河北省2011年高考数学一轮复习精品导学案：5.2数列综合应用

2011年高三数学一轮复习精品导学案:第五章数列
5.2数列综合应用
【高考目标定位】
一、数列求和
1、考纲点击
（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式；
（2）掌握非等差数列、等比数列求和的几种常见方法.
2、热点提示
(1）以考查等差数列、等比数列的求和公式为主,同时考查转化的思想；
（2)对非等差数列、等比数列的求和，主要考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力；
（3）数列求和常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，以它复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题。

二、数列的综合应用
1、考纲点击
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题;
2、热点提示
（1）以递推关系为背景，考查数列的通项公式与前n项公式；（2）等差数列、等比数列交汇，考查数列的基本计算;
（3）数列与函数、不等式、解析几何交汇,考查数列综合应用；
（4)以考查数列知识为主，同时考查“等价转化”、“变量代换”思想.
【考纲知识梳理】 一、数列求和
数列求和的常用方法 1、公式法
(1）直接利用等差数列、等比数列的前n 项公式求和； （2）一些常见的数列的前n 项和：
错误!(1)
12342
n n n +++++
+=
； 错误!2222(1)(21)1236n n n n +++++
+=；
○，32462(1)n n n +++
+=+；
错误!213521n n +++
+-=；
错误!22
3
3
3
3
2(1)(1)123[]24
n n n n n +++++
+==.
2、倒序相加法
如果一个数列{}n
a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同
一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的。

3、错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的;
4、裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵
消,从而求得其和;
注：用裂项相消法求数列前n 项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提.
5、分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减;
6、并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解,则称之为并项求和。

形如(1)()n n
a
f n =-类型，可采用两项合并求解.
二、数列的综合应用
1、解答数列应用题的步骤:
(1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意；
（2）建模-—将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；
（3）求解-—求出该问题的数学解;
（4）还原——将所求结果还原到实际问题中。

2、数列应用题常见模型
（1)等差模型：如果增加(或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差;
(2）等比数列：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比.
注：银行储蓄单利公式及复利公式所属模型分别是：
单利公式——设本金为a 元，每期利率为r ，存期为n ，则本利和
(1)n a a rn =+，属于等差模型；
复利公式-—设本金为a 元,每期利率为r,存期为n ，则本利和
(1)n n a a r =+，属于等比模型。

（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是n
a 与1
n a +的递推关系,还是前n 项
和n
S 与1
n S +之间的递推关系。

【热点难点精析】 一、数列求和 （一)分组转化求和 ※相关链接※
1、数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项,然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之；
2、常见类型及方法 （1）利用等差数列前n 项和公式直接求解;
（2）1n n
a a q -=•利用等比数列前
n 项和公式直接求解；
（3)，数列是等比数列或等差数列，采用分组求
和法求
的前n 项和.
注：应用等比数列前n 项和公式时,要注意公比q 的取值。

※例题解析※
〖例〗已知数列{}n
a 的前n 项是3+2-1，6+4-1,9+8-1,12+16—1，……，
写出数列{}n
a 的通项并求其前n 项和n
S
思路解析：先求通项→转化为几个易求和数列形式→分别求和→
得结论
解答：由已知得,数列{}n
a 的通项公式为321312n n n
a
n n =+-=-+,
∴n
S =
2
121(231)2(12)
(2531)(222)2121
(31)222
n n
n n n n a a a n n n ++--+++=++
+-+++
+=+
-=
++-
（二）错位相减法求和 ※相关链接※
1、一般地,如果数列{}n
a 是等差数列，{}n
b 是等比数列，求数列{}
n
n a
b 的前n 项和时，可采用错位相减法；
2、用乘公比错位相减法求和时,应注意
（1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； （2）在写出“n
S "与“n
qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项
对齐”以便下一步准确写出的n
S -n
qS 的表达式。

注：利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和，若公比是个参数（字母),则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和。

