华师大版九年级下册数学单元试卷第27章圆

华师大版九年级下册数学单元试卷
第27章圆
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)下列说法正确的是（ ）
A ．相等的圆心角所对的弧相等
B ．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C ．相等的弦所对的圆心角相等
D ．等弧所对的弦相等 2．(本题3分)如图，已知
O 的半径为3，弦AB ⊥直径CD ，30A ∠=︒，则BD 的
长为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．6π
3．(本题3分)在内接四边形ABCD 中，:::A B C D ∠∠∠∠只可能是下列四个选项中的（ ） A ．1:2:3:4 B ．4:3:2:1 C ．4:1:3:2 D ．4:3:1:2 4．(本题3分)如图，O 的内接正六边形ABCDEF 的边长为1，则BC 的长为（ ）
A ．14π
B ．13π
C ．23
π D ．π 5．(本题3分)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径1cm r =，扇形的圆心角120θ，则该圆锥的母线长l 为（ ）cm ．
A ．1
B ．12
C ．3
D ．6
6．(本题3分)如图，正方形ABCD 中，分别以B D 、为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形(阴影部分)图案，则树叶形图案的面积为（ ）
A ．222a a π-
B ．222a a π
+ C ．222a a π
- D ．22a a π-
7．(本题3分)如图，AB 是
O 的直径，CD 是弦，若32CDB ∠=︒，则ABC ∠等于
（ ） A ．68° B ．64° C ．58° D ．32°
8．(本题3分)如图，在Rt ABC △中，90︒∠=C ，3BC =，5AB =，
⊙O 是Rt ABC △的内切圆，则⊙O 的半径为（ ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．23
9．(本题3分)如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的
O 的圆心O 在格
点上，则AED ∠的正切值为 （ ） A ．12 B ．3 C ．1 D ．22
10．(本题3分)如图，O 中，AB 是O 的直径，8cm AB =，AC CD BD ==，M 是AB 上一动点，CM DM +的最小值是（ ）
A ．6cm
B ．8cm
C ．10cm
D ．12cm
二、填空题(共32分)
11．(本题4分)半径为5的圆内有长为_______ 12．(本题4分)如图，O 的弦AB 、半径OC 延长交于D 点，BD OA =，若105AOC ∠=︒，则D ∠=_________ ．
13．(本题4分)O 的直径为10cm ，弦//AB CD ，8AB cm =，6CD cm =，则AB 和CD 的距离是____ cm ．
14．(本题4分)如图，ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，若腰AB 与O 相切，则AC 与O 的位置关系为__________．（填“相交”、“相切”或“相离”）
15．(本题4分)如图，把三角板中30︒角的顶点A 放在半径为3的⊙O 上移动，三角板的长直角边和斜边与⊙O 始终相交，且交点分别为P ，Q ，则PQ 长为________．
16．(本题4分)如图，PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，若2OA =，60APB ∠=︒，则PB =__________．
17．(本题4分)如图，AB 是O 的弦，OH AB ⊥于点H ，点P 是AB 所对的优弧上一点，若60APB ∠=︒，1OH =，则AB =__________． 18．(本题4分)如图，点P 是正方形ABCD 外接圆的劣弧AD 上的一点，则代数式PA PC PB +的值是_______．
三、解答题(共58分)
19．(本题9分)如图，O 的半径为2，AB 是
O 的弦，点O 到弦AB ． （1）求弦AB 的长；
（2）若点C 在O 上（点C 不与A ，B 重合），求ACB ∠的度数．
20．(本题9分)如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，P 是⊙O 外一点，AC PD ⊥于点E ，AD 平分BAC ∠．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）若2DE =，60BAC ︒∠=，求⊙O 的半径．
21．(本题9分)如图，已知，A ，B 是O 上的点，P 为O 外一点，连结PA ，PB ，分别交O 于点C ，D ，AC BD =．
（1）求证：PA PB =；
（2）若60P ∠=︒，3CD AC =，AOC △的面积等于9，求图中阴影部分的面积．
22．(本题9分)如图，AB 是O 的直径，4AB =，P 是AB 延长线上一点，且1BP =，过点P 作一直线，分别交O 于C ，D 两点，已知30P ∠=︒．
（1）求CD 与PC 的长； （2）连结BC ，AD ，求圆内接四边形ABCD 的面积．
23．(本题10分)如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 在BC 边上，以CD 为直径的O 与直线AB 相切于点E ，且E 是AB 中点，连接OA ．
（1）求证：OA OB =；
（2）连接AD ，若AD =
O 的半径．
24．(本题12分)如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以O 为圆心，OC 的长为半径的O 与AC ，CD 分别交于点E ，F ，且DAF BAC ∠=∠．
（1）求证：直线AF 与⊙O 相切；
（2）若tan DAF ∠=4AB =，求⊙O 的半径．
参考答案
1．A ，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故本选项错误.
