2020年高三一轮复习讲座三数列

2020年高三一轮复习讲座三数列
主讲教师：王思俭 〔苏州中学〕
二、复习要求
1、等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式及性质；
2、一样数列的通项及前n 项和运算。

三、学习指导
1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法那么确实是函数的对应法那么，因此数列能够看作是一个专门的函数，其专门性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。

研究数列，第一研究对应法那么——通项公式：a n =f(n)，n ∈N +，要能合理地由数列前n 项写出通项
公式，其次研究前n 项和公式S n ：S n =a 1+a 2+…a n ，由S n 定义，得到数列中的重要公式：⎩⎨⎧≥-==-2n S S 1n S a 1n n
1n 。

一样数列的a n 及S n ,，除化归为等差数列及等比数列外，求S n 还有以下基此题型：列项相消法，错位相消法。

2、等差数列
〔1〕定义，{a n }为等差数列⇔a n+1-a n =d 〔常数〕，n ∈N +⇔2a n =a n-1+a n+1〔n ≥2，n ∈N +〕； 〔2〕通项公式：a n =a n +(n-1)d ，a n =a m +(n-m)d ；
前n 项和公式：2
)a a (n d 2)1n (n na S n 11n +=-+=； 〔3〕性质：a n =an+b ，即a n 是n 的一次型函数，系数a 为等差数列的公差；
S n =an 2+bn ，即S n 是n 的不含常数项的二次函数；
假设{a n }，{b n }均为等差数列，那么{a n ±n n },{∑=k 1i k a
},{ka n +c}〔k ，c 为常数〕均为等差数列；
当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q ，特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…；当2n=p+q 时，2a n =a p +a q ； 当n 为奇数时，S 2n-1=(2n-1)a n ；S 奇=
21n +a 中，S 偶=21n -a 中。

3、等比数列
（1）定义：n
1n a a +=q 〔q 为常数，a n ≠0〕；a n 2=a n-1a n+1〔n ≥2，n ∈N +〕； （2）通项公式：a n =a 1q n-1，a n =a m q n-m ;
前n 项和公式：⎪⎩
⎪⎨⎧≠--=--==1q q 1q a a q 1)q 1(a 1q na S n 1n 11n ； （3）性质
当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2=a p a q ，数列{ka n }，{∑=k 1i i a
}成
等比数列。

4、等差、等比数列的应用
〔1〕差不多量的思想：常设首项、公差及首项，公比为差不多量，借助于消元思想及解方程组思想等； 〔2〕灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化运算；
〔3〕假设{a n }为等差数列，那么{n a a }为等比数列〔a>0且a ≠1〕；
假设{a n }为正数等比数列，那么{log a a n }为等差数列〔a>0且a ≠1〕。

三、典型例题
例1、数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中1k a ，2k a ，…，n k a 恰为等比数列，假设k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1+k 2+…+k n 。

解题思路分析：
从查找新、旧数列的关系着手
设{a n }首项为a 1，公差为d
∵ a 1，a 5，a 17成等比数列
∴ a 52=a 1a 17
∴〔a 1+4d 〕2=a 1(a 1+16d)
∴ a 1=2d
设等比数列公比为q ，那么3a d 4a a a q 1n 15=+==
对n k a 项来讲， 在等差数列中：1n n 1k a 2
1k d )1k (a a n +=-+= 在等比数列中：1n 11n 1k 3a q a a n --==
∴ 132k 1n n -⋅=-
∴ n )331(2)132()132()132(k k k 1n 1n 10n 21-+++=-⋅++-⋅+-⋅=++--
1n 3n --=
注：此题把k 1+k 2+…+k n 看成是数列{k n }的求和咨询题，着重分析{k n }的通项公式。

这是解决数列咨询题的一样方法，称为〝通项分析法〞。

例2、设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，S 7=7，S 15=75,T n 为数列{
n
S n }的前n 项和，求T n 。

解题思路分析：
法一：利用差不多元素分析法
设{a n }首项为a 1，公差为d ，那么⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⨯+==⨯+=75d 21415a 15S 7d 267a 7S 11517 ∴ ⎩⎨⎧=-=1d 2a 1
∴ 2)1n (n 2S n -+
-= ∴ 2
52n 21n 2n S n -=-+-= 此式为n 的一次函数
∴ {n
S n }为等差数列 ∴ n 4
a n 41T 2n -= 法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2+Bn
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯==+⨯=75
B 1515A S 7B 77A S 21527 解之得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==25B 21A ∴ n 2
5n 21S 2n -=，下略 注：法二利用了等差数列前n 项和的性质
例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且1a S 2n n +=，求：
（1）数列{a n }的通项公式；
（2）设1n n n a a 1b +=，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：B n 2
1<. 解题思路分析：
（I ）涉及到a n 及S n 的递推关系，一样都用a n =S n -S n-1〔n ≥2〕消元化归。