※例题解析※
〖例〗已知数列{}n
a 满足1
2
1321,,,,,
n n a a
a a a a a ----是首项为1，公比为
a 的等比数列.
（1）求n
a ；
（2）如果a=2，(21)n
n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n
S 。

思路解析:(1)根据题意得到表达式,再用累加法求通项；（2）利用错
位相减法求和。

解答：（1）由1
1a
=，当
n ≥2时，11n n
n a
a a ---=,
∴21121321()()()1n n
n n a
a a a a a a a a a a --=+-+-+
+-=+++
①当a=1时，n
a n =;
②当a ≠1
时,11n
n a a a
-=
-，
∴1
.1(1)
1n
n n
a a a a a
=⎧⎪=⎨-≠⎪
-⎩
（2)2312122,2 1.(21)(21)(21)(21)2(21),
12
[23252(21)2][135(21)].
n
n n n n n n n n n a a b n a n n n S b b b n n -=∴==-∴=-=--=----∴=+++=++++--++++- 2323252(21)2n n T n =+++
+-令……………………………………………
………………①
则
2341223252(21)2(21)2n n n T n n +=+++
+-+-………………………………………
…②
①-②，得
231231
211
21111122222222(21)222(222)(21)22(12)
22(21)212
228(21)26(32)2,(23)26,(211)
(23)262
(23)26
n n n n n n n n n n n n n n n T n n n n n T n n n S n n n ++-+++++++-=+++
+--=+++
+---=+---=+---=-+-∴=-+-+∴=-+-=--+
（三）裂项相消求和 ※相关链接※
1、利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项
公式裂项后，有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等;
2、一般情况如下,若{}n a 是等差数列,则
11
1111
()n n n n a a d a a ++=-，
22
1111
()2n n n n a a d a a ++=-，此外根式在分母上可考虑利用有理化因式相消求和。

3、常见的拆项公式有:
※例题解析※
〖例〗已知数列{}n
a 的通项公式为2
1
log ()2
n
n a
n N n *+=∈+，设其前n 项和
为n
S ,
，2n
b 的前n 项和为n
T ，
（1）求n
S ； (2）求n
T
思路解析：利用对数运算法则可求n
S ,通过变形运算利用裂项相消
法可求n
T 。

解答：（1）方法一：∵2
221
log log (1)log (2)2
n
n a
n n n +==+-++
∴
222222222
log 2log 3log 3log 4log (1)log (2)1log (2),
21log (2)log ;2
n n S n n n S n n =-+-+++-+=-+∴=-+=+
方法二：2
22
2223
123
12
log log log log ()log 34234
22
n
n n S n n n ++=+++=⨯⨯⨯
=+++ （2）
2
12224
log (1)(2)
224log log log ,21(1)(2)
411
22
4(),
(1)(2)12
1111111124()4().
233412222
n
n n n b n n n b S S n n n n n n n n n
T n n n n -++=+=+=++++∴==
=-++++∴=-+-+-=-=++++…+ (四）数列求和的综合应用 〖例〗设数列{}n a 满足1a
a =,11,,,0.n n
a ca c n N a c c *
+=+-∈≠其中为实数且 （1）求数列{}n
a 的通项公式; （2)设，求数列{}n
b 的前n 项和n
S ；
（3）若0101n
a
n N c *<<∈<≤对任意成立，证明
思路解析:(1）通过已知条件递推变形,构造等比数列或用迭代法求解{}n
a ;（2）利用错位相减法求n
S ；(3）利用反证法证明。

解答:(1）方法一：由题意，1
1(1)n n a c a +-=-,∴当a ≠1时,
{}11n a a c --是首项为，公比为的等比数列.∴
111(1),(1) 1.
n n n n a a c a a c ---=-=-+即当a=1
时，1n
a
=仍满足上式。

