应用留数定理计算实变函数定积分

应用留数定理计算实变函数定积分
应用留数定理计算物理学中实变函数定积分
1问题
在物理学中，研究阻尼振动时计算积分0
sin x
dx x
∞
，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞?，
在热学中遇到积分
cos (0,ax e bxdx b a ∞
->?
为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不
可能。

而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。

2应用留数定理求解实变函数定积分的类型
将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下：1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路；
2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有
1
2()()()l
l l f z dz f x dx f z dz =+??
；
3）
()l
f z dz ??可以应用留数定理，1
()l f x dx ?
就是所求的定积分。

如果2
()l f z dz ?较易求出（往往是证
明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.
类型一
20
(cos ,sin )R x x dx π
.被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π].
求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从
0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.
可以设ix
z e =,则d z izdx =∴dz
dx iz
=
而1
1cos ()22ix ix e e x z z --+=
=+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z k
z z z z dz
I R i Resf z i iz π--=+-==∑?? 图1
类型二
-()f x dx ∞
∞
.积分区间为（-∞,+∞）
；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0.
求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ?ψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至少
高于()x ?两次. 如图2，计算积分lim
()R
R
R I f x dx -→∞=?
()()()R
R
l
R
C f z dz f x dx f z dz -=+
根据留数定理，
2{()}=()()R
R
R
C i f z l f x dx f z dz π-+??在所围半圆内各奇点的留数之和令R →∞，有
2{()}=()()R
C i f z l f x d x f z dz π∞
-∞
+??在所围半圆内各奇点的留数之和
而
()()
()
max ()
max ()0R
R
R
C C C dz dz R
f z dz zf z zf z zf z zf z z
z
R
≤≤=?→?
所以
()=2{()}f x dx i f z l π∞
-∞
在所围半圆内各奇点的留数之和
类型三
()cos F x mxdx ∞
,0
()sin G x mxdx ∞?.积分区间是[0,+∞];偶函数()F x 和奇函数()G x 在实轴
上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴上→∞时，()F x 及()G x 一致地→0.
约当引理如m 为正数，R C 是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z 在上半平面及实轴上→∞时()F x 一致地→0，则lim ()0R
imz C R F z e dz →∞=?
求解方法：
00
111()cos ()()()()222imx imx imx
imx F x mxdx F x e e dx F x e dx F x e dx ∞
∞
∞∞--=+=+?
经自变量代换，上式变为
00
0111()cos ()()()222imx imx
imx F x mxdx F x e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞-∞-∞
=+=?
同理
1()sin ()2imx
G x mxdx G x e dx i
∞
∞-∞=
由类型二可知
2{()}=()()R
imx imz C i f z l F x e dx F z e dz π∞
-∞
+??在所围半圆内各奇点的留数之和
由约当定理
2{()}=()imx imx i F x e l F x e dx π∞
-∞
在所围半圆内各奇点的留数之和
同理
2{()}=()imx imx i G x e l G x e dx π∞
-∞
在所围半圆内各奇点的留数之和
所以
0()cos {()}imz F x mxdx i F z e π∞
=?在上半平面所有奇点的留数之和 0 ()sin {()}imx G x mxdx G x e π∞
在上半平面所有奇点的留数之和
实轴上有单极点的情形考虑积分
-()f x dx ∞
∞
，被积函数()f x 在实轴上有单极点z α=，除此之外，
()f x 满足类型二或类型三的条件.
求解方法：由于存在这个奇点，我们以z α=为圆心，以充分小的正数ε为半
径作半圆弧绕过奇点α构成如图3所示积分回路.
于是
()()()()()R
R
l
R
C C f z dz f x dx f x dx f z dz f z dz ε
αε
αε
--+=+++??
取极限R →∞，0ε→，上式左边积分值等于2()i
Resf z π∑
上半平面
.
右边第一、第二项之和即为所求积分.按类型二或类型三的条件，第三项为零. 对于第四项，计算如下：
将()f z 在z α=的领域展为洛朗级数，有
图3
()a f z P z z αα
-=
+-- 其中()P z α-为级数的解析部分，它在C ε上连续且有界，因此
()()()max max C C P z dz P z dz P z ε
ε
ααπεα-≤-=?-??
所以
()0lim 0C P z dz ε
εα→-=?
而
()()011
11i i C C a a a dz d z e id ia iResf z z e ε
ε??παε?ππαα
αε----=-==-=---?
于是
()-()2()f x dx i
Resf z iResf ππα∞
∞
=+∑
上半平面
若实轴上有有限个单极点，则
()-()2()f x dx i
Resf z i
Resf z ππ∞
∞
=+∑
∑
上半平面
实轴上
3应用留数定理求解物理学中实变函数的定积分
（1）计算阻尼振动的狄利克雷型积分0
sin x
dx x
∞
解：由类型三，将原积分改写
sin 12ix
x e dx dx x i x
∞
∞-∞=?
这个积分的被积函数ix
e x
除了在实轴上有单极点0x =外，满足类型三的条件.由于被积函数在上
半平面无奇点，有
10=1=222
2ix ix e e dx z i x x πππ
∞-∞??==被积函数在单极点的留数即
sin =2
x dx x π
∞
推论：
对于正的m ，
0sin sin ()2
mx mx dx d mx x mx π
∞
∞==?
(m ＞0)
对于负的m ，
0sin sin 2
m x mx dx dx x x π∞
∞=-=-?
(m ＜0)
（2）计算在研究光的衍射时菲涅耳积分2
sin()x dx ∞
和20
cos()x dx ∞
解：∵2
2
22sin()Im ,cos()Re ix ix x e x e ==
∴2
210
ix I iI e dx ∞
+=
取图4所示回路l .由于2
ix e 没有有限远奇点，
所以根据留数定理得
2
0iz
l
e dz =?? 即
22
/42
()
/40
()0i R
R
ix iz i e
i C R
e dx e dz e d e πρπρ++=?
令R →∞.
2
2
2
()/4/4/40
lim lim()i i i i i R
R
R R e e d e e d e e d ρππρπρρρρ∞
--→∞→∞
=-=-/4(1)
8
i e i ππ
π
=-
=-+
/4
2
2
2
2
22i R R
iz Re
iz
iz
C C z R
e dz e dz e iz
iz π==+??2
R
iz C e dz ?
而
222
/4
1
02222R iR R i e e e iRe iR R R π---≤+→ （于R →∞）图4。