种的占63%，三种电器齐全的占25%，求一 种电器也没有的相对贫困户所占的比例．
1.1.3 集合的基本运算 第1课时 交集与并集
知能自主梳理
1．交集的概念 (1)一般地，对于两个给定的集合 A、B，由__属__于__集__合__A__ _又__属__于__集__合__B___的所有元素构成的集合，叫做 A 与 B 的交集， 记作___A_∩__B____(读作“____A_交__B___”)．用符号语言表示为 A∩B ＝__{_x_|x_∈__A_，__且__x_∈__B_}_____. (2)对任意集合 A、B 的交集有如下性质(用“＝”、“⊆” 或“ ”填空)：
() A．{1,4} C．{0}
B．{－1，－4} D．∅
【答案】D 【解析】据交集的定义可得M∩N＝{－1，－4}∩{1,4}＝∅，选D．
命题方向2 并集的概念
例2 集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．4
[分析] 集合A、B中都只有一个未知元素，且这两个未知元素都用同一个字母a
表示，故这两个未知元素之间本身就有关系．又A∪B比A、B中的已知元素多出了4和
16，故a和a2的取值必定一个是4，另一个是16.
【解析】∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}， ∴aa2＝＝416 ①或aa2＝＝146 ②， 由①得 a＝4，②无解．综上，得 a＝4. 【答案】D
2－t≥－2 解得13<t≤2. 综上可知，所求实数 t 的取值范围为 t≤2.
课堂小结
1.对并集、交集概念全方面的感悟 (1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的 “非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的． “x∈A，或 x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A 但 x∉B；x∈B 但 x∉A；x∈A 且 x∈B.因此，A∪B 是由所有至 少属于 A、B 两者之一的元素组成的集合． (2)A∩B 中的元素是“所有”属于集合 A 且属于集合 B 的元 素，而不是部分，特别地，当集合 A 和集合 B 没有公共元 素时，不能说 A 与 B 没有交集，而是 A∩B＝∅.
集，分别求出方程x＋2＝0和x2－4＝0的解，从而写出集合A、B，
再求得A∩B．
【解析】∵A＝{x|x＋2＝0}＝{－2}，B＝{x|x2－4＝0}＝ {－2,2}，∴A∩B＝{－2}． 【答案】A
跟踪训练1 若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝
[分析] 解答本题可先把拥有各种电器的人群看作集合， 然后借助Venn，如图所示， A＝{100户中拥有电冰箱的农户}， B＝{100户中拥有电视机的农户}， C＝{100户中拥有洗衣机的农户}， 由图知，A∪B∪C的元素个数为49＋85＋44－63－25＝90， 因此一种电器也没有的相对贫困户数为100－90＝10. 所以一种电器也没有的相对贫困户所占的比例为10%.
(2)对任意集合 A、B 的并集有如下性质(用“＝”、“⊆”
或“ ”填空)：
①A∪B_＝___B∪A；②A∪B_⊇___A；③A∪B__⊇__B．
命题方向1 交集的概念
例1 设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝( )
A．{－2}
B．{2}
C．{－2,2}
D．∅
[分析] 集合A是方程x＋2＝0的解集，集合B是方程x2－4＝0的解
即两项均报名参赛的学生有 5 人．
例4 设集合A＝{x∈R|x2＋2x＋2－p＝0}，且A∩{x|x>0}＝∅，求实数p的取值范围． [错解] 依题意，方程x2＋2x＋2－p＝0没有实数解， 因此Δ＝22－4(2－p)<0，解得p<1. 所以实数p的取值范围为{p|p<1}． [辨析] A∩{x|x>0}＝∅，表示方程x2＋2x＋2－p＝0没有实数解或有非正实数解，本 题误解中由于没有正确理解这一集合语言，而造成错误．我们在解题时应避免出现这种 由于对题意把握不准而造成的错误．
例 6 设 集 合 M ＝ {x| － 2<x<5} ， N ＝ {x|2 － t<x<2t ＋ 1 ， t∈R}，若M∩N＝N，求实数t的取值范围．
[解] 由 M∩N＝N 得 N⊆M， 故当 N＝∅，即 2t＋1≤2－t，t≤13时，M∩N＝N 成立； 当 N≠∅时，则有22－ t＋t<1≤25t＋1 ，
[正解] 由题意，若 A＝∅，即 Δ＝22－4(2－p)<0，所以 p<1.
若 A≠∅，设方程有非正实数解 x1，x2，
则Δ≥0 x1x2≥0
(因为 x1＋x2＝－2<0)，
即42p－－p4≥≥00 ，
解得 1≤p≤2.从而满足题意的实数 p 的取值范围是
{p|p≤2}．
例5 已知集合P＝{x|4≤x<5}，Q＝{x|k＋1<x≤2k－1}， 若P∩Q≠∅，求实数k的取值范围． [分析] 把集合P、Q看作不等式的解集，在数轴上表示出来． [解] 在数轴上表示集合P、Q，如图所示．
∵P∩Q≠∅，∴Q≠∅， ∴k＋1<2k－1，∴k>2，∴k＋1>3. ∵P∩Q≠∅，则P∩Q如图所示，有四种可能情况．
即22kk－－11≥<45 或kk＋ ＋11><45 或k2＋k－1≤1≥45 .或k2＋k－1≥1≤45 解得52≤k<3 或 3<k<4 或 k＝3. ∴实数 k 的取值范围为52≤k<4.
跟踪训练3 学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报 名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的 有4人，问两项都参加的有几人．
[解] 如图，只参加赛跑项目的有a人，只参加跳跃项目的 有b人，两项都参加的有x人，依题意，有
ab＋＋xx＝＝2110 a＋b＋x＝30－4
，解得 x＝5.
①A∩B_＝___B∩A；②A∩B_⊆___A；③A∩B_⊆___B．
2．并集的概念
(1)一般地，对于两个给定的集合 A、B，由_属__于__集__合__A__ __或__者__属__于__集__合__B___的元素构成的集合，叫做 A 与 B 的并集， 记作__A_∪__B___(读作“___A_并__B__”)．用符号语言表示为 A∪B＝ _{_x_|x_∈__A__，__或__x∈___B_}____.
2.集合的交、并运算中的注意事项 (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并” 定义求解，但要注意集合元素的互异性． (2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助 数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值是否取到.