第4章 因式分解复习课 北师大版八年级数学下册课件
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解：因式分解且正确的有(5)
【当堂检测】
1.下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（ C ） A.(x+1)(x-1)=x2-1 B.x2-4y2 =(x+4y)(x-4y) C.x2-6x+9=(x-3)2 D.x2-2x+1=x(x-2)+1
三、知识回顾
知识点二 因式分解的方法
1.提公因式法分解因式 (1)确定公因式：当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项 系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，且相同字母的指数取次数 最低的． (2)把公因式写在括号外面，将多项式写成整式乘积的形式.
分析：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差
解：S阴影 ＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100－99)(100+99)＋(98－97)(98+97)＋…＋(2－1)(2+1)
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
＝5050
答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.
第四章 因式分解 复习课
一、学习目标
1.理解因式分解的概念,并能根据因式分解与整式乘法的关系解题 2.知道因式分解的方法、步骤,并能熟练应用因式分解的各种方法 进行因式分解 3.能利用因式分解的方法解决实际问题
二、知识结构
因式分解 整式乘法
概念：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式
方法
提公因式法
(2)原式=(a+b)2-c2 =(a+b+c)(a+b-c) (4)3x3y-3xy3 (4)原式=3xy(x2-y2)
=3xy(x+y)(x-y)
【当堂检测】
4.计算：(1)5752×6－4252×6； (2)20192－2018×2020－9992
解：(1)原式＝6×(5752－4252) ＝6×(575＋425)×(575－425) ＝6×1000×150 ＝900000
典型例题
例2.分解因式：
(1)8ax2-18ay
(2)x2-9y2
(3)4x2-12xy+9y2
分析：根据数据特征选择合适方法进行因式分解.
解： (1)原式=2a·4x2-2a·9y (2)原式=x2-(3y)2
=2a(4x2-9y)
=(x+3y)(x-3y)
(3)原式=(2x)2-2×2x·3y+(3y)2
解：(1)a2b3－a3b2＝a2b2(b－a) ∵a－b＝－7，ab＝－2 ∴原式＝(－2)2×7＝28
(2)a3b－2a2b2＋ab3＝ab(a2－2ab＋b2) ＝ab(a－b)2 ∵a－b＝－7，ab＝－2 ∴原式＝(－2)×(－7)2＝－98
【当堂检测】
归纳总结：在代数式求值问题中，解题的基本思路是先化简代数式， 把代数式化简至最简后再代入求值．但在不同问题中，化简的方法也不同， 如：利用整式的加减、整式的乘法、分解因式等，因此，应根据具体的题目 特点，灵活选用化简代数式的方法．
=a(x+y-1)2
因式分解过程中：有公因式， 先提公因式
典型例题
例3.分解因式： (3)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9
(4)(a2+b2)2-4a2b2
解：(3)原式=(y2－1)2－6(y2－1)＋9 (4)原式=(a2+b2)2-(2ab)2
=(y2－1－3)2 =(y2－4)2 =(y＋2)2(y－2)2
(2)原式＝20192－(2019－1)×(2019＋1)－9992 ＝20192－(20192－1)－9992 ＝1－9992 ＝(1＋999)×(1－999) ＝1000×(－998) ＝－998000
【当堂检测】
5.若a－b＝－7，ab＝－2，求下列各式的值： (1)a2b3－a3b2； (2)a3b－2a2b2＋ab3.
(2)原式=x2+[(-2)+(-6)]+(-2)×(-6)
=(x-2)(x-6)
典型例题
例5.如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里 面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为 100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影 部分的面积和是多少？
(4)3x2y+12xy2+12y3=
3y(x+2y)2
．
【当堂检测】
3.分解因式. (1) 2a(x-y)+4b(x-y)
(2)a2+2ab+b2-c2
解：(1)原式=2(x-y)(a+2b) (3)18xy2 -27x2y-3y3 (3)原式=-3y(9x2-6xy+y2)
=-3y(3x-y)2
【当堂检测】
7.如图所示的圆形工件，大圆的半径R为65.4mm，四个小圆的半径r为17.3mm， 求图中阴影部分的面积.