∴数列{}n a 的通项公式为1(1)1()n n a a c n N -*=-+∈。

方法二：
{}21112111121(1)(1)(1)(1).
(1) 1.1(1)1()
n n n n n n n n n n n a c a c a c a a c a a c n a a a a a c n N ------*≥-=-=-==-=-∴=-+==∴=-+∈由题设得，时，时，也满足上式.
的通项公式为
（2）
12122312312311
(1)(),
2
111
2()(),
222
11111()2()(1)()(),22222111111
()()()(),222222
11111
1()()()()2222211
2[1()]().
22
2(n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n a c n S b b b n S n n S n S n n S -++-=-==+++=+++=+++-+∴=++++-∴=+++++-=--∴=-由（1）得b (1)
2)().
2
n n + （3）由(1）知1(1)1n n
a
a c -=-+。

若10(1)11n a c -<-+<，则10(1)1n a c -<-<。

∵
101a a <-<，∴11
0()1n c n N a
-*<<
∈-。

由10n c ->对任意()n N *∈成立，知c 〉0.下
证c ≤1。

用反证法.
方法一：假设c>1.由函数f(x)=x
c 的函数图象知，当n 趋于无穷大
时，1
n c -趋于无穷大.∴1
1
1n c
a
-<
-不能对()n N *∈恒成立，导致矛盾。

∴c ≤1， ∴o 〈 c ≤1。

注：数列综合问题、数列通项、数列求和从近几年高考看考查力度非常大，常以解答题形式出现，同时数列与三角函数、解析几何以及不等式证明问题相结合更是高考考查的重点。

本例既考查了数列通项,又考查了数列求和,同时也考查了不等式的证明，解题时注意
分类讨论思想的应用。

二、数列的综合应用
（一）等差、等比数列的综合问题 ※相关链接※
1、等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式,前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点；
2、利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值。

同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解.
※例题解析※
〖例〗（本小题满分12分） 在数列{}n
a 中，1
1a
=，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）
． （Ⅰ)设1n
n n b
a a +=-（*n N ∈)，证明{}n
b 是等比数列；
(Ⅱ）求数列{}n
a 的通项公式；
（Ⅲ）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值,并证明：对任意的*
n N ∈，n
a
是3
n a +与6
n a +的等差中项．
思路解析：（1)利用等比数列的定义证明; （2)利用{}n
b 的通项公式，累加法求n
a ；
（3)利用等差中项公式 解答：(Ⅰ）证明：由题设1
1(1)n n n a q a qa +-=+-(2n ≥),得
11()n n n n a a q a a +--=-，即1n n b qb -=，2n ≥．
又1
2
11b a
a =-=，0q ≠,所以{}n
b 是首项为1，公比为q 的等比数列．
（Ⅱ）解法:由（Ⅰ） 211a a -=, 32a a q -=，
……
21n n a a q --=，（2n ≥）．
将以上各式相加，得211n n a a q q --++
+=（2n ≥）．
所以当2n ≥时,
1
1,,.
1,111n n q q q a n q
-≠=⎧-+
⎪=-⎨⎪⎩
上式对1n =显然成立．
（Ⅲ）解:由（Ⅱ），当1q =时,显然3
a 不是6
a 与9
a 的等差中项，故1q ≠．
由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得36
11q q -=-，
①
整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去)
．于是
q = 另一方面，2113
3(1)
11n n n n n q q q a a q q q +--+--==---，
151
66(1)
11n n n n n q q q a a q q q -+-+--==---． 由①可得36n
n n n a
a a a ++-=-,*n N ∈．
所以对任意的*
n N ∈，n
a 是3
n a +与6
n a +的等差中项．
（二）以等差数列为模型的实际应用 ※相关链接※
1、解等差数列应用题，首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化。

然后用等差数列知识求解.这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。

2、解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：
从实际出发,通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：
※例题解析※
〖例〗气象学院用3。

2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为
，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少）为止,一共使用了多少天?
思路解析:列出平均耗资→转化为可利用基本不等式的形式→利用基本不等式求解→得出结论
解答:由第n 天的维修保养费为,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值.设一共使用了n天则使用n天的平均耗资为
,
当且仅当时，取得最小值，此时n=800。

