新教材高中物理第八章机械能守恒定律3动能和动能定理案新人教版必修第二册

动能和动能定理
目标体系构建
明确目标·梳理脉络
【学习目标】
1．通过力对物体做功的分析确定动能的表达式，加深对功能关系的理解。

2．能够从功的表达式、牛顿第二定律与运动学公式推导出动能定理。

3．理解动能定理，能用动能定理解释生活中的现象和解决实际问题。

【思维脉络】
课前预习反馈
教材梳理·落实新知
知识点 1 动能
1．定义：物体由于__运动__而具有的能叫动能。

2．表达式：E k ＝__12
mv 2
__。

3．单位：与功的单位相同，国际单位__焦耳(J)__ 1 kg·m 2
/s 2
＝1 N·m＝1 J 。

4．标矢性
动能是__标量__，只有大小，并且是状态量。

知识点 2 动能定理
如图所示，物体的质量为m ，在与运动方向相同的恒力F 的作用下发生了一段位移l ，速度由v 1增加到v 2，此过程力F 做的功为W 。

1．推导过程：
2．内容：力在一个过程中对物体做的__功__，等于物体在这个过程中__动能的变化__。

3．适用范围：
既适用于__恒力__做功，又适用于__变力__做功，既适用于__直线__运动，又适用于__曲线__运动。

思考辨析
『判一判』
(1)某物体的速度加倍，它的动能也加倍。

(×) (2)速度大的物体动能也大。

(×)
(3)两质量相同的物体，动能相同，速度一定相同。

(×) (4)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化。

(√) (5)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零。

(×) (6)物体的动能增加，合外力做正功。

(√) 『选一选』
(多选)(2021·湖北孝感市天有永新实验学校高一月考)关于物体的动能，下列说法不正确的是( BCD )
A ．质量相同的物体，速度大的动能一定大
B ．动能相同的物体，质量相同时速度一定相同
C ．质量不变的物体，速度变化，动能一定变化
D ．动能不变的物体，一定处于平衡状态
解析：根据E k ＝12mv 2
知，质量相同的物体，速度大的动能一定大，故A 正确，不符合题
意；根据E k ＝12mv 2
知，动能相同的物体，质量相同时速度大小一定相同，但方向可能不同，
故速度可能不同，故B 错误，符合题意；质量不变的物体，速度变化，可能只是速度的方向发生变化，所以动能不一定变化，故C 错误，符合题意；动能不变的物体，不一定处于平衡状态，如匀速圆周运动，故D 错误，符合题意。

『想一想』
如图所示是古代战争中攻击城门的战车，战车上装有一根质量很大的圆木，有很多士兵推着战车使圆木以很大的速度撞击城门，轻而易举地将城门撞破。

圆木的质量很大，速度很大时，是为了增加圆木的什么能？
解析：动能。

课内互动探究
细研深究·破疑解难探究
对动能、动能定理的理解
┃┃情境导入__■
如图所示，让钢球从斜面上由静止滚下，打到一个小木块上，能将木块撞出一段距离。

提高小球的初始高度h，小球滚下撞击木块的速度变大，木块就会被撞的远些，说明功与速度变化有着密切联系。

请思考：
功与速度变化(动能)有什么关系？
提示：合外力所做的功等于物体动能的增量。

┃┃要点提炼__■
1．动能的“四性”
(1)相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。

(2)状态性：动能是表征物体运动状态的物理量，与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。

(3)标量性：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值。

(4)瞬时性：动能具有瞬时性，与某一时刻或某一位置的速率相对应。

2．对动能定理的理解
(1)表达式的理解
①公式W＝E k2－E k1中W是合外力做的功，不是某个力做的功，W可能是正功，也可能是负功。

②E k2、E k1分别是末动能和初动能，E k2可能大于E k1，也可能小于E k1。

(2)W的求法
动能定理中的W表示的是合外力的功，可以应用W＝F合·l cos α(仅适用于恒定的合外力)计算，还可以先求各个力的功再求其代数和，W＝W1＋W2＋…＋W n。

(3)动能定理公式中等号的意义
①数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系。

可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功。

②单位相同：国际单位都是焦耳。

③因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因。

(4)适用范围
动能定理应用广泛，直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、分段做功等各种情况均适用。

特别提醒
(1)动能定理说明了外力对物体所做的总功和动能变化间的一种因果关系和数量关系，不可理解为功转变成了物体的动能，而是意味着“功引起物体动能的变化”，即物体动能的变化是通过外力做功的过程来实现的。

