人教A版高中数学必修五综合测试.docx

必修5综合测试
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a<b<0，则下列不等式一定成立的是()
A．a2<ab<b2B．b2<ab<a2
C．a2<b2<ab D．ab<b2<a2
答案 B
2．关于数列3,9，…，2187，…，以下结论正确的是()
A．此数列不是等差数列，也不是等比数列
B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列
C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列
D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列
解析记a1＝3，a2＝9，…，a n＝2 187，…
若该数列为等差数列，则公差d＝9－3＝6，
a n＝3＋(n－1)×6＝2 187，∴n＝365.
∴{a n}可为等差数列．
若{a n }为等比数列，则公比q ＝93＝3.
a n ＝3·3n －1＝2 187＝37，∴n ＝7.
∴{a n }也可能为等比数列．
答案 B
3．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则角C 为( )
A ．钝角
B ．直角
C ．锐角
D ．60°
解析 由sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2.
即a 2＋b 2－c 2＝c 2>0，cos C >0.
答案 C
4．定义新运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧
a (a ≤
b )，b (a >b )，例如1]( ) A ．(－∞，＋∞)
B ．(－∞，1)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2≤2x －1，x 2<1，或⎩⎪⎨⎪⎧
x 2>2x －1，2x －1<1.解得x <1. 答案 B
5．在下列函数中，最小值等于2的函数是( )
A ．y ＝x ＋1x
B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0<x <π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2
D ．y ＝e x ＋4e －x －2
解析 A 中当x <0时不成立，B 、C 中y 取不到2，因此A 、B 、
C 均错，
D 正确．y ＝e x ＋4e －x －2≥2e x ·4e －x －2＝2，
当且仅当e x
＝4e x ，即当e x ＝2，x ＝ln2时，取等号． 答案 D
6．不等式y ≤3x ＋b 所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，
而点(4,4)在此区域内，则b 的范围是( )
A ．－8≤b ≤－5
B ．b ≤－8或b >－5
C ．－8≤b <－5
D ．b ≤－8或b ≥－5 解析 ∵4>3×3＋b ，且4≤3×4＋b ，∴－8≤b <－5.
答案 C
7．已知实数m ，n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ≤4，m －n ≤2，m ＋n ≤3，m ≥0，
则关于x 的方程x 2－(3m ＋2n )x ＋6mn ＝0的两根之和的最大值和最小值分别是
( )
A ．7，－4
B ．8，－8
C ．4，－7
D ．6，－6 解析 两根之和z ＝3m ＋2n ，画出可行域，当m ＝1，n ＝2时，
z max ＝7；当m ＝0，n ＝－2时，z min ＝－4.
答案 A
8．已知a ，b ，c 成等比数列，a ，x ，b 成等差数列，b ，y ，c 成
等差数列，则a x ＋c y 的值等于( )
A.14
B.12
C ．2
D ．1
解析 用特殊值法，令a ＝b ＝c .
答案 C 9．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列
四种长度的铁管供选择，较经济的(够用、又耗材最少)是( )
A ．4.6 m
B ．4.8 m
C ．5 m
D ．5.2 m
解析 设三角形两直角边长为a m ，b m ，则ab ＝2，周长C ＝a
＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝22＋2≈4.828(m)．
答案 C
10．设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，
a 2n ＋1＝
b 2n ＋1, 则( )
A ．a n ＋1>b n ＋1
B ．a n ＋1≥b n ＋1
C ．a n ＋1<b n ＋1
D ．a n ＋1＝b n ＋1
解析 a n ＋1＝a 1＋a 2n ＋12≥a 1a 2n ＋1＝b 1b 2n ＋1＝b n ＋1. 答案 B
11．下表给出一个“直角三角形数阵”：
14
12，14
34，38，316
……
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，
且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则
a 83等于( )
A.18
B.14
C.12 D ．1
解析 第1列为14，12＝24，34，…，所以第8行第1个数为84，又
每一行都成等比数列且公比为12，所以a 83＝84×12×12＝12.
答案 C
12．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋x －1≤0，y －3x －1≤0，y －x ＋1≥0，
则z ＝2x ＋y
的最大值为( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．－4 解析 先作出约束条件满足的平面区域，如图所示．
由图可知，当直线y ＋2x ＝0，经过点(1,0)时，z 有最大值，此时
z ＝2×1＋0＝2.
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分．把答案填
在题中横线上)
13．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于
________．
解析 ∵B ＝45°，C ＝60°，∴A ＝180°－B －C ＝75°.
∴最短边为b .由正弦定理，得b ＝c sin B sin C ＝1×sin45°sin60°＝63.
