七年级数学下册5.1轴对称轴对称的性质及其应用素材湘教版(new)

轴对称的性质及其应用
轴对称的性质有二:(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等,对应角相等;(2)两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段(或延长线）相交，那么交点在对称轴上,下面例谈轴对称轴性质的应用：
一、补画图形为轴对称图形
例1 如图1是由三个小正方形组成的图形,请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形（尽可能多画几个图）
分析:利用性质（1)作图。

解：所作图有下面几种
图
点评:本类型题可先作出对称轴，然后由轴对称的性质（1）补全图.
二、设计路程最短问题
例2 如图2，李庄M计划向两旁的交叉公路l1、l2旁设两上供货点，为使每次向两个供货点供货所走的路程最短,问供货点应设在什么地方？
图
分析：要让所走路程最短，可以尝试利用轴对称性质，分别作点M关于直线l1、l2的对称点M1、M2；连结M1M2分别交直线l1、l2于点A、B。

解:如图2，作M 关于l 1、l 2的对称点M 1、M 2，连M 1M 2交l 1、l 2于A 、B ，则A 、B 为两个供货点，因为MA+AB+BM=MM 1+AB+BM 2,所以沿着MA 、AB 、BM 供货,路程最短。

点评:本类型是由轴对称的性质（1）作点关于直线（对称轴）的对称点，然后解决问题。

三、求角度
例3 如图3，已知△ABC 中，∠A=40°，AB=AC ，MN 是△DAB 的对称轴，交AB 于M ，AC 于D ，求∠DBC 的度数。

分析：利用等腰三角形和轴对称的性质解题。

解：因为∠A=40°,AB=AC，所以∠C=∠ABC=2
40180︒-︒=70°。

因为MN 是AB 的对称轴，由性质（1）知∠DAM=∠DBM ,
所以∠DBM=40°,∠DBC=∠ABC -∠ABD=70°—40°=30°.
四、折纸问题
例4 如图4所示，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在点
D′、C′的位置上,D′E 与BC 相交于点G,若∠CFC′=110°，求∠AEG 和
∠FGD′的度数.
图
N
图P
分析：折纸问题是一种轴对称问题，折痕是对称轴，本题可利用轴对称性质(2）解决问题。

解：依题意知EF 是DEFC 、D′EFC′的对称轴
由轴对称性质(2）知DC 、D′C′的延长线的交点在EF 上，设为P ，如图4,所以∠PFC=∠PFC′=2
110 =55° ∵BC∥AD，∴∠DEF=∠CFP=55°
又∠D′EF=∠DEF ∴∠D′EF=55°
∴∠AEG=180°-∠D′EF -∠DEF=180°-55°-55°=70°
∠FGD′=∠GEF+∠GFE=∠GEF+∠DEF=55°+55°=110°
点评:为考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近年来中考题中常出现折叠问题.折纸的问题是一种轴对称的问题，这类问题中折痕所在的直线就是对称轴，处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变,折叠后有哪些条件可以利用.
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