河北省衡水金卷高三数学12月第三次联合质量测评试卷文(含解析)

数学（文科）
一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中。

只有一项为哪一项符合题目要求的。

1. 已知复数z 知足，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】 D
【分析】
复数知足，∴，则复数在复平面内对应的点在第四象限，应选 D.
2. 已知全集，会合为
A. B. C. D.
【答案】 B
【分析】
【剖析】
化简会合A、 B，利用补集与交集运算即可获得结果【详解】因为.
，所以或
.
因此.应选 B.
【点睛】此题考察会合的交并补运算，考察不等式的解法，属于基础题
3. 若命题p为：为
.
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【分析】
【剖析】
依据全称命题的否认为特称命题即可获得结果.
【详解】依据的构成方法得，为. 应选 C.
【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否认为. 存在性命题的一般
形式是，，其否认为.
4. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有
以下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，
每人日支米三升”．其粗心为“官府陆续差遣1984 人前去修建堤坝，第一天派出64 人，从次日开始每日派出的人数比前一天多8 人，修建堤坝的每人每日赋发大米 3 升”，在该问题中的 1984 人所有差遣到位需要的天数为
A. 14
B. 16
C. 18
D. 20
【答案】 B
【分析】
【剖析】
利用等差数列的通项公式及前n 项和公式即可获得结果.
【详解】依据题意设每日派出的人数构成数列，剖析可得数列是首项. 公差为8 的等差数列，设1984 人所有差遣到位需要n 天，则. 解得 n=16.应选B.
【点睛】此题考察等差数列的通项公式、前n 项和公式的应用，考察推理能力与计算能力，
属于基础题 .
5. 若线段 AB的长为 3，在 AB上随意取一点C，则以 AC为直径的圆的面积不超出的概率
为
A. B. C. D.
【答案】 B
【分析】
【剖析】
设的长为，由以AC为直径的圆的面积不超出，可得x 的范围，依据长度比即可获得
结果 .
【详解】设的长为，因为以为直径的圆的面积不超出，
因此，解得。

依据几何概率的计算公式得，以AC为直径的圆的面积不超出的概率为，应选 D. 【点睛】此题主要考察几何概型的概率的计算，依据圆的面积关系求出圆半径的取值范围是
解决此题的重点．比较基础．
6. 已知定义在 R 上的函数知足： (1) (2) 当，则有
A. B.
C. D.
【答案】 B
【分析】
【剖析】
利用已知条件分别求出的值即可 .
【详解】由条件可知，
，
,
因此.应选 B
【点睛】此题考察函数值大小的比较，解题重点充足利用条件把自变量转变到区间上，属于基础题.
7. 某几何体的三视图以下图，此中点分别是几何体上下底面的一组对应极点，打点器从P 点开始到点结束绕侧面打一条轨迹线，则留下的所有轨迹中最
短轨迹长度为
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【分析】
【剖析】
由三视图可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱,将直三棱柱的侧面睁开, 把折线问题转变为直线问题即可.
【详解】由三视图可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱（如图一），，，，；，现将直三棱柱的侧面睁开（如图二），则轨迹线的最短长度即为，在展开图中易知
,应选 B.
【点睛】此题考察三视图与几何体的直观图的关系，
侧面睁开图的应用，考察计算能力．
8. 已知向量的夹角为，则的值为
A.0
B.
C.
D.
【答案】 C
【分析】
【剖析】
利用两种方式计算数目积，成立等量关系，从而解得的值 .
【详解】因为
，
因此，即为，
即，得（含去）或. 应选 C.
【点睛】此题考察两个向量的数目积的定义和坐标公式，待定系数法求出x 的值．
9. 已知双曲线的左，右焦点分别为过右焦点的直线在第一象限内与双曲线 E 的渐近线交于点P，与 y 轴正半轴交于点Q，且点 P为的中点，
的面积为4，则双曲线 E 的方程为
A. B. C. D.
【答案】 A
【分析】
【剖析】
由题意易知为等腰直角三角形，又点为的中点，故OP⊥，从而可得，结合面积即可获得双曲线E的方程 .
【详解】由题可知，双曲线的渐近线方程为，
因为直线的斜率为，因此（为坐标原点），
因此为等腰直角三角形，
因为点为的中点，因此，即双曲线为等轴双曲线，
因为的面积为，
因此，因此，
因此所求的双曲线方程为.应选 A
【点睛】此题考察了双曲线的简单几何性质，充足利用题目中间的平面几何性质推得渐近线
相互垂直是解题的重点 .
10. 在长方体与平面所成的角为，则的取值区间为
A. B. C. D.
【答案】 B
【分析】
【剖析】
设, 由题意可知平面，故为直线与平面所成的角，又，可得的取值区间 .
【详解】设.连结 .
在长方体中，因为，
因此平面，
因此为直线与平面所成的角，
因为，
因此的取值区间为.应选 B.
【点睛】求直线和平面所成角的重点是作出这个平面的垂线从而斜线和射影所成角即为所
求，有时当垂线较犯难找时也能够借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，从而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也能够成立空间直角坐标系，利用向量求解 .
11. 椭圆与抛物线订交于点 M， N，过点的直线与抛物线
E 相切于 M， N点，设椭圆的右极点为A，若四边形PMAN为平行四边形，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】 B
【分析】
【剖析】
设过点的直线方程为，由直线与抛物线相切，可得，又四边形为平行四边形，因此，从而获得 a=3，联合交点在椭圆上，获得 c 值，从而获得椭圆的离心率 .
【详解】设过点的直线方程为，
联立方程组，
因为直线与抛物线相切，因此，
因此切线方程分别为或.
此时，或，，即切点或.
又椭圆的右极点，因为四边形为平行四边形，因此，
即得. 又交点在椭圆上，
因此，
因此，
因此离心率为.应选 B.
【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：
（1）求得的值，直接代入公式求解；
（2）列出对于的齐次方程 ( 或不等式 ) ，而后依据，消去后转变成对于的方
程( 或不等式 ) 求解．
12. 已知函数对恒成立，且为函数
的一个零点，将函数的图象向右平移个单位得函数的图象，则方程
的解的个数为
A.4
B.5
C. 6
D. 7
【答案】 A
【分析】
【剖析】
由题意明确函数的表达式，经平移变换获得，作出函数的图象，数形联合即可获得交点的个数.
【详解】因为对恒成立，
因此，因此①.
又由为函数的一个零点，可知，
因此②.
由①一②并化简，得，因为，且.
因此当时，切合条件。

