沙市中学高一下数学期末试卷
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沙市中学高一(下)数学期末试卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.)
1.已知向量a 、b 满足:a +b =)3,1(,a -b =)3,3(-,则a 、b
的坐标分别为
( C )
A .)0,4( )6,2(-
B .)6,2(- )0,4(
C .)0,2( )3,1(-
D .)3,1(- )0,2( 2.已知扇形面积为
8
3π
,半径是1,则扇形的圆心角是 (C ) A .
163π B .83π C .43π D .2
3π 3.下列向量中,能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是 ( B )
A. (0,0),(1,2)a b ==
B. (5,7),(1,2)a b ==-
C. (3,5),(6,10)a b ==
D. 13(2,3),(,)24
a b =-=-
4.已知函数4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ,R x ∈,且3)2005(=f ,则
)2006(f 的值为 (C )
A .3
B .4
C .5
D .6
5. 已知向量)75sin ,75(cos ︒︒=,)15sin ,15(cos ︒︒=-的值是( D )
A.
2
1
B. 22
C. 23
D. 1
6.已知==
-
∈x x x 2tan ,5
4
cos ),0,2
(则π
( D ) A.
247 B. 247- C. 724 D. 7
24- 7.21,e e 是两个单位向量,且夹角为120°,则()2123e e -·()
214e e +的值为( A ) A.-10 B.-5 C.5 D.10
8.函数)2π2
5
sin(x y +=的图象的一条对称轴的方程是( A ).
A .2π-
=x B .4π-=x C .8
π
-=x D .π4
5=x
9.已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内,当12
x π
=时,取得最大值3y =,当712
x π=时
,取
得
最
小
值
3
y =-,则
函
数
的
解
析
式
为
( D )
A.3sin(2)3y x π
=-
B.3sin()26
x y π
=- C.3sin(2)6y x π
=+
D.3sin(2)3
y x π
=+ 10.如右图所示,两射线OA 与OB 交于O ,则下列选项中哪些向量的终点落在阴暗区
域内
( A ) ①2OA OB + ②
3143
OA OB +
③
1123OA OB + ④31
45
OA OB + ⑤
3145
OA OB - A .①② B .①②④ C .①②③④ D .③⑤
二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上 11.已知点P 分有向线段21P P 的比为-3,那么点P 1分P P 2的比是 .3
2
-
12.把函数1)4
3sin(3++
=π
x y 的图象按向量a 平移后得到函数2
)3
3sin(3++
=π
x y 的图象,则向量的坐标是 (36
π
-
,1)
13.若角α终边在直线x y 3=上,顶点为原点,且0sin <α,又知点),(n m P 是角α终边上一点,且10=OP ,则n m -的值为 .2 14.已知3
s i n ,5
αα=
是第二象限角,且tan()1αβ+=,则tan β的值是 7
15.关于x 的方程]2
,0[12cos 2sin 3π
在+=+k x x 内有相异两实根,则k 的取值范围
为 [0,1) 16、给出下列命题:
(1)∥的充要条件是存在唯一的实数λ使=λ;
(2)若α、β是第一象限角,且α>β,则cos α<cos β;
(3)函数y =sin(
32x-27π)是偶函数;
(4) 向量b 与向量a
的方向相反,是b 与a 是共线向量的充分不必要条件;
(5)函数y =sin2x 的图象向右平移4π个单位,得到y =sin(2x-4
π
))的图象.
其中正确的命题的序号是 . 34
三、解答题(本大题共6个小题,共70分) 17.(本小题满分12分) 已知1
0,sin cos 25
x x x π
-
<<+=. (1)求sin cos x x -的值; (2)求2sin 22sin 1tan x x
x
+-的值.
解:124
sin cos 2sin cos 525
x x x x +=⇒=- (2分)
(1)2
49
(sin cos )12sin cos 25
x x x x -=-=
(5
分)由已知02x π
-<<有sin cos 0x x -<,7
sin cos 5
x x -=- .
(6分)
(2)由(1)可求得:3
4243
sin ,cos ,sin 2,tan 5
5254
x x x x =-==-=- (9分)
2sin 22sin 24
1tan 175
x x x +=-- (12
分)
18.(本题满分12分)如图,已知向量p =,q
=,
r OC =,且2=.(Ⅰ)试用q p 、表示r
;
(Ⅱ)若点A )2,2(、B )1,3(,O (0,0)求点C 坐标.
