2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二(上)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期末数学试卷（理
科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1．（5分）下列选项叙述错误的是（）
A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”
B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题
C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0
D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件
2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7
3．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）
A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m
4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）
A．B．C．D．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）
A．23 B．20 C．04 D．17
7．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）
A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1
8．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的
是（）
A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）
A．B．C．D．
11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）
A．4 B．3 C．4 D．3
12．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）
A．2 B．C．3 D．
二、填空题
13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为．
14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为．
15．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多
有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是．
16．（3分）△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：．
三、解答题
17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：
（1）求y关于x的回归直线方程；
（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？
（注：线性回归直线方程系数公式==，=
．）
18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．
（1）证明：平面GEF∥平面PCB；
（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．
20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极
点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为
cosθ）=3．
（1）求C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．
21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．
（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；
（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．
22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点
在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等
的最大值．
差数列，点M（1，1），求S
△ABM
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期末数学
试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1．（5分）下列选项叙述错误的是（）
A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”
B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题
C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0
D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件
【分析】A“若p则q，“的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故A正确；B p∨q为真命题说明p和q中至少有一个为真；C是全称命题与存在性命题的转化；D从充要条件方面判断．
【解答】解：A原命题为“若p则q，“，则它的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故正确；
B当p，q中至少有一个为真命题时，则p∨q为真命题．故错误．
C正确．
D 由x2一3x+2＞0解得x＜1或x＞2
显然x＞2⇒x＜1或x＞2
但x＜1或x＞2不能得到x＞2
故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了四种命题的关系、充要条件的转化、全称命题与存在性命题的相互转化．
2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7
【分析】在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28，得到结果．
【解答】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的
摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，
∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，
∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，
故选：C．
【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．
3．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）
A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，
则当m与n相交时，l⊥α，故A错误；
若l⊥α，α∥β，m⊂β，
则l⊥β，所以l⊥m，故B正确；
若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C错误；
若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l与m相交、平行或异面，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
4．（5分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）
A．B．C．D．
【分析】根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则对应的面积最大即可．【解答】解：要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，
则根据几何概型的概率公式可得，
A．概率P=，
B．概率P=，
C概率P=，
D．概率P=，则概率最大的为，
故选：A．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，比较基础．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n的最小值应等于（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到输出的值S=16，确定跳出循环的i 值，从而得判断框的条件i＜n中n的范围．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1×2=2，i=2+2=4，k=1+1=2；
第二次循环S=×2×4=4，i=4+2=6，k=2+1=3；
第三次循环S=×4×6=8，i=6+2=8，k=3+1=4．
第四次循环S=×8×8=16，i=8+2=10，k=4+1=5．
∵输出的值S=16，∴跳出循环的i值为10，∴判断框的条件i＜n，其中8＜n≤10，
∴自然数n的最小值为9．
故选：C．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
6．（5分）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）
A．23 B．20 C．04 D．17
【分析】根据随机数表依次进行选取即可．
【解答】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字43开始，依次为17，23，20，17（重复），24，06，04，
则第6个红色球的编号为，04，
故选：C．
【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，比较基础．
7．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）
A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1
【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．
【解答】解：∵△AF1B的周长为4，
∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4，
∴a=，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b==，
∴椭圆C的方程为+=1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
8．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的
是（）
A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
【分析】根据茎叶图所给的两组数据，做出甲和乙的平均数，把两个人的平均数
进行比较，得到乙的平均数大于甲的平均数，得到结论．
【解答】解：由茎叶图知，
甲的平均数是=82，
乙的平均数是=87
∴乙的平均数大于甲的平均数，
从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，
故选：D．
【点评】本题考查两组数据的平均数和稳定程度，这是经常出现的一个问题，对于两组数据通常比较他们的平均水平和稳定程度，注意运算要细心．
9．（5分）如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．
【分析】先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．
【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D
∴D1B∥DF1
∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角
设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=
在△DF1A中，cos∠DF1A=，
故选：A．
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可．
【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，
半个圆锥的体积为××π×1×=；
四棱锥的体积为×2×2×=；
故这个几何体的体积V=；
故选：D．
【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题．
11．（5分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）
A．4 B．3 C．4 D．3
【分析】运用题意判断出三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，再求体积的值．
【解答】解：根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，
△ABC为截面为大圆上三角形，
设圆形为O，AB的中点为N，ON═=1