B ，平分(非直径的)弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧；故本选项错误；
C ，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；故本选项错误；
D ，等弧所对的弦相等；故本选项正确；故选:D
2．如图，连接OB ，∵CD ⊥AB ，CD 是直径，∴AC BC =，∴AOC BOC ∠=∠， ∵OA OB =，∴30A B ==︒∠∠，∴1803030120AOB =︒-︒-︒=︒∠， ∴1
602COB AOB ==︒∠∠，∴18060120DOB =︒-︒=︒∠,∴12032180πBD π⨯⨯==︒
， 故选：B ．
3．解：四边形ABCD 是圆内接四边形，180180A C B D ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，, ∴180A C B D ∠+∠=∠+∠=︒根据A C B D ∠+∠=∠+∠依次检验各选项，只有D 选项满足条件，故选D ．
4．如图，连接OB 、OC ，由题意得：1BC =，
正六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，∴中心角360606BOC ︒∠==︒， 又OB OC =，BOC ∴是等边三角形，1OB OC BC ∴===，
则BC 的长为
60111803
ππ⨯=，故选：B ． 5．解：根据题意得12021180l ππ，解得，=3l ，即该圆锥母线l 的长为3cm ．故选：C ． 6．解：由题意可得出：S 阴影=2S 扇形-S 正方形=222902(1)3602
a a a ππ⨯⨯-=-．故选：A ． 8.解：如图，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，
4AC ∴==，
设ABC ∆三边内切O 于点D 、E 、F ，连接OD 、OE 、OF ，
OD AB ∴⊥，OE AC ⊥，OF BC ⊥，且=OD OE OF r ==，
连接OA 、OB 、OC ，ABC AOB AOC BOC S S S S ∆∆∆∆∴=++， 即11112222
AC BC AB OD AC OE BC OF =++，34543r r r ∴⨯=++， 解得1r =．ABC ∴的内切圆O 的半径r 为1．故选：A ．
9．解：∵∠AED ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan ∠ABD ＝AC AB ＝12
．故选：A ． 10．解：如图，作点C 关于AB 的对称点C′，连接C′D 与AB 相交于点M ，
此时，点M 为CM+DM 的最小值时的位置，由垂径定理，AC AC '=，
∴BD AC '=，∵AC CD BD ==，AB 为直径，∴C′D 为直径．则CD′=AB=8（cm ）． 故选：B ． 11．解：如图所示，∵OD ⊥AB ，∴D 为AB 的中点，即AD=BD=532
，
在Rt △AOD 中，OA=5，∴sin ∠AOD=252
=，又∵∠AOD 为锐角， ∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=12
∠AOB=60°， 又∵圆内接四边形AEBC 对角互补，∴∠AEB=120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．故答案为60°或120°
12．连接OB ，∵BD ＝OA ，OA ＝OB ∴△AOB 和△BOD 为等腰三角形， 设∠D ＝x°，则∠OBA ＝2x°，∵OB ＝OA ，∴∠A ＝2x°，
在△AOB 中，2x ＋2x ＋（105−x ）＝180，解得：x ＝25，即∠D ＝25°．故答案是：25︒．
13．解：作OF⊥AB于F，延长FO交CD于E，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，∴OF⊥AB
∴AF＝1
2
AB＝4cm，CE＝
1
2
CD＝3cm，
在Rt△OAF中，OF3
==cm，
在Rt△OCE中，OE4
==cm．
当弦AB和CD在圆心O同侧时，如图1所示，EF＝OE－OF＝1cm，
当弦AB和CD在圆心O两侧时，如图2所示，EF＝OE＋OF＝7cm，
故这两条平行弦之间的距离是1或7．
14．解：连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，
∵O是等腰△ABC的底边BC的中点，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE=OF，∵腰AB与⊙O相切，∴OE为⊙O的半径，∴OF为⊙O的半径，而OF⊥AC，∴AC与⊙O相切．故答案为：相切．15．如图，连结OP、OQ，则∠POQ＝2∠A＝60°．∵⊙O的半径为3，
∴PQ长为＝603
180
π
π
⋅⨯
=．故答案为π．
16．∵PA、PB是⊙O的两条切线，∴∠OPB＝1
2
∠APB＝30°，
∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°，∴OP＝2OB=2OA＝4，
在Rt△OPB中，依据勾股定理得：PB
故答案为：
17．连接OA ，OB ，∵60APB ∠=︒，∴120AOB ∠=︒，
∵AB 是O 的弦，OH AB ⊥于点H ，∴60AOH ∠=︒，2AB AH =，
在Rt △AOH 中，∵1OH =，
∴60=1AH OH tan =⋅︒
