2015高考数学配套课件：8-5 直线、平面垂直的判定及性质

又 PC∩PA＝P，∴AB⊥平面 PAC.
又 AC⊂平面 PAC，∴AB⊥AC.
即△ABC 是直角三角形． 【答案】 ①略 ②略
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探究 2 由(1)应掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直，利 用判定定理来证明．也可作出二面角的平面角，证明平面角为直 角，利用定义来证明．
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例 2 (1)△ABC 为正三角形，EC⊥平面 ABC，BD∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点，求证：
①DE＝DA； ②平面 BDM⊥平面 ECA； ③平面 DEA⊥平面 ECA.
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请注意！
纵观近几年高考题，始终围绕着垂直关系命题，这突出了垂 直关系在立体几何中的重要地位，又能顺利实现各种关系的转 化，从而体现了能力命题的方向．特别是线面垂直，集中了证明 和计算的中心内容.
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由(2)已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交 线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平 面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平 面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平 面．②的关键是灵活利用①题的结论．
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解析 如果一条直线平行于一个平面，它不是与平面内的所 有直线平行，只有部分平行，故 A 错；若一条直线与平面内的 直线平行，该直线不一定与该平面平行，该直线可能是该平面内 的直线，故 B 错；如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行， 那么这两个平面垂直，这是一个真命题，故 C 对；对 D 来讲， 若 c∥α，α⊥β，则 c 与 β 的位置关系不定，故选 C.
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3．设 b，c 表示两条直线，α，β 表示两个平面，下列命题 中真命题是( )
A．若 b⊂α，c∥α，则 b∥c B．若 b⊂α，b∥c，则 c∥α C．若 c∥α，c⊥β，则 α⊥β D．若 c∥α，α⊥β，则 c⊥β 答案 C
推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另 一条直线也 垂直 于这个平面．
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高考调研 2．直线与平面垂直的性质定理
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(1)如果两条直线垂直于同一个平面 ，那么这两条直线平行．
(2) 如 果 一 条 直 线 垂 直 于 一 个 平 面 ， 那 么 它 就 和 平 面 内 的 任意一条 直线垂直．
1．“直线 l 垂直于平面 α 内的无数条直线”是“l⊥α”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
()
C．充要条件 答案 B
D．既不充分又不必要条件
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2．已知 m、n 是两条不同的直线，α、β、γ 是三个不同的平 面，则下列命题中正确的是( )
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第5课时 直线、平面垂直的判定及性质
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1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解 空间中线面垂直的有关性质与判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关 系的简单命题．
D．α 与 β 相交，且交线平行于 l 答案 D 解析 因为 m⊥α，l⊥m，l⊄α，所以 l∥α.同理可得 l∥β.
又因为 m，n 为异面直线，所以 α 与 β 相交，且 l 平行于它
们的交线．故选 D.
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思考题 1 如图所示，四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面
ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是
PC 的中点．求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面 ABE. 【证明】 (1)∵PA⊥底面 ABCD，
∴BN＝12PC.∴AN＝BN，∴△ABN 为等腰三角形．
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又 M 为底边的中点， ∴MN⊥AB，又 AB∥CD，∴MN⊥CD. (2)∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD. ∵ABCD 为矩形，∴AD＝BC，∴PA＝BC. 又∵M 为 AB 的中点，∴AM＝BM. 而∠PAM＝∠CBM＝90°， ∴PM＝CM，又 N 为 PC 的中点，∴MN⊥PC. 由(1)知 MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面 PCD. 【答案】 (1)略 (2)略
5. 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC，AC＝BC＝ AA1＝2，∠ACB＝90°，E 为 BB1 的中点，∠A1DE＝90°.
求证：CD⊥平面 A1ABB1.
答案 略
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证明 连接 A1E，EC， ∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2 2. 设 AD＝x，则 BD＝2 2－x. ∴A1D2＝4＋x2，DE2＝1＋(2 2－x)2，A1E2＝(2 2)2＋1. ∵∠A1DE＝90°，∴A1D2＋DE2＝A1E2.∴x＝ 2. ∴D 为 AB 的中点．∴CD⊥AB. 又 AA1⊥CD，且 AA1∩AB＝A， ∴CD⊥平面 A1ABB1.
(1)求证：MN⊥CD； (2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面 PCD.
