河南省2021学年高二数学下学期第二次周考试题理

高二数学下学期第二次周考试题 理
一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分） 1．在复平面内，复数
+（1+
i ）2
的共轭复数对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A ．假设三内角都不大于60度
B ．假设三内角都大于60度
C ．假设三内角至多有一个大于60度
D ．假设三内角至多有两个大于60度 3．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ﹣i 与2+bi 互为共轭复数，且z=（a+bi ）2
，则z 的模为（ ）．
A ．5
B ．25
C ．1
D ．5
4．已知f'（x 0）=a ，则0
lim
x △的值为（ ）
A ．﹣2a
B ．2a
C ．a
D ．﹣a
5．已知函数f （x ）=x 3
+ax 2
+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜a ＜2
B ．﹣3＜a ＜6
C ．a ＜﹣3或a ＞6
D ．a ＜﹣1或a ＞2
6．已知函数f （x ）的导函数为f ’(x)，且满足f （x ）=2xf ’(e)+lnx ，则f ′（e ）=（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．﹣e ﹣1
D ．﹣e
7．若f （x ）=x 2
+2
f （x ）dx ，则f （x ）dx=（ ） A ．﹣1 B ．﹣ C ．
D ．1
8.设圆柱的表面积为S ，当圆柱体积最大时，圆柱的高为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3π
9．若a=
，b=
，c=
，则a ，b ，c 大小关系是（ ）
A ．a ＜c ＜b
B ．a ＜b ＜c
C ．c ＜b ＜a
D ．c ＜a ＜b
10．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则
”，
若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则＝（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+a（a为常数），直线m与函数f（x），g（x）的图象都相切，且m与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则a的值为（）A．1 B．﹣C．﹣1 D．2
12．用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n﹣1）（n∈N+）时，由“n=k→n=k+1”等式两边需同乘一个代数式，它是（）
A．2k+2 B．（2k+1）（2k+2）C．D．
13．如果复数z满足|z+2i|+|z﹣2i|=4，则|z+i+1|的最小值为（）
A．1 B．C．2 D．
14．已知函数f（x）=x（x﹣m）3在x=2处取得极小值，则常数m的值为（）A．2 B．8 C．2或8 D．以上答案都不对
15．已知函数f（x）定义域为R，f（﹣1）=2，任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）
16．已知点列如下：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，1），P4（1，3），P5（2，2），P6（3，1），P7（1，4），P8（2，3），P9（3，2），P10（4，1），P11（1，5），P12（2，4），…，
则P60的坐标为（）
A．（3，8）B．（4，7）C．（4，8）D．（5，7）
17.（5分）已知f（x）＝x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝0．
现给出如下结论：
①f（0）f（1）＞0；
②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（3）＞0；
④f（0）f（3）＜0．
其中正确结论的序号是（）
A．②③B．①④C．①③D．②④
18．已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＞f′（x）对于x∈R恒成立（e为自然对数的底），则（）
A．e2019•f（2020）＞e2020•f（2019） B．e2019•f（2020）=e2020•f（2019）
C．e2019•f（2020）＜e2020•f（2019） D．e2019•f（2020）与e2020•f（2019）大小不确定
19.已知函数f（x+1）是偶函数，且x＞1时，f′（x）＜0恒成立，又f（4）=0，
则（x+3）f（x+4）＜0的解集为（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） B．（﹣6，﹣3）∪（0，4）
C．（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞） D．（﹣6，﹣3）∪（0，+∞）
20.定义在R上的可导函数f（x），且f（x）图象连续不断，f′（x）是f（x）的导数，
当x≠0时，f′（x）+＞0，则函数g（x）=f（x）+的零点的个数（）A．0 B．1 C．2 D．0或2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
21．若等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，则数列为等差数列，公差为．类似地，若各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q，前n项的积为T n，则数列为等比数列，公比为．
22．若不等式|x+1|+|x﹣3|≥a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是．23．由曲线y=，直线y=x﹣4以及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为．
24．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是．
三、解答题：本大题共2小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（1）（5分）△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B＜；（提示：可以利用反证法证明）
（2）（5分）设x＞0，y＞0，求证：（x2+y2）＞（x3+y3）．
（3）（5分）已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1．求证：．
26．（15分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣x．
（1）求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若存在，使a﹣e x+1+x＜0成立，求a的取值范围；
（3）当x≥0时，f（x）≥tx2恒成立，求t的取值范围．
答案
1--5 CBABC 6--10 CBCDC 11-15 BDABB 16--20 DACDA
21.q 22.（﹣∞，4] 23.24.（﹣∞，﹣2）
25.证明：（1）假设，故在△ABC中角B是最大角，从而b＞a，b＞c，
所以，于是.由题意得：．互相矛盾．故；
（2）∵x＞0，y＞0，∴要证明：（x2+y2）＞（x3+y3），
只需证明：（x2+y2）3＞（x3+y3）2．即证x2y2（3x2﹣2xy+3y2）＞0，
只需证明3x2﹣2xy+3y2＞0，∵3x2﹣2xy+3y2=2x2+2y2+（x﹣y）2＞0，∴不等式成立．
（3）a、b、c∈R+，且a+b+c=1，
可得﹣1=≥，当且仅当b=c时等号成立
同理：﹣1=≥，当且仅当a=c时等号成立，
﹣1=≥，当且仅当a=b时等号成立，
相乘可得，••≥••=8，当且仅当a=b=c时等号成立
则有．
26.解（1）∵函数f（x）=e x﹣1﹣x．
f′（x）=e x﹣1，f（1）=e﹣2，f′（1）=e﹣1．
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣e+2=（e﹣1）（x﹣1），
即y=（e﹣1）x﹣1．............................4分
（2）a＜e x﹣1﹣x，即a＜f（x）．令f′（x）=e x﹣1=0，x=0．
∵x＞0时，f′（x）＞0，x＜0时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（﹣∞，0）上减，在（0，+∞）上增．
又时，∴f（x）的最大值在区间端点处取到................6分
，
，
∴，∴f（x）在上最大值为，
故a的取值范围是，...........................8分
（3）由已知得x≥0时，e x﹣x﹣1﹣tx2≥0恒成立，
设g（x）=e x﹣x﹣1﹣tx2 则g′（x）=e x﹣1﹣2tx．
由（2）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立，
故g′（x）≥x﹣2tx=（1﹣2t）x，从而当1﹣2t≥0，
即时，g′（x）≥0（x≥0），
∴g（x）为增函数，又g（0）=0，
于是当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥tx2，
∴时符合题意．..............................................13分
由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0），从而当时，g′（x）＜e x﹣1+2t（e﹣x﹣1）
=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2t），
故当x∈（0，ln2t）时，g′（x）＜0，
∴g（x）为减函数，又g（0）=0，
于是当x∈（0，ln2t）时，g（x）＜0，即f（x）≤tx2，
故，不符合题意．综上可得t的取值范围为...............15分。