∵ 1a S 2n n +=
∴ 4S n =(a n +1)2
∴ 4S n-1=(a n-1+1)2〔n ≥2〕
∴ 4(S n -S n-1)=(a n +1)2-(a n-1+1)2
∴ 4a n =a n 2-a n-12+2a n -2a n-1
整理得：(a n-1+a n )(a n -a n-1-2)=0
∵ a n >0
∴ a n -a n-1=2
∴ {a n }为公差为2的等差数列 在1a S 2n n +=中，令n=1，a 1=1
∴ a n =2n-1
〔II 〕)1n 211n 21(21)1n 2)(1n 2(1b n +--=+-=
∴ 2
1a 2121)a 1a 1(21)]a 1a 1()a 1a 1()a 1a 1[(21B 1n 1n 11n n 3221n <-=-=-++-+-=+++ 注：递推是学好数列的重要思想，例此题由4S n =(a n +1)2推出4S n-1=(a n-1+1)2
，它事实上确实是函数中的变量代换法。

在数列中一样用n-1，n+1等去代替n ，实际上也确实是讲条件中的递推关系是关于n 的恒等式，代换确实是对n 赋值。

例4、等差数列{a n }中，前m 项的和为77〔m 为奇数〕，其中偶数项的和为33，且a 1-a m =18，求那个数列的通项公式。

分析：
利用前奇数项和和与中项的关系
令m=2n-1，n ∈N +
那么 ⎩⎨⎧=-==-=-33a )1n (S 77a )1n 2(S n n 1n 2偶 ∴ 33
771n 1n 2=-- ∴ n=4
∴ m=7
∴ a n =11
∴ a 1+a m =2a n =22
又a 1-a m =18
∴ a 1=20，a m =2
∴ d=-3
∴ a n =-3n+23
例5、设{a n }是等差数列，n a n )21(b =，b 1+b 2+b 3=821，b 1b 2b 3=8
1，求等差数列的通项a n 。

解题思路分析：
∵ {a n }为等差数列
∴ {b n }为等比数列
从求解{b n }着手
∵ b 1b 3=b 22
∴ b 23=81 ∴ b 2=2
1 ∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==+41
b b 817b b 2131 ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==81b 2b 31 或 ⎪⎩
⎪⎨⎧==2b 81b 21
∴ n 231n n 2)41(2b --== 或 5n 21n n 248
1b --=⋅= ∵ n a n )2
1(b = ∴ n 2
1n b log a =
∴ a n =2n-3 或 a n =-2n+5
注：此题化归为{b n }求解，比较简单。

假设用{a n }求解，那么运算量较大。

例6、{a n }是首项为2，公比为2
1的等比数列，S n 为它的前n 项和， （1）用S n 表示S n+1；
（2）是否存在自然数c 和k ，使得2c
S c
S k 1k >--+成立。

解题思路分析：
〔1〕∵ )21
1(4S n n -=
∴ 2S 21)21
1(4S n 1n 1n +=-=++
〔
2〕0S c )
2S
23(c 2c S c S k
k k 1k <---⇔>--+〔*〕
∵ 4)21
1(4S k k <-=
∴ 0S 21
2)2S 23
(S k k k >-=--
∴ 式〔*〕k k S c 2S 23
<<-⇔ ①
∵ S k+1>S k
∴ 12S 23
2S 231k =-≥-
又S k <4
∴ 由①得：c=2或c=3
当c=2时
∵ S 1=2
∴ k=1时，c<S k 不成立，从而式①不成立
∵ c 25
2S 23
2>=-
∴ 由S k <S k+1得：2S 23
2S 23
1k k -<-+
∴ 当k ≥2时，c 2S 23
k >-，从而式①不成立
当c=3时，S 12，S 2=3
∴ 当k=1，2时，C<S k 不成立
∴ 式①不成立
∵ 2S 2
32S 23,c 4132S 231k k k -<->=-+ ∴ 当k ≥3时，c 2S 2
3k >-，从而式①不成立 综上所述，不存在自然数c ，k ，使2c
S c S k 1k >--+成立 例7、某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为资金发给n 位职工，资金分配方案如下：第一将职工按工作业绩〔工作业绩均不相等〕从大到小，由1到n 排序，第1位职工得资金n
b 元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将资金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司进展基金。

〔1〕设a k 〔1≤k ≤n 〕为第k 位职工所得资金额，试求a 2，a 3，并用k ，n 和b 表示a k 〔不必证明〕； 〔2〕证明：a k <a k+1〔k=1，2，…，n-1〕，并讲明此不等式关于分配原那么的实际意义。

解题思路分析：
谈明白题意，理清关系，建立模型
第1位职工的奖金n b a 1=
第2位职工的奖金b )n 11(n 1a 2-=
第3位职工的奖金b )n 11(n 1a 23-=
……
第k 位职工的奖金b )n 11(n 1a 1k k --=
〔2〕0b )n 11(n 1
a a 1k 21k k >-=--+ 此奖金分配方案表达了〝按劳分配〞或〝不吃大锅饭〞等原那么。