答案 63
14．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则b a 的取值范围是__________．
解析 ∵△ABC 为锐角三角形，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<B ＝2A <π2，
0<π－A －B <π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π4，π6<A <π3.
∴A ∈(π6，π4)．∴b a ＝sin B sin A ＝2cos A .∴b a ∈(2，3)．
答案 (2，3)
15．数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项公式满
足关系式a n ·b n ＝(－1)n (n ∈N *)，则b n ＝________.
解析 ∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，
∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝2.∴a n ＝3·2n －1.
又a n ·b n ＝(－1)n .∴b n ＝(－1)n
·1a n ＝(－1)n 3·2n －1. 答案 (－1)n
3·2n －1
16．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取
值范围是________．
解析 令f (x )＝x 2＋mx ＋4，则f (x )的图象是开口向上的抛物线，
要当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧
f (1)＝1＋m ＋4≤0，f (2)＝4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.
答案 m ≤－5
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－34x 2＋x ＋1>0，B ＝{x |3x 2
－4x ＋1>0}，求∁U (A ∩B )．
解 A ＝{x |3x 2－4x －4<0}＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－23<x <2， B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x <13，或x >1. A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－23<x <13，或1<x <2， ∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－23，或13≤x ≤1，或x ≥2}．
18．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
且b sin A ＝3a cos B .
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．
解 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝3
cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3.
(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c sin C ，得c ＝2a .
由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac .
所以a ＝3，c ＝2 3.
19．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1.
(1)是否存在实数a ，b 使不等式f (x )>0的解集是{x |3<x <4}，若存
在，求实数a ，b 的值，若不存在，请说明理由；
(2)若a 为整数，b ＝a ＋2，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零
点，求a 的值．
解 (1)∵不等式ax 2－bx ＋1>0的解集是{x |3<x <4}，
∴方程ax 2－bx ＋1＝0的两根是3和4，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＝3×4＝12，
b a ＝3＋4＝7.解得a ＝112，b ＝712.
而当a ＝112>0时，不等式ax 2－bx ＋1>0的解集不可能是
{x |3<x <4}，故不存在实数a ，b 使不等式f (x )>0的解集是{x |3<x <4}．
(2)∵b ＝a ＋2，∴f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1.
∵Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，
∴函数f (x )＝ax 2－bx ＋1必有两个零点．
又函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，
∴f (－2)·f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，
解得－32<a <－56.∵a ∈Z ，∴a ＝－1.
20．(12分)配制两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配A 种药
需要甲料3毫克，乙料5毫克；配B 种药需要甲料5毫克、乙料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A ，B 两种药至少各配一剂，问A 、B 两种药最多能各配几剂？
解 设A 、B 两种药分别能配x ，y 剂，x ，y ∈N *，则
⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，y ≥1，3x ＋5y ≤20，5x ＋4y ≤25，作出可行域，图中阴影部分的整点有(1,1)，(1,2)，
(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)．
所以，在保证A ，B 两种药至少各配一剂的条件下，A 种药最多
配4剂，B 种药最多配3剂．
21．(12分)在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin B sin B －sin A
，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C .
(1)试确定△ABC 的形状；
(2)求a ＋c b 的范围．
解 (1)由a ＋b a ＝sin B sin B －sin A
， 得a ＋b a ＝b b －a
，即b 2－a 2＝ab ，① 又cos(A －B )＋cos C ＝1－cos2C ，
所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C .
sin A ·sin B ＝sin 2C ，则ab ＝c 2.②
由①②知b 2－a 2＝c 2，即b 2＝a 2＋c 2.所以△ABC 为直角三角形．
(2)在△ABC 中，a ＋c >b ，即a ＋c b >1.
又a ＋c b ＝a 2＋c 2＋2ac b 2≤ 2(a 2＋c 2)b 2＝2b 2
b 2＝2，故a ＋
c b 的取值范围为(1，2]．
22．(12分)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，
满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.
(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；
(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2
为数列{a n }中的项． 解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，
(d ≠0)．
由a 22＋a 23＝a 24＋a 25，知2a 1＋5d ＝0.①
又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.②
由①②可得a 1＝－5，d ＝2.
所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝n (a 1＋a n )2
＝n 2－6n . (2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2
为整数，又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2.
当m ＝1时，a m a m ＋1a m ＋2＝(－5)×(－3)－1
＝－15. 显然它不是数列{a n }中的项．
当m ＝2时，a m ·a m ＋1a m ＋3＝(－3)×(－1)3＝1.
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
它是数列{a n}中的项．
因此，符合题意的正整数只有m＝2.
桑水。