答:一共使用了800天.
（三）以等比数列为模型的实际应用
※相关链接※
1、函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项,逐步探索数列通项或前n 项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用。

2、与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率"的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题。

这都与等比数列有关.
※例题解析※
〖例〗我国是一个人口大国，随着时间推移,老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储备金制度，公民在就业的第一年交纳养老储备金，数目为1
a ,以后每年交纳的数目均比上
一年增加d(d>0)，因此,历年所交纳的储备金数目是一个公
差为d 的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。

这就是说，如果固定利率为r （r>0）,那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为()1
1
1n a r -+，第二年
所交纳的储备金就变为()
2
2
1,,n a r -+•••以n T 表示到第n 年所累计的储备
金总额。

（1)写出n
T 与1
n T -（n ≥2）的递推关系式；
(2）求证：n
n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数
列.
思路解析：（1）中关系式容易列出；（2）中利用n
T 与1
n T -,1
n T -与2
n T -…
的关系以此类推，逐步得n
T 的表达式,再利用错位相减法求得n
T ,即不
难得出n
A 与n
B
解答：(1）由题意可得：
（2）
反复使用上述关系式，得
在①式两端同乘1+r ，得
（四）数列与解析几何、不等式的综合应用 〖例1〗知曲线
22
:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n
n
k k
>的切线n l ,切点为(,)n n n P x y ．
(1）求数列{}{}n
n
x y 与的通项公式；
（2)
证明：
13521n
n n
x
x x x x y -⋅⋅⋅⋅<
<.
解答：（1）设直线n
l ：
)
1(+=x k y n ，联立
222=+-y nx x 得
0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，则0)1(4)22(2
222=+--=∆n n n k k n k ，∴
12+=
n n k n （
1
2+-
n n
舍去)
22
2
2
2)1(1+=+=n n k k x n n n
，即
1+=
n n x n ，∴11
2)1(++=
+=n n n x k y n n n
（2）证明：∵
1
211
11111+=++
+-
=
+-n n n n n
x x n
n
12112125331212432112531+=+-⨯⋅⋅⋅⨯⨯<-⨯⋅⋅⋅⨯⨯=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-n n n n n x x x x n
∴
n
n
n x x x x x x +-<
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-1112531
由于
n
n n n x x n y x +-=+=11121，可令函数
x x x f sin 2)(-=,则x x f cos 21)('-=，令
0)('
=x f ，得
2
2
cos =
x ，给定区间)4,0(π
，则有0)('
<x f ，则函数)(x f 在)4,0(π
上
单调递减，∴0)0()(=<f x f ，即x x sin 2<在
)
4,0(π
恒成立，又
4311210π
<≤+<
n ，
则有
121sin
2121+<+n n ，即n n n
n y x x x sin 211<+-。

注：数列、解析几何、不等式是高考的重点内容，将三者综合在一起，强强联合命题大型综合题是历年高考的热点和重点.数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知
识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，而一直成为高考命题者的首选。

〖例
2〗已知点（1，31
）是函数
,0()(>=a a x f x
且1≠a )的图象上一点，等比数列}{n
a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n
b )0(>n
b
的首项为c ，且前n 项和
n S 满足n S －1-n S =n
S +
1
+n S （2n ≥)。

（1）求数列}{n
a 和}{n
b 的通项公式；
(2）若数列｛}
11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T 〉2009
1000的最小正整数n 是多少？
解答:(1）
()113f a ==
，()13x
f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭
()1113a f c c =-=- ,()()221a f c f c =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2
9=-
， ()()32
3227
a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ .
又数列{}n a 成等比数列，2
2
1342181233
27a a c
a ===-=--
，所以 1c =；
又公比2113a q a ==,所以1
2112333n n
n a -⎛⎫
⎛⎫
=-=- ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
*n N ∈
;
1n n S S --=
=()2n ≥
又0n
b
>
0>
, 1=;
数列构成一个首相为1公差为1
()111n n
+-⨯= ，
2n S n =
当2n ≥， ()2
21121
n n n b S S n n n -=-=--=- ；
21n b n ∴=-(*n N ∈)；
（2）122334
11111n n n T b b b b b b b b +=
++++
()
1111
133557
(21)21n n =++++
⨯⨯⨯-⨯+
1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭；
由
1000212009n n T n =
>+得10009n >，满足1000
2009n T >的最小正整数为
112。

