高中数学学案北师大版必修2 平行关系的性质 教案
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教学设计
5.2平行关系的性质
导入新课
思路1.(情境导入)
三角板的一条边所在直线与桌面平行,这个三角板所在的平面与桌面平行吗?三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,情况又如何呢?下面我们讨论平面与平面平行的性质问题.
思路2.(直接导入)
前面学习了平行关系的判定,本节我们学习平行关系的性质,教师点出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆空间两条直线的位置关系.
②若一条直线与一个平面平行,探究这条直线与平面内直线的位置关系.
③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.
④试证明直线与平面平行的性质定理.
⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么?
⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.
活动:问题①引导学生回忆两条直线的位置关系.
问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.
问题③引导学生进行语言转换.
问题④引导学生用排除法.
问题⑤引导学生找出应用的难点.
问题⑥鼓励学生总结,教师归纳.
讨论结果:①空间两条直线的位置关系:相交、平行、异面.
②若一条直线与一个平面平行,这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交(可用反证法证明),
所以,该直线与平面内直线的位置关系还有两种,即平行或异面.
怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢(排除异面的情况)?经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为:
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
这个定理用符号语言可表示为:
⎭
⎪⎬⎪
⎫a ∥α
a ⊂ββ∩α=
b ⇒a ∥b . 这个定理用图形语言可表示为:如图
1.
图1
④已知a ∥α,a ⊂β,α∩β=b .求证:a ∥b
.
⑤应用线面平行的性质定理的关键是:过这条直线作一个平面.
⑥应用线面平行性质定理的要诀:“见到线面平行,先过这条直线作一个平面找交线.” 提出问题
①利用空间模型探究:如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系?
②回忆线面平行的性质定理,结合模型探究线面平行的性质定理. ③用三种语言描述平面与平面平行的性质定理. ④应用面面平行的性质定理的难点在哪里? ⑤应用面面平行的性质定理口诀是什么?
讨论结果:①如图2,借助长方体模型,我们看到,B ′D ′所在的平面A ′C ′与平面AC 平行,所以B ′D ′与平面AC 没有公共点.也就是说,B ′D ′与平面AC 内的所有直线没有公共点.因此,直线B ′D ′与平面AC 内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线.
图2
②直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为:
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
因为,直线B ′D ′与平面AC 内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线,只要过B ′D ′作平面BDD ′B ′与平面AC 相交于直线BD ,那么直线B ′D ′与直线BD 平行.
如图
3.
图3
③两个平面平行的性质定理用文字语言表示为:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
两个平面平行的性质定理用符号语言表示为:
⎭
⎪⎬⎪
⎫α∥β
α∩γ=a β∩γ=b ⇒a ∥b . 两个平面平行的性质定理用图形语言表示为:如图
4.
图4
④应用面面平行的性质定理的难点是:过某些点或直线作一个平面.
⑤应用面面平行性质定理的口诀:“见到面面平行,先过某些直线作两个平面的交线.”
应用示例
思路1
例1 如图5,A ,B ,C ,D 在同一平面内,AB ∥平面α,AC ∥BD ,且AC ,BD 与α分别交于点C ,D ,求证:AC =BD
.
图5
证明:连接CD .
因为A ,B ,C ,D 在同一平面内,AB ∥平面α, 所以AB ∥CD .
又因为AC ∥BD ,所以四边形ABCD 是平行四边形. 因此AC =BD .
点评:已知线面平行时,常用到线面平行的性质定理. 变式训练
已知AB ,CD 为异面线段,E ,F 分别为AC ,BD 中点,过E ,F 作平面α∥AB .
求证:CD ∥α.
证明:如图6,连接AD 交α于G ,连接GF ,
图6
∵AB ∥α,面ADB ∩α=GF ⇒AB ∥GF . 又∵F 为BD 中点, ∴G 为AD 中点.
又∵AC ,AD 相交,确定的平面ACD ∩α=EG ,E 为AC 中点,G 为AD 中点,∴EG ∥CD .
⎭
⎪⎬⎪
⎫
EG ⊂αCD ⊄αEG ∥CD ⇒CD ∥α. 例2 如图7,平面α,β,γ两两平行,且直线l 与α,β,γ分别相交于点A ,B ,C ,直线m 与α,β,γ分别相交于点D ,E ,F ,AB =6,BC =2,EF =3.求DE 的长.
图7
解:连接DC .
设DC 与β相交于点G ,则平面ACD 与α,β分别相交于直线AD ,BG ,平面DCF 与β,γ分别相交于直线GE ,CF .
因为α,β,γ两两平行, 所以BG ∥AD ,GE ∥CF .
因此AB BC =DG GC ,DG GC =DE EF .所以AB BC =DE EF .
又因为AB =6,BC =2,EF =3,所以DE =9.
点评:本题利用面面平行得到线线平行,从而得到线段成比例. 变式训练
如图8,平面α∥平面β,平面γ与α交于直线a ,γ与β交于直线b ,直线c 在β内,且c ∥b .
图8
(1)判断c与α的位置关系,并说明理由;
(2)判断c与a的位置关系,并说明理由.
答案:(1)c∥α;(2)c∥a.(理由略.)
思路2
例1 求证:如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行.
图9
解:已知:如图9,a∥b,a⊂α,b⊂β,α∩β=c.
求证:c∥a∥b.
证明:
变式训练
求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个相交平面的交线平行.