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【解析】 (1)连接 AC，∵PA⊥平面 ABCD， ∴PA⊥AC，在 Rt△PAC 中，N 为 PC 中点．
∴AN＝12PC. ∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BC. 又 BC⊥AB，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面 PAB，∴BC⊥PB. 从而在 Rt△PBC 中，BN 为斜边 PC 上的中线，
3．平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面 经过了另一个平面的一条垂线 ，那么两个平
面互相垂直．
4．平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线 . 的直线垂直于另一个平面．
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1．直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与平面内的两条 相交 直线垂直，那么这条直 线与这个平面 垂直 ．
平面 PAC⊥平面 ABC，且交线为 AC，∴DF⊥平面 PAC.
又 PA⊂平面 PAC，
∴DF⊥PA.作 DG⊥AB 于 G， 同理可证：DG⊥PA.
DG、DF 都在平面 ABC 内，且 DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面 ABC.
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A．若 α⊥γ，α⊥β，则 γ∥β B．若 m∥n，m⊂α，n⊂β，则 α∥β C．若 m∥n，m∥α，则 n∥α D．若 m∥n，m⊥α，n⊥β，则 α∥β 答案 D
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解析 对于选项 A，两平面 β、γ 同垂直于平面 α，平面 β 与平面 γ 可能平行，也可能相交；对于选项 B，平面 α、β 可能 平行，也可能相交；对于选项 C，直线 n 可能与平面 α 平行，也 可能在平面 α 内；对于选项 D，由 m∥n，m⊥α，∴n⊥α.又 n⊥ β，∴α∥β，故选 D.
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②连接 BE 并延长交 PC 于 H，
∵E 是△PBC 的垂心，∴PC⊥BH.
又已知 AE 是平面 PBC 的垂线，PC⊂平面 PBC，
∴PC⊥AE.又 BH∩AE＝E，∴PC⊥平面 ABE.
又 AB⊂平面 ABE，∴PC⊥AB.
∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB.
③∵DM∥BN，BN⊥平面 ECA，
∴DM⊥平面 ECA，又 DM⊂平面 DEA，
∴平面 DEA⊥平面 ECA.
【答案】 ①略 ②略 ③略
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(2)已知平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 ABC.AE⊥平 面 PBC，E 为垂足．
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4．(2013·课标全国Ⅱ)已知 m，n 为异面直线，m⊥平面 α，n
⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A．α∥β 且 l∥α
B．α⊥β 且 l⊥β
C．α 与 β 相交，且交线垂直于 l
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②取 CA 的中点 N，连接 MN、BN，则 MN 綊12EC.
∴MN∥BD，∴N 点在平面 BDM 内．
∵EC⊥平面 ABC，∴EC⊥BN.
又 CA⊥BN，∴BN⊥平面 ECA.
∵BN⊂平面 BDM，∴平面 BDM⊥平面 ECA.
①求证：PA⊥平面 ABC； ②当 E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形．
【思路】 已知条件“平面 PAB⊥平面 ABC，……”，想到 面面垂直的性质定理，便有如下解法．
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【证明】 ①在平面 ABC 内取一点 D，作 DF⊥AC 于 F.
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【证明】 ①取 EC 的中点 F，连接 DF. ∵BD∥CE，∴DB⊥BA.又 EC⊥BC， 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中， ∵EF＝12EC＝BD，FD＝BC＝AB， ∴Rt△EFD≌Rt△DBA，∴DE＝DA.
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探究 1 证线面垂直的方法有： (1)利用判定定理，它是最常用的思路． (2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则 另一条线必垂直于该平面． (3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个面内 垂直于交线的直线垂直于另一平面． ②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于 第三个平面．
∴CD⊥PA.
又 CD⊥AC，PA∩AC＝A，
故 CD⊥平面 PAC，AE⊂平面 PAC.
故 CD⊥AE.
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(2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故 PA＝AC. ∵E 是 PC 的中点，故 AE⊥PC. 由(1)知 CD⊥AE，由于 PC∩CD＝C， 从而 AE⊥平面 PCD，故 AE⊥PD. 易知 BA⊥PD，故 PD⊥平面 ABE. 【答案】 (1)略 (2)略
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例 1 如图所示，已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面，M，N 分 别是 AB，PC 的中点．