广东中山三鑫学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题(解析版)

初三数学假期反馈
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. 33a a a ⋅=
B. 2()2a b a b −=−
C. 325()a a =
D. 2222a a a −=−
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：A ．34a a a ⋅=，错误；
B ．2()22a b a b −=−，错误；
C ．326()a a =，错误；
D ．2222a a a −=−，正确；
故选D ．
考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．合并同类项；3．去括号与添括号；4．同底数幂的乘法．
2. 用3个完全相同的小正方体组成如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：从上边看左边一个小正方形，右边一个小正方形，故B 符合题意．故选B ． 考点：简单组合体的三视图．
3. 在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（ ）
A. 1
5
B.
1
3
C.
3
8
D.
5
8
【答案】D
【解析】
【详解】解：从装有3个白球和5个红球的布袋中随机摸出一个球，
摸到红球的概率是
55 358
=
+
．
故选：D．
4. 在正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形中，其中中心对称图形的个数是（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：正方形、矩形、菱形、平行四边形是中心对称图形，共4个，故选C．考点：中心对称图形．
5. 如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（）
A. 3 cm
B. 4cm
C. 5cm
D. 6cm 【答案】B
【解析】
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出答案．
【详解】连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AC=1
2
AB=3cm，
∴OC=4．
故选：B．
6. 如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm
【答案】C
【解析】
【分析】利用线段垂直平分线的性质证得AN=BN即可求解.
【详解】∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC=7（cm），
∴AN+NC+BC=7（cm），
∵AN+NC=AC，
∴AC+BC=7（cm），
又∵AC=4cm，
∴BC=7﹣4=3（cm）．
故选C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键.
7. 遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各是多少万千克？设原计划每亩平均产量为x万千克，则改良后平
均每亩产量为1.5x 万千克，根据题意列方程为( ) A. 36x －36+91.5x ＝20 B. 36x －361.5x ＝20 C. 36+91.5x －36x ＝20 D. 36x ＋36+91.5x ＝20 【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数﹣改良后种植的亩数=20亩，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设原计划每亩平均产量x 万千克，由题意得：
36369201.5x x
+−=， 故选A ．
【点睛】本题考查列分式方程，掌握题目数量关系是解题关键．
8. 二次函数2y ax bx c ++（0a ≠）的图象如图所示，下列结论：①20a b +>；②<0abc ；③240b ac −>；④0a b c ++<；⑤420a b c −+<，其中正确的个数是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B
【解析】 【分析】由二次函数的开口方向，对称轴1x >，以及二次函数与y 的交点在x 轴的上方，与x 轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．
【详解】解：① 二次函数的开口向下，
<0a ∴，对称轴在1的右边，
12b a
∴−>， 20a b ∴+>，故①正确；
②观察图象，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，
0c ∴<，
又 对称轴为2b x a =−在x 轴的正半轴上，故b x 02a
=−>， 0a < ，
>0b ∴．
0abc ∴>，故②错误．
③ 二次函数与x 轴有两个交点，
∴△240b ac =−>，故③正确．
④观察图象，当1x =时，函数值0y a b c =++>，故④错误；
⑤观察图象，当2x =−时，函数值420y a b c =−+<，故⑤正确．
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当0a >时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0)ab >，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即0)ab <，对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于(0,)c ．
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，满分20分）
9. 把96000000用科学记数法表示为___．
【答案】79.610×