(2)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。

┃┃典例剖析__■
典题1 (多选)如图所示，电梯质量为M ，在它的水平地板上放置一质量为m
的物体。

电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v 1增加到v 2时，上升高度为H ，则在这个过程中，下列说法或表达式正确的是( CD )
A ．对物体，动能定理的表达式为WF N ＝12mv 22－12mv 2
1，其中WF N 为支持力的功
B ．对电梯，动能定理的表达式为W 合＝0，其中W 合为合力的功
C ．对物体，动能定理的表达式为WF N －mgH ＝12mv 22－12mv 2
1
D ．对电梯，其所受合力做功为12Mv 22－12
Mv 2
1
思路引导：(1)应用动能定理时，要进行受力分析，分析在这个过程中有哪些力做功，注意区分功的正负。

(2)应用动能定理时要注意选取的研究对象和对应过程，合力做的功和动能增量一定是对应同一研究对象的同一过程。

解析：电梯上升的过程中，对物体做功的有重力mg 、支持力F N ，这两个力做的总功才等于物体动能的增量ΔE k ＝12mv 22－12mv 2
1，故A 错误，C 正确；对电梯，无论有几个力对它做
功，由动能定理可知，其合力的功一定等于其动能的增量，故B 错误，D 正确。

┃┃对点训练__■
1．(多选)关于运动物体所受的合力、合力的功、运动物体动能的变化，下列说法正确的是( BCD )
A．运动物体所受的合力不为零，合力必做功，物体的动能一定要变化
B．运动物体所受的合力为零，则物体的动能一定不变
C．运动物体的动能保持不变，则该物体所受合力不一定为零
D．运动物体所受合力不为零，则该物体一定做变速运动
解析：由功的公式W＝Fl cos α知，合力不为零，但若α＝90°，合力的功也为零，故A错误；若合力为零，则合力的功也为零，由动能定理W总＝E k2－E k1合力做的总功必为零，则物体的动能不发生改变，故B正确；运动物体的动能保持不变，则该物体所受合力不一定为零，如匀速圆周运动，速度不变，动能不变，但合外力不为零，故C正确；运动物体所受合力不为零，根据牛顿第二定律可知，加速度不为零，则该物体一定做变速运动，故D正确。

探究
动能定理的应用
┃┃情境导入__■
如图所示，一辆汽车正在上坡路上加速行驶。

(1)汽车上坡过程受哪些力作用？各个力做什么功？
(2)汽车的动能怎样变化？其动能的变化与各个力做功有什么关系？
提示：(1)汽车受重力、支持力、牵引力及路面的阻力作用，上坡过程中牵引力做正功，重力、阻力做负功，支持力不做功。

(2)由于汽车加速上坡，其动能增大，汽车动能的变化等于重力、牵引力及路面的阻力三个力做功的代数和。

┃┃要点提炼__■
1．应用动能定理解题的步骤
(1)选取研究对象，明确它的运动过程；
(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：
受哪些力―→
各力是
否做功
―→
做正功还
是负功
―→
做多
少功
―→
各力做功
的代数和
(3)明确研究对象在过程的始末状态的动能E k1和E k2；
(4)列出动能定理的方程W合＝E k2－E k1及其他必要的解题方程，进行求解。

2．动能定理与牛顿定律解题的比较
单，不易出错。

特别提醒
(1)动能定理的研究对象是单一物体，或者是可以看作单一物体的物体系统。

(2)动能定理是求解物体的位移或速率的简捷公式。

当题目涉及位移和速度而不涉及时间时可优先考虑动能定理；处理曲线运动中的速度问题时也要优先考虑动能定理。

(3)若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑也可整个过程考虑。

但求功时，有些力不是全过程都做功，必须根据不同的情况分别对待求出总功。

┃┃典例剖析__■
典题2 如图所示，用与水平方向成37°的恒力F＝10 N将质量为m＝1 kg的物体由静止开始从A点拉到B点撤去力F，已知A、B间距L＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5。

求撤去外力后物体还能滑行多远？
解析：方法1 ：牛顿运动定律
在A→B过程中，物体受力如图所示
其中：F N＝mg－F sin θ①
F cos θ－μF N＝ma1②
前进L＝2 m后，速度设为v，则v2＝2a1L③
撤去外力后，则－μmg＝ma2④
再前进位移设为x，则0－v2＝2a2x⑤
解①②③④⑤式得x＝2.4 m。

方法2：动能定理
对全程利用动能定理，其中过程一物体所受摩擦力
F f ＝μ(mg －F sin 37° )＝2 N
则FL cos 37°－F f L －μmgx ＝0 得x ＝2.4 m 。

规律总结：做匀变速直线运动的物体，若研究的过程中不牵扯到时间，可用运动学公式结合牛顿第二定律解题，也可用动能定理解题。

一般来说，用动能定理要比运动学公式简单。

┃┃对点训练__■
2．(2021·福建省武平县第一中学高一月考)质量为m 的跳水运动员，从离水面高为h 的跳台上以速度v 1跳起，最后以速度v 2进入水中，若不计空气阻力，则运动员起跳时所做的功等于( D )
A ．12mv 2
1＋mgh B ．12mv 2
1－mgh C ．12
mv 2
2＋mgh D ．12
mv 2
2－mgh 解析：运动员所做的功转化为运动员的动能W ＝12
mv 2
1，在整个过程中，由动能定理可得
mgh ＝1
2mv 22－12mv 21，则运动员起跳时所做的功为W ＝12mv 21＝12
mv 2
2－mgh ，故选D 。

