云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测理科数学试卷 Word版含解析

云南省高中毕业生2019年第一次复习统一检测
数学试卷（理）
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，，则的真子集共有（）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个【答案】B
【解析】
【分析】
先求得两个集合的交集，然后计算出真子集的个数.
【详解】依题意，其真子集为，只有一个真子集，故选B.
【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查真子集的个数，属于基础题.
2.已知为虚数单位，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算，对题目所给表达式进行化简.
【详解】依题意，原式，故选A.
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即
的形式，再根据题意求解.
3.设向量，，若，则（）
A. B. -1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据即可得出，解出即可．
【详解】
．
故选：
【点睛】考查主要考查向量坐标的概念以及平行向量的坐标关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4.在的二项展开式中，的系数等于（）
A. -180
B.
C.
D. 180【答案】D
【解析】
【分析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于6，求出的值，即可求得的系数．
【详解】的二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得的系数为.
故选：
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，考查二项展开式的特定项的系数的求法，属于基础题．
5.执行如图所示的程序框图，则输出的值等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
运行程序，计算的值，当时退出循环，求得输出的值.
【详解】运行程序，，判断否，，判断否，，判断否，……，以此类推，，判断是，输出.故选C.
【点睛】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出的结果，属于基础题.
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：）为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图得到几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，由此计算出几何体的体积.
【详解】由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，故体积为
，故选A.
【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查圆柱和长方体体积的计算，属于基础题.
7.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）
A. 向左平行移动个单位
B. 向右平行移动个单位
C. 向左平行移动个单位
D. 向右平行移动个单位
【答案】D
【解析】
由题将函数可化为，将的图象转换为
，再利用三角函数图像的变换求解.
【详解】由题将函数可化为，
将的图象转换为，该图象向右平移个单位，
即可得到的图象．
故选：
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
8.已知，都为锐角，若，，则的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用求得，由此求得的表达式，利用诱导公式化简，并利用齐次方程计算出的值.
【详解】由于，所以，所以
.故选B.
【点睛】本小题主要考查余弦函数的零点，考查诱导公式、二倍角公式以及齐次方程，属于中档题.
9.已知是抛物线：上的任意一点，以为圆心的圆与直线相切且经过点
，设斜率为1的直线与抛物线交于，两点，则线段的中点的纵坐标为（）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】A
【分析】
根据抛物线的定义求得抛物线的方程，设出斜率为的直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，消去，然后利用韦达定理求得中点的纵坐标.
【详解】由于为圆心的圆与直线相切且经过点，根据抛物线的定义可知为抛物线的焦点，故，，所以抛物线方程为.设斜率为的直线的方程为，
则，代入抛物线方程得，即，所以，
.即中点的纵坐标为，故选A.
【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.
10.在中，内角，，对的边分别为，，，，平分交于点，，则的面积的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，则，根据正弦定理表示出，，即可表示出三角形的的面积，再根据三角函数的化简和正弦函数的图象和性质即可求出.
【详解】设，则，，
，平分交于点，，
在三角形中，，
由正弦定理可得，
，
在三角形中，，
由正弦定理可得，
，
面积
，
，
，
，
，
当时，即时，面积最小，最小值为，
故选：
【点睛】本题考查了正弦定理的应用和三角形函数的化简，主要考查三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，属于难题．
11.双曲线的焦点是，，若双曲线上存在点，使是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据是有一个内角为的等腰三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化简后求得离心率.
【详解】不妨设在第一象限，由于是有一个内角为的等腰三角形，故，代入双曲线方程得，化简得，，解得，故.所以选C.
【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查等腰三角形的知识，属于基础题.
12.已知是自然对数的底数，不等于1的两正数，满足，若，则的最小值为（）
A. -1
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对数的运算公式，化简，求得的值，由此求得的关系式，化简
，并利用导数求得最小值.
【详解】依题意，即，由于，故上式解得，即.所以.构造函数（为不等于
的正数）.，故函数在上递减，在上递增，所以最小值为
.故选D.
【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用导数求表达式的最小值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
二、填空题：本大题共4小题。

13.若，满足约束条件，则目标函数的最大值等于_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.
【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.
【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.
14.已知随机变量服从正态分布，则_____.
【答案】8
【解析】
【分析】
由已知求得，再由得答案．
【详解】随机变量服从正态分布，，
则．
故答案为：8
【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查方差的求法，是基础题．
15.已知函数，若，则_____．
【答案】-4
【解析】
【分析】
当时，，无解；当时，，由此能求出的值．
【详解】函数，，
当时，，无解；
当时，，
解得，
（2）．
故答案为：
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，
，，，,平面平面，则球的表面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
设的中点为，证明是球的球心，由此求得球的半径，进而求得球的表面积.
【详解】设中点为，设中点为，作出图像如下图所示，由于，,平
面平面,所以,平面，故.由于，
，，所以，.所以，故点到的距离相等，所以为球心，且球的半径为，故表面积为.
【点睛】本小题主要考查几何体外接球球心的位置的求法，考查球的表面积公式，属于中档题.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.数列中，，.