∵平面PAB⊥平面ABC，
∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，
PN==，
∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为×（2）2×=3，
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的体积计算，探索几何体的位置情况，属于中档题．12．（5分）F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2
作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心，若•=0，则双曲线的离心率是（）
A．2 B．C．3 D．
【分析】求出F1，F2、A、G、P的坐标，由•=0，得GA⊥F1F2，故G、A 的
横坐标相同，可得=a，从而求出双曲线的离心率．
【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），F2（c，0），A（a，0）．把x=c代入
双曲线方程可得y=±，
故一个交点为P（c，），由三角形的重心坐标公式可得G（，）．若•=0，则GA⊥F1F2，∴G、A 的横坐标相同，∴=a，∴=3，
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，角形的重心坐标公式，求出重心G的坐标是解题的关键．
二、填空题
13．（3分）某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为6．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【解答】解：∵高一年级有30名，高二年级有40名，
∴高一年级的学生中应抽取的人数为x，
则满足，即x=6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
14．（3分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点
重合，则mn的值为．
【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=1求得n，则答案可得．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，而双曲线的离心率为2，则a=，
则有解得m=，n=
∴mn=
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解题的关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握．
15．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（1，2] ．
【分析】双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一
个交点，可得圆心（0，2）到渐近线的距离≥半径r，解出即可．
【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径r=1．
∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3．
∴e2=1+b2≤4，
∵e＞1，
∴1＜e≤2，
∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．
故答案为：（1，2]．
【点评】熟练掌握双曲线的渐近线方程、离心率的计算公式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式是解题的关键．
16．（3分）△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，它所在平面外一点P到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：7．
【分析】作出P到平面ABC的高，判断垂足是外心，然后解三角形ABC的外接圆半径，最后求得P到平面ABC的距离．
【解答】解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA=PB=PC
∴OA=OB=OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC的外接圆的半径），记为R，在△ABC中由余弦定理知：
BC=21，在由正弦定理知：2R==14，∴OA=7，得：PO=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查正弦定理、余弦定理，是中档题．
三、解答题
17．某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表所示：
（1）求y关于x的回归直线方程；
（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？
（注：线性回归直线方程系数公式==，=
．）
【分析】（1）根据表中数据，计算，，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）由题知2017年时科研投入的x值，代入回归方程求出的值即可．
【解答】解：（1）根据表中数据，计算可得=×（1.6+1.7+1.8+1.9+2.0）=1.8，
=×（1+1.5+2+2.5+3）=2，
又=16.3，x i y i=18.5；
b==5；
a=﹣b=2﹣5×1.8=﹣7，
故所求的回归直线方程为=5x﹣7；
（2）由题可知到2017年时科研投入为x=2.3（百万元），
故可预测该公司所获得的利润为=5×2.3﹣7=4.5（百万元）；
答：可预测2017年该公司获得的利润为450万元．
【点评】本题考查了求回归直线方程以及应用回归方程预测实际问题．
18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；
（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；
（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．
【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，
解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；
（2）月平均用电量的众数是=230，
∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；
（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，
月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，
∴抽取比例为=，
∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．
【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．
19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．
（1）证明：平面GEF∥平面PCB；
（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．
【分析】（1）根据中位线定理可得EF∥平面PBC，GF∥平面PBC，故而平面GEF ∥平面PCB；
（2）建立坐标系，求出与平面PAB的法向量，计算与法向量的夹角即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，
∴EF∥BC，又BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，
∴EF∥平面PBC，
同理可得：GF∥平面PBC，
又EF⊂平面GEF，GF⊂平面GEF，GF∩EF=F，
∴平面GEF∥平面PBC．
（2）以C为坐标原点，以CA，CB，CP为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则P（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），F（1，0，0），
∴=（2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（1，0，﹣1），
设平面PAB的法向量=（x，y，z），1，2，2），则，
∴，令x=1可得=（1，2，2）．
∴cos＜，＞===﹣．
设PF与面PAB所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．
∴PF与面PAB所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了面面平行的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．
20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为
cosθ）=3．
（1）求C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ=θ1（θ＜θ1）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．
【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）直接利用关系式求出结果．
【解答】（1）圆C的参数方程为（φ参数），转化为圆C的普通方程是（x﹣1）2+y2=1，
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
所以圆C的极坐标方程是：ρ=2cosθ．
，θ1），则有，
（2）设P（ρ
设Q（ρ2，θ2），且直线l的方程是cosθ）=3．
则有，
所以|OP||OQ|=ρ1•ρ2==，
由于：，
则：tanθ1＞0，所以0＜|OP||OQ|＜6．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，极径的应用．
21．如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．
（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；
（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．
【分析】（Ⅰ）由AA1=AC，根据线面垂直的判定定理即可证明AC1⊥平面A1B1CD．（Ⅱ）建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）若AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，
∵AD=2CD，AC⊥CD，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，
∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，
∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD；
解：（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．∴建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图，
设CD=1，则AD=2，AC=，
∵A1D与BB1所成角的余弦值为，∴=，
又，解得A1D=，∴AA1=，
则C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，，0），C1（0，0，），A1（0，，
），
=（1，﹣，﹣），=（0，﹣，﹣），=（0，﹣，0），设平面A1DC的法向量=（x，y，z），
则，取z=1，得=（0，﹣1，1），
设平面A1DC1的法向量=（a，b，c），
则，取a=，得=（，0，1），
设二面角C﹣A1D﹣C1的平面角为θ，
则cosθ===．
∴二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．
22．已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点
在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等
的最大值．
差数列，点M（1，1），求S
△ABM
【分析】（1）设出椭圆方程，根据椭圆离心率，点在椭圆C 上，建立方程组，求解a2，b2，则椭圆的方程可求；
（2）确定直线n的方程为y=kx，代入椭圆方程，借助于弦长公式求出|AB|的长度，由点到直线的距离公式求出M到直线y=kx的距离，写出三角形AOB的面积后转化为含有k的代数式，利用导数法求最值．
【解答】解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则
∵椭圆离心率，点在椭圆C上，
∴，
解得a=2，b=1，
∴椭圆方程为；
（2）设直线n的方程为y=kx+m，A（x1，y1），（x2，y2），则
∵k OA、k、k OB成等差数列，
∴m（x1+x2）=0，
∴m=0，
∴直线n的方程为y=kx
代入椭圆方程得（1+4k2）x2=4，
∴|AB|=．
∵M到y=kx的距离为d=
∴S=•=
∴S2=，
∴（S2）′=，
∴k，（S2）′＞0，﹣＜k＜1，（S2）′＜0，k＞1，（S2）′＞0，
∴k=﹣时，S取得最大值．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查弦长问题、最值问题．属难题．。