注：数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①已知函数条件，解决数列问题。

此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题。

解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形。

【感悟高考真题】
1。

（2010四川理数）（8）已知数列{}n
a 的首项1
0a
≠，其前n 项的
和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim
n
n n a S →∞=
（A )0 （B ）12
(C ） 1 （D ）2
解析：由1
12n n S
S a +=+,且2112n n S S a ++=+
作差得a n ＋2＝2a n ＋1
又S 2＝2S 1＋a 1，即a 2＋a 1＝2a 1＋a 1
a 2＝2a 1
故｛a n ｝是公比为2的等比数列
S n ＝a 1＋2a 1＋22a 1＋……＋2n －1a 1＝(2n －1)a 1
则11121lim lim (21)2n n n n n n a a S a -→∞→∞==-
答案：B
2。

（2010陕西文数）11。

观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2,13＋
23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝
（1＋2＋3＋4）2，…,根据上述规律，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）。

解析：第i 个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方
所以第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2
（或152）。

3。

（2010湖南理数）15．若数列{}n a 满足:对任意的n N *
∈，只有有限
个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n
a *
,则得到一个新数
列{}()n
a *
．例如,若数列{}n a 是1,2,3,n …，…,则数列{}()n
a *
是0,1,2,1,n -…，…．已
知对任意的N n *
∈，2n
a
n =,则5()a *=
,
(())n a **=
．
4。

（2010安徽文数）（21)（本小题满分13分） 设1
2
,,
,,
n C C C 是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x 轴的正半轴
上,且都与直线3
3
y x =
相切,对每一个
正整数n ,圆n
C 都与圆1
n C +相互外切，以n
r 表示n
C
的半径，
已知{}n
r 为递增数列。

(Ⅰ)证明:{}n
r 为等比数列；
（Ⅱ）设1
1r =，求数列{}n
n r 的前n 项和。

【命题意图】本题考查等比列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.
【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦,设n
C 的圆心为(,0)n
λ，得2n
n r λ
=，
同理得1
12n n r λ
++=，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半
径之间的关系，即{}n
r 中1
n r +与n
r 的关系,证明{}n
r 为等比数列;（2）利用（1）的结论求{}n
r 的通项公式，代入数列n
n r ，然后用错位相减法求和.
n n n n n n n+1n+1n+1n n n+1n+1n n n+1n
n n 11n n n n
n 121
,332
r 1
2r 22r r r 2r 2r r 3r r q 3n
r 1q 3r 3n *3r 12.....r r x C θθλλλλλλλ--=====++====∏=====
+++解：（1）将直线y=
的倾斜角记为,则有tan =设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理
，从而，将代入，解得故为公比的等比数列。

（）由于，，故，从而，记S 121n 121n
121n
11,r 12*33*3......*31*32*3......(1)*3*33
133...3*33
1333*3()*3,
2223
9139(23)*3()*34224
n
n
n n n n n n n n n
n n
n n n n n n n S n ----------------=+++=+++-+-=++++--=-=-+-+∴=-+=
则有S S ①②,得
2S
【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知
识,并结合图形，得出关于数列相邻项n
a 与1
n a +之间的关系，然后根据
这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论。

对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n 项和n
S 乘以公比，然后错位相减解决.
5. （2010北京理数）（20）（本小题共13分） 已
知
集
合
121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)
n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于
12(,,,)n A a a a =…,12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为
1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…
A 与
B 之间的距离为111
(,)||i d A B a b -=-∑
(Ⅰ）证明:,,,n
n
A B C S A B S ∀∈-∈有,且(,)(,)d A C B C d A B --=;
(Ⅱ)证明:,,,(,),(,),(,)n
A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数
(Ⅲ） 设P n
S ⊆，P 中有m （m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离
的平均值为d
（P ）。