解：S阴影=S大圆-4S小圆 =πR2-4πr2=π(R2-4r2) =π(R+2r)(R-2r) =π(65.4+2×17.3)(65.4-2×17.3) =π×100×30.8 =3080π 答：图中阴影部分的面积为3080πmm2.
四、课堂总结
概念 因 式 分 解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式.
与整式乘法的关系：互逆关系 提公因式法：1.确定公因式 2.提取公因式
因式分解的方法 公式法
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
典型例题
例1.下列式子中，从左往右的变形是因式分解且正确的有哪些. (1)x2-xy2=x(x-y)2 ;(2)(x+2)2=x2+4x+4;(3)4x2+2xy+y2=(2x+y)2 ; (4)4xy2=2xy·2y;(5)ax2-bx=x(ax-b). 分析：因式分解的对象：多项式； (4)的对象为单项式 因式分解的结果：几个整式的乘积；(2)结果为多项式 因式分解的正确性可根据整式乘法来验证. (1)(3)等式左右两边不相等
公因式
公式法
a2－b2＝(a＋b)(a－b) a2±2ab＋b式分解的概念
1.把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解. 2.多项式的因式分解与乘法运算是相反的变形过程．
注意：1.等号的左边必须是一个多项式； 2.因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式； 3.多项式的因式分解是一个恒等变形．
三、知识回顾
2.公式法分解因式 (1)因式分解中的平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)； 平方差式的特征： ①可化为两个整式；②两项符号相反；③每一项都是整式的平方. (2)因式分解中的完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2； 完全平方式的特征：①可化成三项式；②有两项符号相同,能写成两个 整式的平方的形式；③另一项是这两整式乘积的±2倍.
那么除了利用拼图将a2＋5ab＋6b2分解因式，也可以用如下方法： a2＋5ab＋6b2=a2+(2b+3b)a+2b·3b=(a+2b)(a+3b).
【当堂检测】
6.因式分解.
(1)x2-3x-10；
(2)x2﹣8x+12.
解：(1)原式=x2+[2+(-5)]x+2×(-5) =(x+2)(x-5)
=(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab) =(a+b)2(a-b)2
因式分解要分解彻底
【当堂检测】
2．分解因式：
(1)a(x-y)-b(x-y)-c(y-x)= (x-y)(a-b+c) ；
(2)(m-n)2-(n-m)(m-2n)= (m-n)(2m-3n) ；
(3)3x3-27xy2=
3x(x+3y)(x-3y) ；
典型例题
例4.小戴同学动手剪了若干张如图所示的正方形与长方形纸片． ①拼成如图(b)所示的正方形，根据四张小纸片的面积之和等于大纸片(正方 形)的面积，有a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，验证了完全平方公式(分解因式)；
典型例题
②拼成如图(c)所示的长方形，可得a2＋3ab＋2b2＝ (a＋2b)(a＋b)，多项式a2＋3ab＋2b2分解因式的结果 表示长方形长、宽的两个整式a＋2b与a＋b的积． 问题： (1)自己动手试一试，利用拼图分解因式2a2＋3ab＋b2＝ (2a+b)(a+b) . (2)猜想面积为2a2＋5ab＋2b2的长方形的长、宽可能分别为：
a＋2b，2a＋b或2a＋b，a＋2b .
典型例题
归纳总结：本章中数形结合思想主要体现在用长方形纸片的图形面积来解释 因式分解．利用几何图形的面积可以把整式乘法与因式分解有机地联系起来． 拓展：由整式的乘法得(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq； 那么反过来x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)也成立，在拼图过程中也验证了该式.