∴2=2AB AH =
．故填
18．解：延长P A 到E ，使AE ＝PC ，连接BE ，∵∠BAE +∠BAP ＝180°，∠BAP +∠PCB ＝180°，∴∠BAE ＝∠PCB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，
在△ABE 和△CBP 中，AB BC BAE PCB AE CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△ABE ≌△CBP （SAS ），
∴∠ABE ＝∠CBP ，BE ＝BP ，∴∠ABE +∠ABP ＝∠ABP +∠CBP ＝90°，
∴△BEP 是等腰直角三角形，∴
PB ，∵AE=CP ，∴P A +PC ＝PE
PB ．
即：2PA PC PB +=，故答案为：2．．
19.解：（1）作⊥OD AB 于点D ，连结OA ．由垂径定理得AD=BD=
1AB 2， 在Rt OAD 中，∵2OA =，OD =
∴由勾股定理可得AD =，
又∵2AB AD =，∴AB = （2）连结OB ，∵OA=OB=2，AB =△AOB 中，由OA 2+OB 2=22+22=8=AB 2， ∴△AOB 为直角三角形，∴90AOB ∠=︒，∴当点C 在优弧AB 上时，
1452
ACB AOB ∠=∠=︒．当点C 在劣弧AB 上时，90AOB ∠=︒，∴ACB 的度数为90°， ()1360901352ACB ∠=︒-︒=︒．
20．（1）证明：连接OD ，
∵AD 平分BAC ∠，∴BAD DAE ∠=∠，∵OA OD =，
∴ODA OAD ∠=∠ ∴ODA DAE ∠=∠，∴//OD AE ，∵AC PD ⊥，
∴OD PE ⊥，∵OD 是O 的半径，∴PD 是O 的切线；
（2）解：连接BD ，∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒∴30BAD DAE ︒∠=∠= ∵AC PE ⊥，2DE =∴24AD DE ==，∵AB 为⊙O 的直径，∴90ADB ︒∠= ∴2AB BD =，设BD x =，则2AB x =，∵222BD AD AB +=∴2224(2)x x +=
∴x =∴BD =， AB =∴AO =，即O 21．解：（1）连接AB ，如图，AC BD =，AC CD BD CD ∴+=+， AD BC ∴=，A B ∴∠=∠，PA PB ∴=．
（2）60P ∠=︒，由（1）知PAB △为等边三角形，60A ∴∠=︒，3CD AC =
30AC ∴=︒，连OA ，OC ，A 作AE OC ⊥于E ，则∠AOC=30°，12
AE OA ∴=， 设O 的半径为r ，AOC △的面积等于9，2194
r ∴=，6r ∴=， 39OAC OAC S S S π∴=-=-阴影扇形
22．解：（1）过点O 作OH CD ⊥于点H ，连接OD ，OC ， ∴1,902
CH DH CD OHC ==∠=︒∵4,1AB BP == ∴122
OA OB OC OD AB ====
=∴3OP OB BP =+=在Rt OHP ∆中，∠30P ︒=
∴1322OH OP ==，∴PH ==
在Rt OHC ∆中，2
CH ===∴2CD CH ==
∴2
PC PH CH =-= （2）过B 作BG PD ⊥于G ，过D 作DK AP ⊥ 于K ，连接AD ，BC ，
∴∠90,90PGB PKD ︒︒=∠=在Rt PGB ∆中，∠30P ︒=
∴1122BG BP ==∴12PBC S PC BG ∆=⋅11222=⨯⨯8
=
由（1）中PC CD ==PD PC CD =+=
在Rt PDK ∆中，∠30P ︒=∴12DK PD =
=415AP AB BP =+=+=
∴12PAD S AP DK ∆=⋅152=⨯⨯=∴PAD PBC ABCD S S S ∆∆=-四边形
88=-8=4
=． 23．（1）证明：连接OE ，如图，
∵以CD 为直径的⊙O 与直线AB 相切于点E ，
∴OE ⊥AB ， ∵E 是AB 中点， ∴OE 垂直平分AB ， ∴OA=OB ；
（2）解：如图，设⊙O 的半径为r ，则2,CD r =
∵AB 是⊙O 的切线，OC ⊥AC ，OE=OC ， ∴AO 平分∠BAC ， ∴∠OAC=∠OAB ， ∵OA=OB ， ∴∠B=∠OAB ， ∴∠OAC=∠B=∠OAB=30°，
在Rt △OAC 中，由tan tan 30,OC OAC AC
∠=︒=
AC ∴==， 在Rt △ACD 中，由222AD CD AC =+，
)()222
2,r ∴+=21,r ∴= 解得1r =或1r =-（负根舍去）
∴ ⊙O 的半径为1．
24．（1）证明：连接OF ．OC OF =，OCF OFC ∴∠=∠．四边形ABCD 是矩形，
90B D DCB ∴∠=∠=∠=︒．又DAF BAC ∠=∠，AFD ACB ∴∠=∠．
90ACB ACD ∠+∠=︒，90AFD OFC ∴∠+∠=︒．90AFO ∴∠=︒．
OF AF ∴⊥于F ．∴直线AF 与O 相切．
（2）解：tan 2DAF ∠=，DAF BAC ∠=∠，tan 2
BAC ∴∠=．
90B ∠=︒
，tan 2BC BAC AB ∴∠==4AB =，BC ∴=
AC ∴==四边形ABCD 是矩形，BC AD ∴==
又90D ∠=︒，tan DAF ∠=tan 2DF AD DAF ∴=⋅∠==．
AF ∴=．设O 的半径为r ，在Rt AFO △中，90AFO ∠=︒．
222OA OF AF ∴=+．即22)12r r =+．解得r =．
O ∴的半径为2。