中考数学第15讲正多边形和圆与圆中的计算复习讲义试题

正多边形和圆与圆中的计算
时间：2022.4.12 单位：……*** 创编者：
十乙州模块一正多边形和圆
正多边形的定义：__________________________________________________。

正多边形的相关概念：
⑴正多边形的中心：
_______________________________________________。

⑵正多边形的半径：
_______________________________________________。

⑶正多边形的中心角：
_____________________________________________。

⑷正多边形的边心距：
_____________________________________________。

正多边形的性质：
⑴______________________________________________________________；
⑵______________________________________________________________ ______________________________________________________________。

【例1】
⑴小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一一共走了_________m。

⑵正二百五十边形的一个内角等于_____，它的中心角等于__________。

⑶正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r＝__________________。

【例2】
(中考)如图，有一个圆O和两个正六边形T1、T2。

T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切(我们称T1、T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形)。

⑴设T1、T2的边长分别为a、b，圆O的半径为r，求r∶a及r∶b的值；
⑵求正六边形T1、T2的面积比S1∶S2的值。

模块二圆中的计算
设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l
1．弧长公式：____________________。

2．扇形面积公式：______________________。

3．圆柱体外表积公式：______________________。

4．圆锥体外表积公式：______________________。

【例3】
⑴一圆弧的圆心角为300°，它所对的弧长等于半径为6cm的圆周长，该圆弧所在圆的半径为________。

⑵如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D互相外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，那么图形中四个扇形(阴影局部)的面积之和是________。

⑶如图，△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，
交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF＝40°，那么圆中阴影局部的面积是_______________。

⑷(北大附中单元练习)如图，Rt△ABC的斜边AC＝13cm，一条直角边AB＝5cm，以直线BC 为轴旋转一周得一个圆锥，那么这个圆锥的外表积为___________cm2。

⑸如图，圆锥的底面圆半径为1，母线长OA为3，C为母线OB的中点，在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A爬到点C的最短道路长为___________。

【挑战题】
(中考)如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，那么图中阴影局部的面积是______________。

在线测试题
请在线答题，以便及时反应孩子的薄弱环节。

1．在同圆中，圆的内接正六边形与其外切正六边形的周长之比为________。

面积之比为
_______。

A．3:2,3:4B．3:4,3:2
C．2:3,3:4D．2:3,4:3
2．半径为R的圆的内接正六边形的边长与边心距的比是( )
A．3:2B．3:23C．2:3 D．23:3
3．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，那么⊙O的半径为( ) A．5 B．4 C．3 D．2
4．如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，
假设AC＝5，那么四边形ACBP周长的最大值是( )
A． 15 B．20 C．15＋52D．15＋55
期末测试题 一、选择题(本大题有7小题，每一小题3分，一共21分．每一小题有四个选项，其中有且只有一个选项正确)
1．假设1a =-2242a a a ++-的值是( )
A ．
B
C ．
D 2．假设关于x 的方程
212x a x +=--的解为正数，那么a 的取值范围是( ) A ．2a < B ．2a >
C ．2a <且4a ≠-
D ．2a >且4a ≠-
3．sin30°＝( )
A ．12
B ．32
C ． 3
D ．33
4．假设矩形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，那么四边形A 1B 1C 1D 1一定是( )
A ．正方形
B ．矩形
C ．菱形
D ．梯形
5．在平面直角坐标中，以坐标原点O 为圆心，3cm 长的半径作圆，那么过点A(4，0)、B(0，
3)的直线与⊙O 的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
6．班级有27个女同学，24个男同学，班上每个同学的名字都写在一张小纸条上放入一个盒子搅匀.假如教师闭上眼睛随意从盒子中取出一张纸条，那么以下命题中正确的选项是
( )
A ．抽到男同学名字的可能性是50%
B ．抽到女同学名字的可能性是50%
C ．抽到男同学名字的可能性小于抽到女同学名字的可能性
D ．抽到男同学名字的可能性大于抽到女同学名字的可能性
7．在平面直角坐标系中，点O (0，0)，A (2，4).将线段OA 沿x 轴向左平移2个单位，记点O 、A 的对应点分别为点O 1、A 1，那么点O 1，A 1的坐标分别是
A ．(0，0)，(2，4)
B ．(0，0)，(0，4)
C ．(2，0)，(4，4)
D ．(－2，0)，(0，4)
二、填空题(本大题有10小题，每一小题4分，一共40分)
8．计算：2×3＝ 。

9．在一幅洗好的52张扑克牌中(没有大小王)，随机地抽取一张牌，那么这张牌是红桃K 的概率是 。

10．计算：2cos60°－tan45°＝ 。

11．如图，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于M ，AB ＝8，MD ＝2，那么⊙O 的半径为___________。

12．线段a 、b 、c 满足关系式b a ＝c
b
，且b ＝3，那么ac ＝ 。

图1
C B
A
13．如图1，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝53，AB ＝10，那么∠B ＝ 度。