（1）求，的值；
（2）已知数列的通项公式是，，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围．
【答案】（1），（2），且是正整数
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，分别令和，求得的值.（2）根据判断出数列的通
项公式为，利用裂项求和法求得的值，利用累加法求得的值，根据列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】（1）∵，
∴
∴
（2）由数列的通项公式是，，中的一个，和得数列的通项公式是
由可得
∴
∴
∵，
∴
即
由，得，解得或
∵是正整数，
∴所求的取值范围为，且是正整数
【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查裂项求和法，考查累加法，属于中档题.
18.为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了、两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在的为优质品．现从该厂生产的、两种型号的节排器中，分别随机抽取500件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组；，，，，
，，绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）设500件型产品性能质量评分的中位数为，直接写出所在的分组区间；
（2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）；
型节排器型节排器
（3）根据（2）中的列联表，能否有的把握认为、两种不同型号的节排器性能质量有差异？
附：，其中.
【答案】（1）（2）见解析（3）有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异.
【解析】
【分析】
（1）中位数左边和右边的频率各占一半，由此判断出中位数所在区间是.（2）根据题目所给数据填写好联表.（2）计算的值，由此判断出有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异.
【详解】解：（1）；
（2）列联表如下：
（3）由于
所以有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异.
【点睛】本小题主要考查由频率分布直方图判断中位数的位置，考查列联表及独立性检验，属于基础题.
19.在四棱锥中，四边形为菱形，且，，分别为棱，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面，，求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】（1）见证明（2）
【解析】
【分析】
（1）设的中点为，连接，，先证明，即证平面；（2）连接，
，设，连接，连接. 分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.再利用向量方法求平面与平面所成二面角的正弦值为.
【详解】（1）证明：设的中点为，连接，.
∵，分别是，的中点，
∴，且.
由已知得，且.
∴，且.
∴四边形是平行四边形.
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
（2）连接，，设，连接，连接.
设菱形的边长为，由题设得，，，
平面，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题设得，，，，，
∴，.
设是平面的法向量，
则，化简得，
令，则，.∴.
同理可求得平面的一个法向量.
∴.
∴平面与平面所成二面角的正弦值为.
【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查空间角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理转化能力.
20.已知椭圆的中心在原点，左焦点、右焦点都在轴上，点是椭圆上的动点，
的面积的最大值为，在轴上方使成立的点只有一个．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的两直线，分别与椭圆交于点，和点，，且，比较
与的大小．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据已知设椭圆的方程为，由已知分析得
，解得，即得椭圆的方程为.（2）先证明直线
的斜率为0或不存在时，.再证明若的斜率存在且不为0时，
.
【详解】（1）根据已知设椭圆的方程为，.
在轴上方使成立的点只有一个，
∴在轴上方使成立的点是椭圆的短轴的端点.
当点是短轴的端点时，由已知得，
解得.
∴椭圆的方程为.
（2）.
若直线的斜率为0或不存在时，且或且
.
由，
得.
若的斜率存在且不为0时，设：，
由得，
设，，则，，
于是.
同理可得.
∴.
∴.
综上.
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
21.已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是. （1）求函数在点处的切线方程；
（2）求证：函数只有一个零点，且；
（3）用表示，的最小值，设，，若函数
在上为增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）见证明（3）
【解析】
【分析】
(1)利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程为.（2）先计算得
，所以存在零点，且.再证明在上是减函数，即得证函数只有一个零点，且.(3)由题得，
在为增函数在，恒成立，即在区间上
恒成立. 设，只需证明，再利导数求得的最小值
，.
【详解】（1）∵，
∴切线的斜率，.
∴函数在点处的切线方程为.
（2）证明：∵，，
∴，，，
∴存在零点，且.
∵，
∴当时，；
当时，由得
.
∴在上是减函数.
∴若，，，则.
∴函数只有一个零点，且.
（3）解：，故，
∵函数只有一个零点，
∴，即.
∴.
∴在为增函数在，恒成立.
当时，即在区间上恒成立.
设，只需，
，在单调减，在单调增.
的最小值，.
当时，，由上述得，则在恒成立.
综上述，实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线的方程的求法，考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究函数的恒成立问题和最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知常数是实数，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出的普通方程与的直角坐标方程；
（2）设曲线与相交于，两点，求的最小值．
【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为（2）8
【解析】
【分析】
（1）将的参数方程消去，得到的普通方程.对的极坐标方程两边乘以，由此求得的直角坐标方程.（2）联立的直角坐标方程，写出韦达定理，然后根据弦长公式求得的表达式，进而求得的最小值.
【详解】（1）的普通方程为
的直角坐标方程为
（2）设，则
由得，
∴，
∴
当时，
∴的最小值等于8
【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，
考查弦长公式，属于中档题.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对分成
和两类，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得的取值范围.
【详解】（1）当时，
由得
由得
解：，得
∴当时，关于的不等式的解集为
（2）①当时，，
所以在上是减函数，在是增函数，所以，
由题设得，解得.②当时，同理求得.
综上所述，的取值范围为.
【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.。