=(2x-3y)2
典型例题
例3.分解因式：
(1)2m(a+b)2-2m(a-1)2
(2)a(x+y)2-2a(x+y)+a
解：(1)原式=2m[(a+b)2-(a-1)2]
=2m[(a+b)+(a-1)][(a+b)-(a-1)]
=2m(2a+b-1)(b+1) (2)原式=a[(x+y)2-2(x+y)+1]
【当堂检测】
1.下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（ C ） A.(x+1)(x-1)=x2-1 B.x2-4y2 =(x+4y)(x-4y) C.x2-6x+9=(x-3)2 D.x2-2x+1=x(x-2)+1
三、知识回顾
知识点二 因式分解的方法
1.提公因式法分解因式 (1)确定公因式：当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项 系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，且相同字母的指数取次数 最低的． (2)把公因式写在括号外面，将多项式写成整式乘积的形式.
分析：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差
解：S阴影 ＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100－99)(100+99)＋(98－97)(98+97)＋…＋(2－1)(2+1)
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
＝5050
答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.
第四章 因式分解 复习课
一、学习目标
1.理解因式分解的概念,并能根据因式分解与整式乘法的关系解题 2.知道因式分解的方法、步骤,并能熟练应用因式分解的各种方法 进行因式分解 3.能利用因式分解的方法解决实际问题
二、知识结构
因式分解 整式乘法
概念：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式
方法
提公因式法
(2)原式=(a+b)2-c2 =(a+b+c)(a+b-c) (4)3x3y-3xy3 (4)原式=3xy(x2-y2)
=3xy(x+y)(x-y)
【当堂检测】
4.计算：(1)5752×6－4252×6； (2)20192－2018×2020－9992
解：(1)原式＝6×(5752－4252) ＝6×(575＋425)×(575－425) ＝6×1000×150 ＝900000
典型例题
例2.分解因式：
(1)8ax2-18ay
(2)x2-9y2
(3)4x2-12xy+9y2
分析：根据数据特征选择合适方法进行因式分解.
解： (1)原式=2a·4x2-2a·9y (2)原式=x2-(3y)2
=2a(4x2-9y)
=(x+3y)(x-3y)
(3)原式=(2x)2-2×2x·3y+(3y)2
解：(1)a2b3－a3b2＝a2b2(b－a) ∵a－b＝－7，ab＝－2 ∴原式＝(－2)2×7＝28
(2)a3b－2a2b2＋ab3＝ab(a2－2ab＋b2) ＝ab(a－b)2 ∵a－b＝－7，ab＝－2 ∴原式＝(－2)×(－7)2＝－98
【当堂检测】
归纳总结：在代数式求值问题中，解题的基本思路是先化简代数式， 把代数式化简至最简后再代入求值．但在不同问题中，化简的方法也不同， 如：利用整式的加减、整式的乘法、分解因式等，因此，应根据具体的题目 特点，灵活选用化简代数式的方法．
=a(x+y-1)2
因式分解过程中：有公因式， 先提公因式
典型例题
例3.分解因式： (3)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9
(4)(a2+b2)2-4a2b2
解：(3)原式=(y2－1)2－6(y2－1)＋9 (4)原式=(a2+b2)2-(2ab)2
=(y2－1－3)2 =(y2－4)2 =(y＋2)2(y－2)2
(2)原式＝20192－(2019－1)×(2019＋1)－9992 ＝20192－(20192－1)－9992 ＝1－9992 ＝(1＋999)×(1－999) ＝1000×(－998) ＝－998000
【当堂检测】
5.若a－b＝－7，ab＝－2，求下列各式的值： (1)a2b3－a3b2； (2)a3b－2a2b2＋ab3.
(2)原式=x2+[(-2)+(-6)]+(-2)×(-6)
=(x-2)(x-6)
典型例题
例5.如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里 面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为 100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影 部分的面积和是多少？
(4)3x2y+12xy2+12y3=
3y(x+2y)2
．
【当堂检测】
3.分解因式. (1) 2a(x-y)+4b(x-y)
(2)a2+2ab+b2-c2
解：(1)原式=2(x-y)(a+2b) (3)18xy2 -27x2y-3y3 (3)原式=-3y(9x2-6xy+y2)
=-3y(3x-y)2
【当堂检测】
7.如图所示的圆形工件，大圆的半径R为65.4mm，四个小圆的半径r为17.3mm， 求图中阴影部分的面积.