此时由切合条件，
因此.
将其向右平移个单位，得，
因此，
作出函数的图象，因为当时，，
因此在两图象无交点，又因为的周期为，而，
因此数形联合易知两图象有 4 个交点（如图），
因此方程的解的个数为4个.应选 A.
【点睛】函数零点的求解与判断
(1) 直接求零点：令，假如能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2) 零点存在性定理：利用定理不单要函数在区间上是连续不停的曲线，且，还一定联合函数的图象与性质( 如单一性、奇偶性) 才能确立函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横
坐标有几个不一样的值，就有几个不一样的零点．
二．埴空题：本大题其 4 小题，每题 5 分。

13. 若实数知足拘束条件的最小值为__________．
【答案】
【分析】
【剖析】
由拘束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形联合获得最优解，把最优解的坐
标代入目标函数得答案．
【详解】作出以下图的可行域，则直线经过点 A（-1，0）时获得最小值为-3.
故答案为：
【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（ 1）作出可行域（必定要注意
是实线仍是虚线）；（ 2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目
标函数，最初经过或最后经过的极点就是最优解）；（ 3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
14. 在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为，且有
___________．
【答案】
【分析】
【剖析】
利用两角和正弦公式及条件可得，联合正弦定理可得，从而获得结果.
【详解】由.
得
因此，即，
又由正弦定理可知，
因此，
从而，
又因为，因此。

【点睛】此题考察了正弦定理解三角形，两角和正弦公式及同角基本关系，考察计算能力，
属于基础题 .
15. 已知椭圆的右极点为A，上极点为B，点 C为 (2 ， 5) ，则过点A，B， C 的圆的标准方程为 ___________．
【答案】
【分析】
【剖析】
过三点的圆的方程可设为，利用待定系数法即可获得所求圆的方程.
【详解】椭圆的右极点为，上极点为，
因此过三点的圆的方程可设为.
因此
因此圆的方程为.
标准方程为
【点睛】此题考察圆的一般方程的求法，考察了待定系数法，考察了计算能力，属于基础题 .
16. 定义在 R 上的函数知足，又当时，成立，若
，则实数 t 的取值范围为_________．
【答案】
【分析】
【剖析】
由建立新函数，借助其单一性解抽象不等式即可.
【详解】由，令，则
，因此为奇函数 . 因为当
时，成立，因此当时，成立，因此在上单一递加，因此在 R上单一递加.因为，
即为，
因此，因此，因此.
故答案为：
【点睛】此题考察了利用导数研究函数的性质，解题重点联合条件合理结构新函数，借助新函数的单一性解抽象不等式，属于难题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21 题为必考题，每个试
题考生都一定作答。