解:(Ⅰ)由题意得: p q -=,q r
-=,———————2分 又 2=
∴ )(2q r p q
-=- ———————————4分 解得: q p r
2
321+-
= ———————————6分 (Ⅱ) 由2=可知:点B 分有向线段所成的比为2,———8分 设点C ),(y x ,则得: 21223++=
x ,21221++=y —————————10分 解得: 27=
x ,2
1=y , ∴ 点C 坐标为)2
1
,
2
7
(.———————————12分 19.(本大题满分12分) 已知函数)0(2
3
cos 3cos sin )(2>a b a x a x x a x f ++
-⋅= O
B
C
(1)写出函数的单调递减区间;
(2)设]2
0[π
,∈x ,f (x )的最小值是-2,最大值是3,求实数a 、b 的
(1)解:b x x x a x f ++-⋅=)2
3
cos 3cos (sin )(2
b x a b x x a +-=+++⨯-⨯=)3
2s i n ()2322c o s 132s i n 21(π 4分
∵a >0,x ∈R ,∴f (x )的递减区间是]12
11
125[ππππ++k k , (k ∈Z)
6分
(2)解:∵x ∈[0,
2π],∴2x ∈[0,π],2x -3π∈[323π
π,-] 7分 ∴]12
3
[)32sin(,-
∈-
π
x 9分
∴函数f (x )的最小值是b a +-
2
3
,最大值是b a + 10分
由已知得⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+-
3233
b a b a , 解得a =2,b =23-
12分
20.(本题满分14分)如图,△ABO 的顶点A 在x 正半轴上,顶点B 在第一象限内,又知△ABO 的面积为22,m AB OA =⋅. (Ⅰ)若向量与的夹角为θ,)3
,
4
(π
π
θ∈,求
实数m 的取值范围;
(Ⅱ)若点B 在抛物线)0(2
>=a ax y
b =,
m 小时实数a 的值. 解:(Ⅰ)根据题意:)22θπ-=
即 θ22=
,—————————2分 8
又
θm = 以上两式相除,并整理得:
θcot 24=m ———————————4分 ∵)3
,
4
(
π
π
θ∈,∴)1,3
3
(
cot ∈θ ∴实数m 的取值范围是)24,3
6
4(
. ———————————6分 (Ⅱ)
b =知点)0,(b A ,设点)0,0)(,(>>q p q p B ,则
),(q b p -=,
于是
22=⋅=
∆q S ABC ,b q 24=,——————8分
又 ),()0,(q b p b AB OA -⋅=⋅
2)12
2
(
)(b b p b -=-= ∴ b p 2
2
=
, ———————————10分 从而
22642132222222
2
≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=+=
b b b b q p ,当且仅当22
64b b =即22=b 时,取等号, ———————————12分
此时,点)2,2(B ,代入)0(2
>=a ax y 解得2
1
=
a , ∴
取得最小值22时,2
1
=
a . ——————14分 (Ⅱ)解二:∵
θθ2
1
22==
, 7
2)12
2
(
cos b AB OA m -==⋅=θ ,———————8分 ∴
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨
⎧
=b cos 24sin θθ , ∴
1)223
(32
2
2
2=-+b b , 即
22
)223
(32b b
-+=
,———————10分 ∴
82
1322213222
222=⋅≥+=
⋅++=b b b b AB OA , 当且仅当
2
2
2132b b
=即22=b 时,取等号,—————————12分 此时,点)0,22(A ,
由22=⋅=
∆B ABC y S 求得点B 纵坐标2=B y , 代入
8= 求得点)2,2(B ,
代入 )0(2
>=a ax y 解得2
1=
a , ∴
22时,2
1
=a .———————14分 21.(本题满分10分)
已知10a -<<,21A a =+,2
1B a =-,1
1C a
=
+,试比较A 、B 、C 的大小. 7
【解答】不妨设12a =-
,则54A =,3
4
B =,2
C =由此猜想B A C << 由10a -<<得10a +>,2
2
2
(1)(1)20A B a a a -=+--=>得A B >,……5分
22213()1(1)24(1)0111a a a a a C A a a a a
⎡
⎤++⎢⎥++⎣⎦
-=-+=-=->+++得C A >, (9)
分
即得B A C <<.………………………………………………………………………..10分
22. (本小题10分)解关于x 的不等式12
-ax ax >x ,(a ∈R ).
解:由12-ax ax >x 得12-ax ax -x >0即1
-ax x
>0(2分)
此不等式与x (ax-1)>0同解.(3分)
x >0 x <0 ①若a <0,则 或
ax-1>0 ax-1<0
得:⎪⎩⎪⎨⎧a x x 10 或⎪⎩
⎪⎨⎧a x x 1
即 无解 或
a 1<x <0. ∴解集为(a
1
,0).(4分) ②若a=0,则-x >0⇒x <0,∴解集为(-∞,0).(6分)
x >0 x <0 ③若a >0,则 或
ax-1>0 ax-1<0
得⎪⎩⎪⎨⎧a x x 10 或⎪⎩
⎪⎨⎧a x x 1
即:x >
a 1或x <0,∴解集为(-∞,0)∪(a
1
,+∞)(9分) 综上所述:①当a <0时,不等式的解集是(
a
1
,0) ②当a=0时,不等式的解集是(-∞,0)
③当a >0时,不等式的解集是(-∞,0)∪(
a
1
,+∞)(10分)。