解：S阴影=S大圆-4S小圆 =πR2-4πr2=π(R2-4r2) =π(R+2r)(R-2r) =π(65.4+2×17.3)(65.4-2×17.3) =π×100×30.8 =3080π 答：图中阴影部分的面积为3080πmm2.
四、课堂总结
概念 因 式 分 解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式.
与整式乘法的关系：互逆关系 提公因式法：1.确定公因式 2.提取公因式
因式分解的方法 公式法
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
典型例题
例1.下列式子中，从左往右的变形是因式分解且正确的有哪些. (1)x2-xy2=x(x-y)2 ;(2)(x+2)2=x2+4x+4;(3)4x2+2xy+y2=(2x+y)2 ; (4)4xy2=2xy·2y;(5)ax2-bx=x(ax-b). 分析：因式分解的对象：多项式； (4)的对象为单项式 因式分解的结果：几个整式的乘积；(2)结果为多项式 因式分解的正确性可根据整式乘法来验证. (1)(3)等式左右两边不相等
公因式
公式法
a2－b2＝(a＋b)(a－b) a2±2ab＋b式分解的概念
1.把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解. 2.多项式的因式分解与乘法运算是相反的变形过程．
注意：1.等号的左边必须是一个多项式； 2.因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式； 3.多项式的因式分解是一个恒等变形．
三、知识回顾
2.公式法分解因式 (1)因式分解中的平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)； 平方差式的特征： ①可化为两个整式；②两项符号相反；③每一项都是整式的平方. (2)因式分解中的完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2； 完全平方式的特征：①可化成三项式；②有两项符号相同,能写成两个 整式的平方的形式；③另一项是这两整式乘积的±2倍.
那么除了利用拼图将a2＋5ab＋6b2分解因式，也可以用如下方法： a2＋5ab＋6b2=a2+(2b+3b)a+2b·3b=(a+2b)(a+3b).
【当堂检测】
6.因式分解.
(1)x2-3x-10；
(2)x2﹣8x+12.
解：(1)原式=x2+[2+(-5)]x+2×(-5) =(x+2)(x-5)
=(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab) =(a+b)2(a-b)2
因式分解要分解彻底
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2．分解因式：
(1)a(x-y)-b(x-y)-c(y-x)= (x-y)(a-b+c) ；
(2)(m-n)2-(n-m)(m-2n)= (m-n)(2m-3n) ；
(3)3x3-27xy2=
3x(x+3y)(x-3y) ；
典型例题
例4.小戴同学动手剪了若干张如图所示的正方形与长方形纸片． ①拼成如图(b)所示的正方形，根据四张小纸片的面积之和等于大纸片(正方 形)的面积，有a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，验证了完全平方公式(分解因式)；
典型例题
②拼成如图(c)所示的长方形，可得a2＋3ab＋2b2＝ (a＋2b)(a＋b)，多项式a2＋3ab＋2b2分解因式的结果 表示长方形长、宽的两个整式a＋2b与a＋b的积． 问题： (1)自己动手试一试，利用拼图分解因式2a2＋3ab＋b2＝ (2a+b)(a+b) . (2)猜想面积为2a2＋5ab＋2b2的长方形的长、宽可能分别为：
a＋2b，2a＋b或2a＋b，a＋2b .
典型例题
归纳总结：本章中数形结合思想主要体现在用长方形纸片的图形面积来解释 因式分解．利用几何图形的面积可以把整式乘法与因式分解有机地联系起来． 拓展：由整式的乘法得(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq； 那么反过来x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)也成立，在拼图过程中也验证了该式.
=(2x-3y)2
典型例题
例3.分解因式：
(1)2m(a+b)2-2m(a-1)2
(2)a(x+y)2-2a(x+y)+a
解：(1)原式=2m[(a+b)2-(a-1)2]
=2m[(a+b)+(a-1)][(a+b)-(a-1)]
=2m(2a+b-1)(b+1) (2)原式=a[(x+y)2-2(x+y)+1]