2019_2020学年高中数学课时分层作业5同角三角函数的基本关系式(含解析)新人教B版必修4

课时分层作业(五) 同角三角函数的基本关系式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若sin α＋sin 2
α＝1，那么cos 2
α＋cos 4
α的值等于( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
B [由sin α＋sin 2α＝1，得sin α＝cos 2
α，所以cos 2
α＋cos 4
α＝sin α＋sin 2
α＝1.]
2．已知α是第三象限的角，cos α＝－12
13，则sin α＝( )
A.513 B ．－513
C.512
D ．－512
B [∵α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2
α＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12132
＝－513.] 3．若α∈[0,2π)，且有1－cos 2
α＋1－sin 2
α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )
A.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，π2
B.⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π2，π
C.⎝
⎛⎭
⎪⎫π2，π
D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π，32π
B [因为1－cos 2
α＋1－sin 2
α＝sin α－cos α，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin α≥0，
cos α≤0，又α∈[0,2π)，
所以α∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π，故选B.]
4．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θ
sin θ的值是( )
A ．－2
B ．2
C ．±2
D.1
2
B [tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2
θsin θcos θ＝1sin θ cos θ＝1
1
2＝2，选B.]
5．若tan α＝3，则2sin αcos α＝( ) A ．±35
B ．－35
C ．35
D ．45
C [2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2
α＝2tan αtan 2α＋1＝610＝3
5.] 二、填空题
6．已知sin αcos α＝1
5，则sin α－cos α＝________.
±
155 [(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2
α＝1－2sin αcos α＝35
，则sin α－cos α＝±
15
5
.] 7．若tan α＋
1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2
α＋1tan 2α
＝________. 13 7 [∵tan α＋1tan α＝1
cos αsin α＝3， ∴sin αcos α＝13
.
又tan 2
α＋1tan 2 α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1tan α2－2＝9－2＝7，
∴tan 2
α＋1tan 2 α
＝7.]
8．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. －
55 [由α∈⎝
⎛⎭⎪⎫π，32π及tan α＝2， 得sin α＝2cos α<0，
又sin 2
α＋cos 2
α＝1，∴cos α＝－55
.] 三、解答题
9．已知tan α＝2
3，求下列各式的值：
(1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α
；
(2)1
sin αcos α
；
(3)sin2α－2sin αcos α＋4cos2α.
[解] cos α－sin α
cos α＋sin α
＋
cos α＋sin α
cos α－sin α
＝1－tan α
1＋tan α
＋
1＋tan α
1－tan α
＝
1－
2
3
1＋
2
3
＋
1＋
2
3
1－
2
3
＝
26
5
.
(2)1
sin αcos α＝
sin2α＋cos2α
sin αcos α
＝tan2α＋1
tan α
＝
13
6
.
(3)sin2α－2sin αcos α＋4cos2α
＝sin2α－2sin αcos α＋4cos2α
sin2α＋cos2α
＝tan2α－2tan α＋4
tan2α＋1
＝4
9
－
4
3
＋4
4
9
＋1
＝
28
13
.
10．求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
[证明]右边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α)＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝左边，
∴2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
[等级过关练]
1．已知△ABC中，tan A＝－5
12
，则cos A＝( )
A.12
13
B.
5
13
C．－5
13D．－
12
13
D[∵tan A＝－5
12
，又A是三角形的内角，∴A是钝角．
∵sin A
cos A
＝－
5
12
，
∴－5cos A＝12sin A.
又sin 2A ＋cos 2
A ＝1， ∴cos A ＝－12
13.]
2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2<θ<π，则tan θ＝( )
A.4－2m
m －3
B ．±m －3
4－2m
C ．－5
12
D ．－34或－512
C [由sin 2
θ＋cos 2
θ＝1，有⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52
＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫4－2m m ＋52
＝1，化简得m 2－8m ＝0，解得m ＝0或m
＝8，由于θ在第二象限，所以sin θ>0，m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－12
13，
得tan θ＝－5
12
.]
3．已知sin θ－cos θ＝12，则sin 3θ－cos 3
θ＝________.
1116 [由已知得，1－2sin θcos θ＝14，∴sin θcos θ＝38
. ∴sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝
⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116.]
4．若f (sin α)＝cos 2
α，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13＝________.
89
[∵f (sin α)＝cos 2α＝1－sin 2
α， ∴f (t )＝1－t 2
，－1≤t ≤1，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132
＝89
.] 5．求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α
.
[证明] 法一：右边＝tan 2
α－sin 2
α
(tan α－sin α)·tan αsin α
＝tan 2
α－tan 2
αcos 2
α
(tan α－sin α)·tan αsin α ＝tan 2
α(1－cos 2
α)
(tan α－sin α)·tan αsin α ＝tan 2
αsin 2
α
(tan α－sin α)·tan αsin α
＝
tan αsin α
tan α－sin α
＝左边，
∴等式成立．
法二：左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α
1－cos α，
右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α
＝1－cos 2
αsin α(1－cos α)＝sin 2
αsin α(1－cos α)＝sin α
1－cos α， ∴左边＝右边，等式成立．。