易错辨析警示
以题说法·释疑解惑
易错点：位移、速度不相对于同一参考系
案例 子弹以某速度击中静止在光滑水平面上的木块，当子弹进入木块的深度为
x 时，木块相对水平面移动的距离为x
2
，求木块获得的动能ΔE k1和子弹损失的动能ΔE k2之
比。

易错分析：本题对子弹用动能定理列方程时易错列为：－F f x ＝E k 末－E k 初，从而导致错解为12。

错误原因是对子弹和木块选用了不同参考系，动能定理中，速度和位移都具有相对性，应选用同一参考系。

正确解答：对子弹：
－F f (x ＋x
2
)＝E k 末－E k 初＝－ΔE k2，
对木块：F f ·x 2＝ΔE k1，所以ΔE k1
ΔE k2
＝
F f ·
x 2F f ·32
x
＝1
3。

素养警示
子弹和木块所受水平作用力F f (相互摩擦力)大小相等，可认为是恒力。

但二者的位移大小不同，做功不同。

运用动能定理分别研究子弹和木块，求出各自的动能变化。

课堂达标检测
沙场点兵·名校真题
1．(多选)(2021·福清西山学校高一月考)关于动能的理解，下列说法正确的是( AB ) A ．一般情况下，E k ＝12
mv 2
中的v 是相对于地面的速度
B ．动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体的运动方向无关
C ．物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等、方向相反
D ．当物体以不变的速率做曲线运动时其动能不断变化
解析：动能是标量，由物体的质量和速率决定，与物体的运动方向无关，动能具有相对性，无特别说明，一般指相对于地面的动能。

故选AB 。

2．(2021·河南高一开学考试)2020年10月12日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将高分十三号卫星发射升空，卫星在发射阶段竖直向上匀加速通过两段相同高度的过程中，下列物理量相同的是( D )
A ．运动时间
B ．平均速度
C ．速度的变化量
D ．动能的变化量
解析：卫星在发射阶段竖直向上匀加速通过两段相同高度的过程中，因为x ＝v 0t ＋12at
2
两段不同高度的初速度不同，所以匀加速运动通过相同高度的时间一定不相同，故A 项错误；因为卫星在做匀加速运动，所以其平均速度一定不相同，故B 项错误；根据A 项，其运动时间不同，又因为Δv ＝at ，可知速度的变化量也不同，故C 项错误；因为物体在做匀加速运动，所以其受合力一定没有发生变化，根据W ＝F 合x 可知合外力做功相同，其动能变化量相同，故D 项正确。

3．(2021·嘉兴市第五高级中学高一月考)在篮球比赛中，某位运动员获得罚球机会，他站在罚球线处用力将篮球投出，篮球以约为1 m/s 的速度撞击篮筐。

已知篮球质量约为0.8 kg ，篮筐离地高度约为3 m ，忽略篮球受到的空气阻力，则该运动员罚球时对篮球做的功最接近( B )
A ．1 J
B ．10 J
C ．25 J
D ．50 J
解析：由题知篮球上升的高度大约为h ＝1.2 m ，对篮球运动的整个过程，由动能定理得W －mgh ＝12mv 2－0得W ＝mgh ＋12mv 2＝0.8×10×1.2 J＋12×0.8×12
J ＝10.0 J ，故B 正确，
A 、C 、D 错误。

4．(2021·普宁市华美实验学校高一月考)如图所示，一辆汽车正以v 1＝72 km/h 的速度匀速直线行驶，司机发现在前方150 m 处停有一故障车辆，马上进行刹车操作。

设司机的反应时间t 1＝0.75 s ，刹车时汽车受到的阻力为重力的12。

取重力加速度g ＝10 m/s 2。

请计
算从发现故障车至停下，汽车在这段时间内发生的位移，据此判断这两辆车是否会相撞。

答案：55 m ，不会相撞。

解析：设后车刹车时所受阻力为F 阻；司机反应时间内后车的位移为x 1；从开始刹车到停止，后车的位移为x 2。

后车受力分析如图所示，由题意可知v 1＝72 km/h ＝20 m/s ，F 阻＝1
2
mg ，
由匀速直线运动公式可得x 1＝v 1t 1＝20×0.75 m＝15 m ，
由动能定理得－F 阻x 2＝0－12mv 21，整理得x 2＝mv 2
12F 阻＝v 2
1g ＝20
2
10 m ＝40 m ，
发现故障车至停下汽车发生的位移为
＝x 1＋x 2＝55 m ，x ＜150 m ，故两车不会相撞。