第22、23 题为选考题，考生依据要求作答。

17. 已知正项等比数列知足．
(1) 求数列的通项公式；
(2) 若，已知数列的前n 项和为，试证明：恒成立．
【答案】（ 1）；（2）看法析
【分析】
【剖析】
(1)设等比数列的首项为，公比为，由题意建立基本量的方程即可获得数列
的通项公式；（ 2），利用裂项相消法乞降即可.
【详解】（ 1）设等比数列的首项为，公比为，
由
得，
解得，
因此数列是以为首项.为公比的等比数列，其通项公式为
（2）由（ 1）知，，因此，
因此
因此.
，
，
【点睛】裂项相消法是最难掌握的乞降方法之一，其原由是有时很难找到裂项的方向，这一难点的方法是依据式子的结构特色，常有的裂项技巧：
(1)；（ 2）；（3）
打破；（ 4）
；别的，需注意裂项以后相消的过程中简单出现丢项或多项
的问题，致使计算结果错误.
18.跟着经济的发展，个人收入的提升．自2018 年 10 月 1 日起，个人所得税起征点和税率
的调整．调整以下：纳税人的薪资、薪金所得，以每个月所有收入额减除5000 元后的余额为应纳税所得额．依据个人所得税税率表，调整前后的计算方法以下表：
(1) 若是小李某月的薪资、薪金等所得税前收入总和不高于8000 元，记表示总收入，y表
示应纳的税，试写出调整前后y 对于的函数表达式；
(2) 某税务部门在小李所在企业利用分层抽样方法抽取某月100 个不一样层次职工的税前收入，并制成下边的频数散布表：
先从收入在 [3000 ，5000) 及[5000 ，7000) 的人群中按分层抽样抽取7 人，再从中选 4 人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不所有是同一收入人群的概率；
(3)小李该月的薪资、薪金等税前收入为 7500 元时，请你帮小李算一下调整后小李的实质收入
比调整前增添了多少？
【答案】（ 1）看法析；（ 2）；（3）看法析
【分析】
【剖析】
（1）依据个人所得税税率表，调整前后的计算方法获得调整前后y 对于的函数表达式；（2）利用分层抽样明确各层所占人数，利用古典概型公式计算即可；
（3）按调整前起征点应纳个税为295 元，调整后起征点应纳个税为75 元，从而作出判断. 【详解】（ 1）调整前y 对于 x 的表达式为
.
调整后 y 对于 x 的表达式为
，
（2）由频数散布表可知从[3000 ， 5000）及 [5000 ， 7000）的人群中按分层抽样抽取7 人，此中 [3000 ， 5000）中占 3 人，分别记为A，B，C，[5000 ，7000）中占 4 人，分别记为1，2，
3， 4，再从这 7 人中选 2 人的所有组合有：AB， AC， A1， A2， A3，A4， BC， B1，B2，B3， B4，C1，C2， C3， C4，12，13，14，23，24，34，共21种状况，
此中不在同一收入人群的有：A l， A2， A3，A4， B1， B2，B3， B4， C1，C2， C3， C4，共12种，所以所求概率为.
（3）因为小李的薪资、薪金等收入为7500 元，
按调整前起征点应纳个税为1500×3%+2500×10%=295 元；
按调整后起征点应纳个税为2500×3%=75 元，
比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220 元，
即个人的实质收入增添了220 元，因此小李的实质收入增添了220 元。

【点睛】 (1) 古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，必定要注意在计算基本领件总数
和事件包含的基本领件个数时，他们是不是等可能的．(2) 用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时一定依据某一次序做到不重复、不遗漏．(3) 注意一次性抽取与逐次抽取的差别：一次性抽取是无次序的问题，逐次抽取是有次序的问题.
19. 以下图，在直三棱柱，此中 P 为棱上的任意一点，设平面PAB与平面的交线为 QR．
(1)求证： AB∥QR；
(2) 若 P 为棱上的中点，求几何体的体积．
【答案】（ 1）看法析；（ 2）
【分析】
【剖析】
(1) 由可得AB//平面，利用线面平行性质定理可得结果；(2) 由题意先明确
平面，利用割补法求体积: 几何体QR-ABC的体积为.
【详解】（ 1）在直三棱柱
中，
因为
，
平面. 平面
，
因此 AB // 平面 .
因为平面
与平面 的交线为
，且 平面
，
PAB
QR PAB
因此 AB ∥ QR .
（2）在侧面
中，因为
=2， ， P 为棱 上的中点，
BC
因此
，
因此
=∠ PBC ，因此
，
即.
在直三棱柱 中， 平面 ABC ，
因此
.
因为 AB =BC =2， AC = ，
因此
，因此 ，
又
，因此 平面
，
因此
平面
.
因为 BC =2，
.
因此
又
，
因此
，
因为
，因此 。

