中国科技大学2009–2010 学年《同调代数》第一学期考试试卷

中国科学技术大学
2009–2010学年第一学期考试试卷考试科目:同调代数得分学生所在系:姓名学号
1.一个环R 称为左遗传环，如果R 的任意左理想均为投射模。

证明下述等价：
(1)R 为左遗传环；
(2)任意左投射R -模的任意一子模为投射模；
(3)任意左内射R -模的任一商模为内射模；
(4)对任意的左R -模A 和B ，均有Ext 2R (A,B )=0。

2.Abelian 群A 的秩是指A 中线性无关元的个数的极大值。

证明若A 为可数秩Abelian 群且Ext(A,Z )=0，则A 为自由Abelian 群。

3.计算Ext(Q ,Z )以及Hom(Q ,Q /Z )。

4.举例说明下述不恒成立，其中A,B,A j ,B j 为某个环R 上的模。

(1)Hom(∏A j ,B ) ∏Hom(A j ,B )；(2)Hom(∏A j ,B ) ⨿Hom(A j ,B )；(3)Hom(A,⨿B j ) ⨿Hom(A,B j )；(4)Hom(A,⨿B j ) ∏Hom(A,B j )。

5.设A 为环R 上的有限表现模，即存在正合列P 1→P 0→A →0使得P 0和P 1均为有限生成投射模，则A 为平坦模当且仅当A 为投射模。

6.设R 为环，I ▹R 为理想，A 为左R -模。

证明或者否定作为左R -模，R/I ⊗R A ∼=A/IA 。

1
7.设f:R→R′为环同态，则f自然诱导一个函子f∗:Mod(R′)→Mod(R)，其中Mod(R)和Mod(R′)分别为左R-模范畴和左R′-模范畴。

证明：
(1)若R′为投射R-模，则f∗将投射模映到投射模；
(2)若R′为平坦R-模，则f∗将内射模映到内射模。

8.设g为李代数，A为一个左g-模。

证明H2(g,A)与M(g,A)一一对应，其中M(g,A)为g关于A的扩张的等价类。

9.设g为有限维半单李代数。

证明对任意有限维g-模A,B，均有Ext1
(A,B)=0。

g
2。