14．x 2
＋4x ＋4＝( )2。

15．如图2，飞机A 在目的B 的正上方3000米处，飞行员测得地面目的C 的俯角∠DAC ＝30°，那么地面目的BC 的长是 米。

图2
D
C
B
A
16．梯形ABCD 的面积是20平方厘米，高是5厘米，那么此梯形中位线的长是 厘米。

17．假设a ＝23＋1
，那么a 2
＋2a ＋2的值是 。

三、解答题(本大题有9小题，一共89分) 18．(此题满分是18分)
弯制管道时，选按中心线计算“展直长度〞，再下料。

试计算如下图的管道的展直长度l(π取3.14，单位：mm ，准确到10mm)(8分)
19．(此题满分是8分)掷两枚普通的正六面体骰子，所得点数之积的所有可能如下表所示：
24202536
30
24
2012
1086
546543218
186151612121210983061543216
65 544332211积第2枚
第1枚
⑴求出点数之积是3的概率； ⑵求出点数之积是奇数的概率。

20．(此题满分是8分)如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 。

⑴求证：△ABC ∽△ADE ；
⑵假设DE 是△ABC 的中位线，△ADE 的面积是1，求梯形DBCE 的面积。

E 图3
D
C
B
A
21．(此题满分是8分)在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°.现有两个命题： ⑴假设tan B ＝1，那么sin 2
A ＋cos 2
B ＝1； ⑵假设tan B ≥1，那么
22≤sin A ≤32。

判断上述两个命题是否正确，假设正确，说明理由；假设不正确，请举出反例。

22．(此题满分是8分)如图4，准备在图书馆后面的场地边建一个面积为60平方米的长方形自行车棚ABCD ，一边利用图书馆的后墙，设自行车棚靠墙的一边AD 的长是x 米(6≤x ≤10)。

⑴假设要利用已有总长为26米的铁围栏作为自行车棚的围栏，那么x 的值是多少； ⑵假设AB ＝y 米，求y 的取值范围。

图4
D
C
B A
23．(此题满分是9分)如图，AD 是⊙O 的直径，AB ⊥BC ，DC ⊥BC 。

①求证：BE ＝CF ；②假设
AB ＝2，DC ＝3，AD ＝52，求BE 和EF 的长。

(10分)
24．(此题满分是9分)如图6，等腰三角形ADC ，AD ＝AC ，B 是线段DC 上的一点，连结AB ，且有AB ＝DB 。

⑴假设△ABC 的周长是15厘米，且AB AC ＝2
3，求AC 的长；
⑵假设AB DC ＝1
3
，求tan C 的值。

图6
B A
25．(此题满分是10分)关于x 的一元二次方程14x 2
－2x ＋a (x ＋a )＝0的两个实数根为x 1， x 2，
假设y ＝x 1＋x 2＋1
2
x 1·x 2。

⑴当a≥0时，求y的取值范围；
⑵当a≤－2时，比拟y与－a2＋6a－4的大小，并说明理由。

26．(此题满分是11分)点A 是直线y ＝－3x ＋6与y 轴的交点，点B 在第四象限且在直线y ＝－3x ＋6上，线段AB 的长度是35。

将直线y ＝－3x ＋6绕点A 旋转，记点B 的对应点是
B 1，
⑴假设点B 1与B 关于y 轴对称，求点B 1的坐标； ⑵假设点B 1恰好落在x 轴上，求sin∠B 1AB 的值。

答案：
一、选择题(本大题一一共7小题，每一小题3分，一共21分)
二、填空题(本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分)
8．6； 9． 1
52； 10． 0； 11． 5； 12． 9； 13． 60；
14． x ＋2； 15． 30003； 16． 4； 17． 4。