例8、试咨询数列{4
sin 100lg 1
n π-}的前多少项的和最大，并求那个最大值〔lg2=0.3010〕 解题思路分析： 法一：)1n )(2lg (2a n --+=
∴ {a n }为首项为2，公差为2lg -的等差数列
∴ 07525.08.13)8.13n (07525.0n 50752.2n 07525.0)2lg (2
)1n (n n 2S 222n ⨯+--=+-=--+= ∵ n ∈N +
∴ n=14时，(S n )max =14.35
法二：∵ a 1=2>0，d=02lg <-
∴ {a n }是递减数列，且S n 必为最大值
设⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1
k k ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥--+0
)2lg (k 20)2lg )(1k (2 ∴ ⎩
⎨⎧≥≤2.13k 2.14k ∴ k=14
∴ (S n )max =S 14=14.35
同步练习
（一）选择题
1、a ，b ，a+b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且0<log m ab<1，那么m 取值范畴是
A 、m>1
B 、1<m<8
C 、m>8
D 、0<m<1或m>8
2、设a>0，b>0，a ，x 1，x 2，b 成等差数列，a ，y 1，y 2，b 成等比数列，那么x 1+x 2与y 1+y 2的大小关系是
A 、x 1+x 2≤y 1+y 2
B 、x 1+x 2≥y 1+y 2
C 、x 1+x 2<y 1+y 2
D 、x 1+x 2>y 1+y 2
2、S n 是{a n }的前n 项和，S n =P n 〔P ∈R ，n ∈N +〕，那么数列{a n }
A 、 是等比数列
B 、当P ≠0时是等比数列
C 、 当P ≠0，P ≠1时是等比数列
D 、不是等比数列
3、{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5等于
A 、5
B 、10
C 、15
D 、20
4、a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y=ax 2+2bx+c 的图象与x 轴交点个数是
A 、 0
B 、1
C 、2
D 、1或2
5、设m ∈N +，log 2m 的整数部分用F(m)表示，那么F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是
A 、 8204
B 、8192
C 、9218
D 、8021
7、假设x 的方程x 2-x+a=0和x 2-x+b=0〔a ≠b 〕的四个根可组成首项为
4
1的等差数列，那么a+b 的值为 A 、 8
3 B 、2411 C 、2413 D 、7231 8、 在100以内所有能被3整除但不能被7整除的正整数和是
A 、1557
B 、1473
C 、1470
D 、1368
9、从材料工地运送电线杆到500m 以外的公路，沿公路一侧每隔50m 埋栽一根电线杆，每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最正确方案是使运输车运行
A 、 11700m
B 、14700m
C 、14500m
D 、14000m
10、等差数列{a n }中，|a 3|=|a 9|，公差d<0，那么使前n 项和S n 取最大值的正整数n 是
A 、4或5
B 、5或6
C 、6或7
D 、8或9
（二）填空题
11、数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n(n+1)(n+2)，那么它的前n 项和S n =______。

12、设等差数列{a n }共有3n 项，它的前2n 项之和为100，后2n 项之和为200，那么该等差数列的中间n 项的和等于________。

13、设数列{a n }，{b n }〔b n >0〕，n ∈N +满足n b lg b lg b lg an n 21+++=
〔n ∈N +〕，那么{a n }为等差数列是{b n }为等比数列的________条件。

14、长方体的三条棱成等比数列，假设体积为216cm 3，那么全面积的最小值是______cm 2。

15、假设不等于1的三个正数a ，b ，c 成等比数列，那么(2-log b a)(1+log c a)=________。

（三）解答题
16、一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求那个数列的公比和项数。

17、等比数列{a n }的首项为a 1>0，公比q>-1〔q ≠1〕，设数列{b n }的通项b n =a n+1+a n+2〔n ∈N +〕，数列{a n },{b n }的前n 项和分不记为A n ，B n ，试比较A n 与B n 大小。

18、数列{a n }中，a 1=8，a 4=2且满足a n+2=2a n+1-a n 〔n ∈N +〕
（1）求数列{a n }通项公式；
（2）设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求S n ；
（3）设)a 12(n 1b n n -=
〔n ∈N +〕T n =b 1+b 2+…+b n ，是否存在最大的整数m ，使得关于任意的n ∈N +，均有32
m T n >
成立？假设存在，求出m 的值；假设不存在，讲明理由。

参考答案
〔一〕选择题
1、C
2、B
3、D
4、A
5、D
6、A
7、D
8、B
9、D 10、B
〔二〕填空题
11、2
n 9n 32+ 12、75 13、充分且必要 14、216 15、2 （四）解答题
16、公比为2，项数为8
17、当251q 1+-<<-时，A n >B n ；当251q +->，q ≠1时，A n <B n ；当2
51q +-=时，A n =B n 18、〔1〕a n =-2m=10；〔2〕⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤≤+-=6
n 40n 9n 5n 1n 9n S 22n ；〔3〕m=7。