因此
.
因此几何体
的体积为
QR-ABC
，法二：在侧面中，因为
则
因此有，
因此，
则 QR， RP， RC三线相互垂直.
BC=2，
.
为棱上的中点，
又.
在△ BPC中，由射影定理，可得
在△ ABP中，由三角形相像，可得
则.
又.
则
【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：
（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；
（2）切割法：对于不规则的几何体，能够将其切割成规则的几何体，再利用公式分别求解
以后进行相加乞降即可；
（3）补形法：相同对于不规则的几何体，还能够将其补形成规则图形，求出规则几何体的
体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应当是规则的，不
是规则的，此方法不建议使用 .
若
（4）等体积法：一个几何体不论如何变化，其体积是不会发生变化的 . 假如碰到一个几何体
的底面面积和高较难求解时，常常采纳此种方法进行解题.
20. 已知定点F(1 ， 0) ，定直线，动点M到点F的距离与到直线l 的距离相等．
(1)求动点 M的轨迹方程；
(2) 设点，过点 F 作一条斜率大于0 的直线交轨迹M于 A， B 两点，分别连结PA，PB，若直线 PA与直线 PB不对于x轴对称，务实数t 的取值范围．
【答案】（ 1）；（ 2）
【分析】
【剖析】
(1) 利用抛物线定义可知：动点的轨迹为抛物线，从而获得动点M的轨迹方程；
（2）过点的直线方程可设为代入可得，利用韦达定理表示，即可获得结果 .
【详解】（ 1）由题可知，动点的轨迹为抛物线，其焦点在轴上，且.
因此动点的轨迹方程为.
（2）过点的直线方程可设为，
联立方程组.
设，
因此
因此
而
，
，
，2
，
当时，，此时直线对于轴对称，
当时，，此时直线不对于轴对称。

因此实数 t 的取值范围为.
【点睛】在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能表现一种明确的函数关系，则可首先成立目标函数，再求这个函数的最值. 在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方
面考虑：①利用鉴别式来结构不等关系，从而确立参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这种问题的重点是两个参数之间成立等量关系；③利用隐含或已知的不
等关系成立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确立参数的取值范围.
21. 已知函数．
(1) 求曲线在点处的切线方程；
(2) 证明：函数在区间内有且只有一个零点．
【答案】（ 1）；（ 2）看法析
【分析】
【剖析】
(1) 求出获得，从而获得切线方程； (2) 在区间内必存在，
在上单一递减，在上单一递加，联合零点存在定理即可获得结果.
【详解】（ 1）当时.
由，
得.
因此斜率，
因此切线方程为.
（2）由题可知，函数的定义域为，
由（ 1）知，
.
记，
因此，
易知时，，
因此在区间上单一递加，
因此.
又因为，
因此在区间内必存在 . 使，
因此当时，，即，
因此单一递减；
当时，，即，
因此单一递加，
因此当时，有极小值且为.
因为，
因此
而，
因此在区间内必存在独一零点，
因此函数在区间内有且只有一个零点.
【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①联合零点存在性定理，利用函数
的单一性、对称性确立函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零
点个数．
（2）此题将方程实根个数的问题转变为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的
应用，以便将复杂的问题转变为简单的问题办理。

22. 在直角坐标系中，直线l 的参数方程为(t为参数，) ，以坐标原
点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为.
(1)当时，写出直线l的一般方程及曲线C的直角坐标方程；
(2) 已知点，设直线l 与曲线C交于A，B两点，试确立的取值范围．
【答案】（ 1），；（2）
【分析】
【剖析】
(1)当时，利用消参法获得直线l 的一般方程，利用及获得曲线 C 的直角坐标方程；(2)将代入中并整理得
，借助韦达定理表示，利用正弦函数的有界性求
出取值范围 .
【详解】（ 1）当时，直线的参数方程为
.
消去参数 t 得.
由曲线 C的极坐标方程为.
得，
将，及代入得，
即
（2）由直线的参数方程为（为参数，）可知直线是过点P（-1，1）且倾斜角为的直线，又由（1）知曲线C为椭圆，因此易知点P（-1，1）在椭圆 C 内，
将代入中并整理得
，
设 A， B 两点对应的参数分别为，
则
因此
因为，因此，
因此
因此的取值范围为.
【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题
经过点P( x0，y0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为( t 为参数 ) ．若A，B
为直线 l 上两点，其对应的参数分别为则以下结论在解题中常常用到：(1)
．，线段
；(2)
AB的中点
为
M，点 M所对应的参数为，
；(3)；(4)
23. 设函数．
(1) 当时，求不等式的解集；
(2) 当的取值范围．
【答案】（ 1）；（ 2）
【分析】
【剖析】
(1)求出函数 f （ x）的分段函数的形式，经过议论x 的范围求出各个区间上的x 的范围，取并集即可；
的最值即可 .
(2) 等价于，求出【详解】（ 1）当a=1时，，
可得（2）当的解集为
时，
,
因为，
因此.
因此，因此.
因此 a 的取值范围是[-3，-1]
【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间议论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类议论思想，法二是运用数形联合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、浸透，解题时加强函数、数形联合与转变化归思想方法的灵
活应用 .。