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义：将一个数写成10n a ×（110a ≤<，n 为整数）的方法叫科学记数法直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
7960000009.610=×，
故答案为：79.610×；
【点睛】本题考查科学记数法的定义：将一个数写成10n a ×（110a ≤<，n 为整数）的方法叫科学记数法．
10. 一个n 边形的内角和为1080°，则n =________．
【答案】8
【解析】
【分析】直接根据内角和公式()2180n −⋅°计算即可求解．
【详解】解：（n ﹣2）•180°=1080°，解得n =8．
故答案为8．
【点睛】主要考查了多边形内角和公式.多边形内角和公式：()2180n −⋅°．
11. 某射击运动员在一次射击训练中，共射击了6次，所得成绩（单位：环）为：6、8、7、7、8、9，这组数据的中位数是_____．
【答案】7.5．
【解析】
【分析】试题分析：根据中位数的概念求解．
【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：6、7、7、8、8、9， 则中位数为：782
+=7.5． 故答案为7.5．
12. 在半径为5cm 的⊙O 中，45°的圆心角所对的弧长为______cm ． 【答案】54π．
【解析】
【详解】试题分析：L=
455180π×=54
π．故答案为54π． 考点：弧长的计算．
13. 如图，在ABC 中，90,6C AC BC ∠=°==．
P 为边AB 上一动点，作PD BC ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，则DE 的最小值为___________．
的
【答案】【解析】
【分析】连接CP ，利用勾股定理列式求出AB ，判断出四边形CDPE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得DE CP =，再根据垂线段最短可得CP AB ⊥时，线段DE 的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接CP ，
∵90,6C AC BC ∠=°==，
∴AB ，
∵PD BC ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，90ACB ∠=
°， ∴四边形CDPE 是矩形，
∴DE CP =，
由垂线段最短可得CP AB ⊥时，线段CP 的值最小，此时线段DE 的值最小， 此时，1122
ABC S AC BC AB CP ==△⋅⋅，
代入数据：116622
CP ⨯⨯=⨯，
∴CP =，
∴DE 的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP AB ⊥时，线段DE 的值最小是解题的关键．
三、解答题（共56分）
14. 先化简，再求值：211241
m m m m m +÷−−−+，其中3m =−
【答案】
21
m +，1− 【解析】 【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把m 的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式112(2)(2)1
m m m m m m +=÷−−+−+ 1(2)(2)211
m m m m m m +−=⋅−−++ 211
m m m m +−++ 21
m m m +−=+ 21
m =+． 当3m =−时，原式221131
m ===−+−+． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15. 解不等式组(
)263125x x x −< +<+ ①②并将解集在数轴上表示出来．
【答案】32x −<<，在数轴上表示见解析
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：(
)263125x x x −< +<+ ①②， 由①得，3x >−，
由②得，2x <，
故此不等式组的解集为：32x −<<．
在数轴上表示为：
．
16. 小明在学校组织的校园安全知识竞赛中，通过自己的努力，一路过关斩将，走到了最后一个环节．最后环节中，他还需要回答三道判断题，每道题只有正确和错误两种选择．由于三道题的答案小明均不确定；于是随机给出了三个结果．
（1）小明回答第一道判断题，答对的概率是；
（2）如果小明在最后一个环节中至少答对两道题就能获胜，那么他获胜的概率是多少？请用树状图来说明．
【答案】（1）1 2
（2）1 2
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【小问1详解】
小明回答第一道判断题，答对的概率是1
2
，
故答案为：1
2
；
【小问2详解】
画树状图如下：
由树状图知共有8种等可能结果，其中至少答对两道题的有4种结果，
所以他获胜的概率为4182
=． 17. 如图，一次函数y kx b =+与反比例函数m y x
=的图象交于A （1，4），B （4，n ）两点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）点P 是x 轴上的一动点，试确定点P 并求出它的坐标，使PA+PB 最小．
【答案】（1）4y x =
；（2）5y x =−+；（3）P （175，0）． 【解析】
【分析】（1）把A 的坐标代入m y x =
即可求出结果； （2）先把B 的坐标代入4y x =
得到B （4，1），把A 和B 的坐标，代入y kx b =+即可求得一次函数的解析式；
（3）作点B 关于x 轴的对称点B′，连接AB′交x 轴于P ，则AB′的长度就是PA+PB 的最小值，求出直线AB′与x 轴的交点即为P 点的坐标．
【详解】（1）把A （1，4）代入m y x =
得：m=4， ∴反比例函数的解析式为：4y x
=； （2）把B （4，n ）代入4y x
=
得：n=1，∴B （4，1），把A （1，4），B （4，1）代入y kx b =+，得：414k b k b =+=+ ， ∴1{5
k b =−=， ∴一次函数的解析式为：5y x =
−+；
的