图10
解:已知:如图10,a∥α,a∥β,α∩β=b.
求证:a∥b.
证明:如图10,过a作平面γ,δ,使得γ∩α=c,δ∩β=d,那么有
点评:本题证明过程,实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.
例2 已知:a ,b 是异面直线,a ⊂平面α,b ⊂平面β,a ∥β,b ∥α. 求证:α∥β.
证明:如图11,在b 上任取点P ,显然P ∉a .于是a 和点P 确定平面γ,且γ与β有公共点P
.
图11
设γ∩β=a ′,
∵a ∥β.∴a ′∥a .∴a ′∥α.
这样β内相交直线a ′和b 都平行于α,∴α∥β.
知能训练
1.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.
图12
解:已知:α∥β,γ∥β,求证:α∥γ.
证明:如图12,作两个相交平面分别与α,β,γ交于a ,c ,e 和b ,d ,f ,
⎭
⎬⎫α∥β⇒⎩⎪⎨
⎪⎧ a ∥c
b ∥d β∥γ⇒⎩⎪⎨
⎪⎧ c ∥e
d ∥f
⇒
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ∥e ⇒a ∥γb ∥f ⇒b ∥γ⇒α∥γ. 点评:欲将面面平行转化为线线平行,先要作平面. 2.如图13,
EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上,求
证:BD ∥面EFGH ,AC ∥面EFGH .
证明:∵四边形EFGH 是平行四边形
⎭
⎪⎬⎪
⎫⇒EH ∥FG
FG ⊂面BDC EH ⊄面BDC ⇒
⎭
⎪⎬⎪
⎫EH ∥面BDC
EH ⊂面ABD 面ABD ∩面BDC =BD
图13
⎭
⎪⎬⎪
⎫⇒EH ∥BD
EH ⊂面EFGH BD ⊄面EFGH ⇒BD ∥面EFGH . 同理,可证AC ∥面EFGH .
拓展提升
如图14,两条异面直线AB ,CD 与三个平行平面α,β,γ分别相交于A ,E ,B 及C ,F ,D ,又AD ,BC 与平面的交点为H ,G .
求证:四边形EHFG 为平行四边形.
图14
证明:
⎭
⎪⎬⎪
⎫
平面ABC ∩α=AC 平面ABC ∩β=EG α∥β⇒AC ∥EG .
同理,AC ∥HF .
⎭
⎪⎬⎪
⎫AC ∥EG AC ∥HF ⇒EG ∥HF .同理,EH ∥FG .故四边形EHFG 是平行四边形.
课堂小结
1.线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决立体几何中平行关系的关键. 2.学会作辅助线,特别是利用平行关系的性质作辅助线.
作业
习题1—5 B 组第2,3题.
设计感想
本节教学设计注重培养学生直觉感知和应用能力,在实际教学中,可选择使用例题和练习题.
备课资料
备用习题
1.如图15,P 是△ABC 所在平面外的一点,A ′,B ′,C ′分别是△PBC ,△PCA ,△P AB 的重心.
图15
(1)求证:平面ABC ∥平面A ′B ′C ′; (2)求△A ′B ′C ′与△ABC 的面积之比.
证明:(1)连接P A ′,PB ′,PC ′并延长交BC ,AC ,AB 于D ,E ,F ,连接DE ,EF ,DF .
∵A ′,C ′分别是△PBC ,△P AB 的重心, ∴P A ′=23PD ,PC ′=23
PF .
∴A ′C ′∥DF .∵A ′C ′⊄平面ABC ,DF ⊂平面ABC , ∴A ′C ′∥平面ABC .同理,A ′B ′∥平面ABC .
又A ′C ′∩A ′B ′=A ′,A ′C ′、A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′,∴平面ABC ∥平面A ′B ′C ′.
(2)由(1)知A ′C ′2
3
DF ,又DF 1
2
AC ,∴A ′C ′13
AC . 同理,A ′B ′
1
3AB ,B ′C ′1
3
BC .∴△A ′B ′C ′∽△ABC . ∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC =1∶9.
2.已知:如图16,α∥β,AB ∥CD ,A ∈α,C ∈α,B ∈β,D ∈β.
图16
求证:AB=CD.
证明:∵AB∥CD,
∴过AB,CD的平面γ与平面α和β分别交于AC和BD.
∵α∥β,∴BD∥AC.
∴四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD.
3.如图17,已知平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,E,F分别为AB,CD的中点.求证:EF∥α,EF∥β.
图1图18
证明:当AB,CD共面时,平面ABCD∩α=AC,平面ABCD∩β=BD.
∵α∥β,∴AC∥BD.
∵E,F分别为AB,CD的中点,∴EF∥AC.
∵ACα,EFα,∴EF∥α.同理,EF∥β.
当AB,CD异面时,如图18,∵E CD,
∴可在平面ECD内过点E作C′D′∥CD,与α,β分别交于C′,D′.
平面AC′BD′∩α=AC′,平面AC′BD′∩β=BD′,∵α∥β,∴AC′∥BD′.
∵E是AB中点,∴E也是C′D′的中点.
平面CC′D′D∩α=CC′,平面CC′D′D∩β=DD′,∵α∥β,
∴CC′∥DD′.
∵E,F分别为C′D′,CD的中点,∴EF∥CC′,EF∥DD′.
∵CC′α,EFα,∴EF∥α.
同理,EF∥β.
(设计者:释翠香)。