证明:d (P ）≤
2(1)
mn
m -。

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
证明：（I ）设1
2
(,,...,)n
A a a a =，1
2
(,,...,)n
B b b b =，1
2
(,,...,)n
C c c c =n
S
∈
因为i
a ，{}0,1i
b ∈，所以{}0,1i i
a b -∈，(1,2,...,)i n =
从而1
12
2(||,||,...,||)n n n A B a b a
b a b S -=---∈
又1
(,)||||||n
i
i
i
i
i d A C B C a c b c =--=---∑
由题意知i
a ，i
b ，i
c {}0,1∈(1,2,...,)i n =。

当0i
c =时，|||||||||i i
i i i i a
c b c a b ---=-;
当1i
c
=时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-
所以1
(,)||(,)n
i
i
i d A C B C a b d A B =--=-=∑
(II)设1
2
(,,...,)n
A a a a =，1
2
(,,...,)n
B b b b =，1
2
(,,...,)n
C c c c =n
S
∈
(,)d A B k =，(,)d A C l =,(,)d B C h =.
记(0,0,...,0)n
O S =∈，由(I ）可知 (,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-=
(,)(,)d B C d B A C A h =--=
所以||(1,2,...,)i
i
b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i
i
c a i n -=的1的
个数为l .
设t 是使||||1i
i
i
i
b a
c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+-
由此可知,,,k l h 三个数不可能都是奇数，
即(,)d A B ,(,)d A C ，(,)d B C 三个数中至少有一个是偶数.
（III ）2,1()(,)A B P
m
d P d A B C ∈=∑，
其中,(,)A B P
d A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距离的总和,
设P 种所有元素的第i 个位置的数字中共有i
t 个1，i
m t -个0
则,(,)A B P d A B ∈∑=1
()n
i
i
i t m t =-∑
由于i t ()i m t -2
(1,2,...,)4
m i n ≤=
所以,(,)A B P
d A B ∈∑2
4nm ≤
从而2
2
2
,1()(,)42(1)A B P m
m
nm mn
d P d A B C C m ∈=≤=-∑
【考点精题精练】 一、选择题
1、已知 {}n
a 为等差数列，2
73,13a
a ==则 {}n a 的前
8项的和为
（ C ）
A. 128 B 。

80 C. 64 D. 56
2、一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于后面两项之和,则其公比是 （ D )
A 。

B.
C 。

D.
3、已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且抛物线2
23y x x =-+ 的顶点为
（b ，c ）则ad= （ B )
A 。

3
B 。

2
C 。

1
D 。

－2
4、若,,a b c 成等比数列,则关于x 的方程02
=++c bx ax
( C ）
.A 必有两个不等实根 .B 必有两个相等实根 .C 必无实根
.D 以上三种情况均有可能
5、在数列{}n a 中，
111,2n n a a a +=-=，则51a 的值为（ A )
101.A
49.B 99.C 102.D
6、公差不为零的等差数列{}n
a 的前n 项和为,n
S 若4
a 是3
a 与7
a 的等比中
项，8
32,S
=则10S =（A ）
60.A
24.B 18.C 90.D
7、等差数列{}n
a 的前n 项和)3,2,1(⋅⋅⋅=n S n
当首项1
a 和公差d 变化时，
若1185
a a a
++是一个定值，则下列各数中为定值的是 （ C ）
A. 17S
B 。