（3）作点B 关于x 轴的对称点B′，连接AB′交x 轴于P ，则AB′的长度就是PA+PB 的最小值，由作图知，B′（4，﹣1），
∴直线AB′的解析式为：51733y x =
−+，当y=0时，x=175， ∴P （175
，0）．
18. 如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于N ．
（1）求证：∠ADC=∠ABD ；
（2）求证：AD 2=AM•AB ；
（3）若AM=185，sin ∠ABD=35
，求线段BN 的长． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）
325． 【解析】
【详解】试题分析：（1）连接OD ，由切线性质和圆周角定理即可得到结果；
（2）证明△ADM ∽△ABD ，即可得到结论；
（3）根据三角函数和勾股定理即可得到结果．
试题解析：（1）连接OD ，∵直线CD 切⊙O 于点D ，∴∠CDO=90°，∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵OB=OD ，∴∠3=∠4，∴∠ADC=∠ABD ； （2）∵AM ⊥CD ，∴∠AMD=∠ADB=90°，∵∠1=∠4，∴△ADM ∽△ABD ，∴
AM AD AD AB
=，∴AD 2=AM•AB ；
的
（3）∵sin ∠ABD=
35
，∴sin ∠1=35，∵AM=185，∴AD=6，∴AB=10，∴
=8，∵BN ⊥CD ，∴∠BND=90°，∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，∴∠DBN=∠1，∴sin ∠NBD=35
，∴DN=245，∴
=325．
考点：1．切线的性质；2．相似三角形的判定与性质．
19. 如图，已知抛物线y =﹣x 2+2x +3与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上一动点，连接PB ，PC ．
（1）点A 坐标为___________，点B 的坐标为___________；
（2）如图1，当点P 在直线BC 上方时，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ．若PE =2ED ，求△PBC 的面积； （3）抛物线上存在一点P ，使△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标．
【答案】（1）(﹣1,0)，(3,0)
（2）3 （3）(1,4)或(−2,−5)
【解析】
【分析】(1)根据抛物线解析式令y =0，求出A ，B 的坐标即可；
(2)先求得点C 的坐标，再用待定系数法求得直线BC 的解析式；由PE =2ED 可得PD =3ED ，设P (m ,-m 2+2m +3)，则E (m ,-m +3)，用含m 的式子表示出PD 和DE ，根据PD =3ED 得出关于m 的方程，解得m 的值，则可得PE 的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；
的
(3)分两种情况：①点C 为直角顶点；②点B 为直角顶点．过点C 作直线P 1C ⊥BC ，交抛物线于点P 1，连接P 1B ，交x 轴于点D ；过点B 作直线BP 2⊥BC ，交抛物线于点P 2，交y 轴于点E ，连接P 2C ，分别求得直线P 1C 和直线BP 2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点P 的坐标．
【小问1详解】
解：令抛物线y =0，则−x 2+2x +3=0，
解得：x 1=−1，x 2=3，
∴A (−1,0)，B (3,0)；
故答案为：(−1,0)，(3,0)；
【小问2详解】
解：在y =−x 2+2x +3中，
当x =0时，y =3，
∴C (0,3)，
设直线BC 的解析式为y =kx +b ，
将B (3,0)，C (0,3)代入，得：
330b k b = +=
， 解得13k b =− =
， ∴直线BC 的解析式为y =−x +3，
若PE =2ED ，则PD =3ED ，
设P (m ,−m 2+2m +3)，
∵PD ⊥x 轴于点D ，
∴E (m ,−m +3)，
∴−m 2+2m +3=3(−m +3)，
∴m 2−5m +6=0，
解得m 1=2，m 2=3(舍)，
∴m =2，
此时P (2,3)，E (2,1)，
∴PE =2， ∴11112332222
PBC S PE OD PE DB PE OB =⋅+⋅=⋅=××= ，
∴△PBC 的面积为3；
【小问3详解】
解：∵△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，
∴有两种情况：
①点C 为直角顶点，如图，过点C 作直线P 1C ⊥BC ，交抛物线于点P 1，交x 轴于点D ，连接P 1B ，
∵B (3,0)，C (0,3)，
∴OB =OC =3，
∴∠BCO =∠OBC =45°，
∵P 1C ⊥BC ，
∴∠DCB =90°，
∴∠DCO =45°，
又∵∠DOC =90°，
∴∠ODC =45°=∠DCO ，
∴OD =OC =3，
∴D (−30)，
∴直线P 1C 的解析式为y =x +3，
联立2233y x x y x =−++ =+ ，
解得1
4x y = = 或0
3x y = = (舍)；
∴P 1(1,4)；
,
②点B 为直角顶点，
如图，过点B 作直线BP 2⊥BC ，交抛物线于点P 2，交y 轴于点E ，连接P 2C ，
∵P 1C ⊥BC ，BP 2⊥BC ，
∴12PC BP ∥，
∴设直线BP 2的解析式为y =x +b ，
将B (3,0)代入，得0=3+b ，
∴b =−3，
∴直线BP 2的解析式为y =x −3，
联立2233y x x y x =−++ =−
， 解得25x y =− =− 或30
x y = = (舍)， ∴P 2(−2,−5),
综上，点P 的坐标为(1,4)或(−2,−5) ．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，用待定系数法求一次函数的解析式，抛物线与三角形有关的综合问题，解题的关键是能熟练运用数形结合的思想、分类讨论的思想熟练进行转化并求解．。