三、解答题(本大题一一共9小题，一共89分) 18．(此题满分是18分)2970mm 19．(此题满分是8分)
⑴解：P(点数之积是3)＝236＝1
18。

⑵解：P(点数之积是奇数)＝
936＝1
4。

注：没有约分不扣分。

没有写“P(点数之积是3)〞、“P(点数之积是奇数)〞只扣1分。

20．(此题满分是8分)
⑴证明：∵ DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B 。

又∵∠A ＝∠A ， ∴ △ABC ∽△ADE . ⑵解：∵ DE 是△ABC 的中位线，
∴ DE BC ＝1
2。

又∵△ABC ∽△ADE ， ∴
S △ADE S △ABC ＝(12)2＝1
4。

∵ S △ADE ＝1，∴S △ABC ＝4。

∴ 梯形DBCE 的面积是3。

21．(此题满分是8分) ⑴命题正确。

证明：∵ tan B ＝1，∴∠B ＝45°。

∴ ∠A ＝45°。

∴ sin 2
A ＋cos 2
B ＝(
22)2＋(22
)2
＝1。

或者: ∴ sin 2
A ＋cos 2
B ＝sin 2
45°＋cos 2
45°＝1。

⑵命题不正确。

解：取∠B ＝60°， 那么tan B ＝3＞1。

且 ∠A ＝30°， ∴sin A ＝12＜2
2。

22．(此题满分是8分) ⑴解：由题意得：
x ·(26－x
2)＝60。

……2分
即x 2
－26x ＋120＝0。

解得x 1＝6，x 2＝20(不合题意，舍去)。

……4分 注：正确求解1分，舍去1分
答：x 的值是6米。

……5分 ⑵由题意得： y ＝60
x。

∵ 60≥0， ∴ y 随x 的增大而减小。

当x ＝6时，y ＝10；当x ＝10时，y ＝6。

∴ 当6≤x ≤10时，6≤y ≤10。

23．(此题满分是9分)
①提示：作OH ⊥BC ，垂足为H ，那么H 既是BC 中点，又是EF 中点 ②BE ＝1，EF ＝5 24．(此题满分是9分) ⑴解：∵ AD ＝AC ， ∴ ∠D ＝∠C 。

又∵AB ＝DB ， ∴ ∠D ＝∠DAB 。

∴ ∠DAB ＝∠D ＝∠C 。

又∵∠D ＝∠D ，
∴ △DAB ∽△DCA 。

∴ AD DC ＝
AB AC ＝2
3。

∴ 3AD ＝2DC 。

即 3AC ＝2DC 。

∵△ABC 的周长是15厘米， 即 AB ＋BC ＋AC ＝15， 那么有DB ＋BC ＋AC ＝15。

∴ DC ＋AC ＝15。

∴ AC ＝6。

⑵解：∵ AB DC ＝1
3
，AB ＝DB ，
即有BC ＝2AB 。

且DC ＝3AB 。

由(1)△DAB ∽△DCA ， ∴ AB AC ＝AD DC
， ∴ AC 2
＝3AB 2。

由BC ＝2AB ，得BC 2
＝4AB 2。

∴ AB 2
＋AC 2
＝BC 2。

∴ △ABC 是直角三角形。

25．(此题满分是10分)
⑴解：由14x 2
－2x ＋a (x ＋a )＝0得，
14x 2＋(a －2)x ＋a 2
＝0。

△＝(a －2)2
－4×14×a 2
＝－4a ＋4。

∵ 方程有两个实数根，∴－4a ＋4≥0。

∴ a ≤1。

∵ a ≥0，
∴0≤a ≤1。

∴ y ＝x 1＋x 2＋1
2x 1·x 2
＝－4a ＋8＋a
＝－3a ＋8。

∵ －3≤0，∴ y 随a 的增大而减小。

当a ＝0时，y ＝8；a ＝1时，y ＝5。

∴ 5≤y ≤8。

⑵解：由(1)得a ≤1，又a ≤－2，
∴ a ≤－2。

∴ y ＝x 1＋x 2＋1
2x 1·x 2
＝－4a ＋8－a
＝－5a ＋8 当a ＝－2时，y ＝18；
∵ －3≤0，∴ y 随a 的增大而减小。

∴ 当a ≤－2时，y ≥18。

又∵－a 2
＋6a －4＝－(a －3)2
＋5≤5， 而18＞5，
∴ 当a ≤－2时，y ＞－a 2
＋6a －4。

26．(此题满分是11分)
⑴解：设直线y ＝－3x ＋6与x 轴交于点C ，
那么C (2，0)。

∴ AC ＝210。

过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D 。

那么∠ADB ＝∠AOC ＝90°。

∵∠A ＝∠A ，
∴ △AOC ∽△ADB 。

∴ AC AB ＝
OC
DB。

∴ DB ＝35×2210＝3
22。

又∵ AC AB ＝AO AD
，
∴ AD ＝35×6210＝9
2
2。

∴ OD ＝9
22－6
＝92－12
2。

∴ 点B (322，12－92
2)。

∴ 点B 1(－322，12－92
2)。

⑵解：当直线AB 绕点A 顺时针旋转，点B 的对应点落在x 负半轴上时，记 点B 的对应点为B 1。

∵ AB ＝35，∴ AB 1＝35。

∴ B 1O ＝3。

B 1C ＝5。

过B 1作B 1E 垂直AC ，垂足为E 。

时间： 2022.4.12 单位： ……*** 创编者： 十乙州
时间： 2022.4.12 单位： ……*** 创编者： 十乙州 那么有 12×B 1E ×AC ＝12
×AO ×B 1C ∴ B 1E ＝6×5210
＝32
10。

在Rt△AB 1E 中，sin∠B 1 AB ＝B 1E AB 1＝321035＝22。

当直线AB 绕点A 逆时针旋转，点B 的对应点落在x 正半轴上时， 记点B 的对应点为B 2。

那么B 2O ＝3。

过B 2向AB 作垂线B 2F ，垂足为F 。

∵ ∠B 1EC ＝∠B 2FC ＝90°，∠EC B 1＝∠FC B 2，
∴ △B 1EC ∽B 2FC 。

∴ B 1E FB 2＝B 1C CB 2。

∴ FB 2＝310
10。

在Rt△AFB 2中，sin∠B 2AF ＝B 2F AB 2＝3101035＝210。

∴ sin∠B 1AB 的值是
22或者210。