18S 15S
D 。

16S
8、已知数列｛n
a }满足2,211
≥=+-+n a a a n n n ，点O 是平面上不在L 上的
任意一点，L 上有不重合的三点A 、B 、C ，又知OB OC a OA a =+20092，则=2010
S
（ D )
A 1004
B 2010
C 2009
1005
9、已知等差数列{}n
a 的公差为2，若1
3
4
,,a a a 成等比数列，则2
a 等于
（ B ）
A ．4-
B ．6-
C ．8-
D ．10-
10、在△ABC 中,tanA 是以4-为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tanB
是以31
为第
3项,9为第6项的等比数列的公比,则该三角
形为（ A )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
11、把数列{21n +}（+
∈N n ）依次按第一个括号一个数，第二个括
号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数，…循环分别为（3），（5，7），(9，11，13）,（15,17，19，21）,（23），（25，27），（29，31，33)，（35，37，39,41），（43） （45，47)…则第104个括号内各数之和为 (D)
A ．2036
B ．2048
C ．2060
D ．2072
12、已知等比数列{}n a 满足+∈>N n a n ,0，且
)1(4323>=⋅-n a a n
n ,则当1n ≥时，
2123221log log log n a a a -++
+=（ A ）
A ．
2
n B ．2
(1)n + C ．(21)n n -
D ．2
(1)n -
二、填空题
13、数列1，1+2,1+2+4，
，1+2+4++12n -，
的前n 项和n
s =
14、在各项均为正数的数列{n
a ｝中,n
S 为前n
项和，
1
2
21)1(++++=n n n n a a a n na
且π
=3
a
，则4
tan S
15、观察下表: 1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10 …………
2
2009。

16、在函数2
()f x ax bx c =++中，若,,a b c 成等比数列且(0)4f =-,则()f x 有最
(填“大”或“小”）
三、解答题 17、已知
()()(
)222157*,
f x x n x n n n N =-+++-∈⑴。

设()f x 的图像的顶点的
纵坐标构成数列{},n
a 求证：{}n
a 为等差数列.⑵。

设()f x 的图像的顶点
到x 轴的距离构成{},n
b 求{}n
b 的前n 项和。

解:⑴∵
()()2
138,f x x n n ⎡⎤=-++-⎣⎦+1383,,n n n a n a a ∴=-∴-=
∴{}n
a 为等差数列.————————————-—-——--————
——-—---————----4分
⑵由38,
n
b
n =-得：当12n ≤≤时,83,n
b
n =-显然15,b =
2
58313322();
n n n n n S +--∴==———--—---————------——-—-—8
分
当3n ≥时，
38,n b n =-()521438n S n ∴=++++⋅⋅⋅+-
231328
2.
n n -+=
∴()()2
21331223132832.
n n n n S n n n ⎧-≤≤⎪⎪
=⎨-+⎪≥⎪⎩—-—-————12
分
18、某城市2002年末粮食储备量为100万吨，预计此后每年耗用上一年末粮食储备量的5%，并且每年新增粮食储备量均为x 万吨.
(I ）记2002年末的粮食储备量为a 1万吨，以后各年末的粮食储备量依次为a 2万吨，a 3万吨，…. 写出a 1，a 2,a 3和a n （n ∈N ）的表达式；
（II ）受条件限制，该城市的粮食储备量不能超过150万吨，那么每年新增粮食储备量不应超过多少万吨？
解答：(1）解：a 1=100,a 2=0。

95×100+x ，a 3=0。

95a 2+x =0。

952×100+0.95x +x 。

…………3分
对于n 〉2,有a n =0.95a n －1+x =0.952×a n －2+（1+0。

95）x =… ∴
x
x a a n n n n n 05.095.0110095
.0)95
.095.01(95
.01
1
2
11
-----+⋅=++++=
=.95.0)20100(201
-⋅-+n x x …………6分
（2）解：当100－20 x ≥0，即x ≤5时，1
+n a ≤a n ≤…≤2
a ≤
1a =100；…………8分
当100－20 x <0，即x 〉5时，
x
x x a n n n n 20]95.0)20100(20[lim lim 1=⋅-+=-∞
→∞
→
并且数列{}n
a 的逐项增加,可以任意靠近20x .
因此,如果要求粮食储备不超过150万吨，则150≤n
a ,即.15020≤x
∴x ≤0。

75. 所以，每年新增粮食储备量不应超过7。

5万
吨.…………12分。