河北省定州中学新高三数学上学期周练试题(四)

河北定州中学2017届新高三数学周练（四）
一、选择题：共12题 每题5分 共60分
1．已知O 为坐标原点，双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为(,0)(0)F c c ->，以OF 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于A,B ，O 三点，且()0AO AF OF +⋅=u u u r u u u r u u u r
．关于x 的方程2
ax bx c +-=的两个实数根分别为
1
x 和
2
x ，则以
12,,2
x x 为边长的三角形的形状是（ ）
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ． 锐角三角形
D ．等腰直角三角形
2．已知(2,4),(3,)a b m =-=-r r
，若0
a b a b +⋅=r r r r ，则实数m =（ ） A ．3
2 B ．
3 C ．6 D ．8
3．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()2,0111,12x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩则方程
()1
f x x =在[]-3,5上的所有实根之和为（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
4．已知直线1y x =-与双曲线
22
1ax by +=（0,0a b ><）的渐近线交于,A B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为
3b a
的值（ ）
A ．23．3．
93．23
5．已知抛物线C ：2
8y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且||2|AK AF =，
则AFK ∆的面积为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6．已知
()x
f x x e =⋅，又
2
()()()g x f x t f x =+⋅()t R ∈若满足()1g x =-的x 有四个，则t 的取值范围为（ ）
A ．21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭
B ．21,e e ⎛⎫
+-∞- ⎪⎝⎭
2
C ．21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭
D ．212,e e ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
7．设12,F F 是双曲线2
2
14y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使
()
220OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r （O 为坐标原点）且12
PF PF λ=u u u r u u u u r 则λ的值为（ ）
A ．2
B ．12
C ．3
D ．1
3
8．已知函数
2()2ln f x x x
=-与()sin()g x x ωϕ=+有两个公共点，则在下列函数中满足条件的
周期最大的()g x =（ ）
A ．
sin(2)2x ππ- B ．sin()
22x ππ
- C ．sin()2x ππ- D ．
sin()2x π
π+ 9．已知函数
()()()
21131x f x e ax a +=++-，若存在
()
0,x ∈+∞，使得不等式
()1
f x <成立，则
实数a 的取值范围为（ ）
A ．()20,31e e ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭
B ．20,1e ⎛⎫ ⎪
+⎝⎭ C ．()2,31e e ⎛⎫+-∞ ⎪ ⎪+⎝⎭ D ．
1,1e ⎛⎫-∞ ⎪+⎝⎭ 10．点A 是抛物线()2
1:20C y px p =>与双曲线()22
222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线的交
点，若点A 到抛物线
1
C 的准线的距离为p ，则双曲线2C
的离心率等于（ ）
A 23 C 56
11．已知函数
()21,11,11x x f x x x x --≤≤=-<->⎪⎩或，且函数()()2g x f x kx k =-+有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．
30k ≤≤ B ．1
03k -≤≤或
3k =
C ．
3k ≤-
或1
3k =-
D ．313k -≤≤-或0k = 12．过双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>左支上一点A 作相互垂直的两条直线分别经过两焦点12,F F ,
其中一条与双曲线交于点B ，若()
220
AB AF BF +⋅=u u u r u u u u r u u u u r ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．522+
B ．522-
C ．422+
D ．422-
二、填空题：共4题 每题5分 共20分
13．已知抛物线
x y 42
=与经过该抛物线焦点的直线l 在第一象限的交点为A A ,在y 轴和准线上的投影分别为点,B C ，
2AB
BC
=，则直线l 的斜率为 ．
14．已知1F 、2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且1
2PF PF ⊥u u u r u u u u r .若
12
PF F ∆的面积为9，则b =____________.
15．已知)2,1(A ,)2,1(-B ,动点P 满足BP AP ⊥,若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的渐近线与
动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 .
16．已知函数
()()2
24,04log 22,46x x x f x x x ⎧-+≤<⎪=⎨
-+≤≤⎪⎩，若存在1x ，2R x ∈，当12046x x ≤<≤≤时，()()
12f x f x =，则
()
12x f x 的取值范围是 ．
三、解答题：共8题 共70分
17．已知函数
()()()ln 0x a
f x ax a x -=-
≠．
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数n ，均有1＋12＋13…＋1
n ≥ln
!n e n （e 为自然对数的底数）．
18．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。

现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别
123,,p p p ，假设123,,p p p 互
4
不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
（1）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为
123,,q q q ，其中123,,q q q 是
123,,p p p 的一个排列，求所需要派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）
；
（3）假定
3211
p p p <<<，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的
均值（数字期望）达到最小．
19．已知函数
3
().f x x x =- （1）求曲线()y f x =在点(1,0)M 处的切线方程；
（2）如果过点(1,)b 可作曲线()y f x =的三条切线, 求实数b 的取值范围.
20．如图，12
F F 、分别是椭圆22
22
:1(0)x y C a b a b +=>> 的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，
B 是直线2AF 与椭圆
C 的另一个交点，1260F AF ∠=o
.
（1）求椭圆C 的离心率； （2）若
1AF B
∆的面积为3求椭圆C 的方程．
21．已知函数
2
1()ln (1)2
f x a x x a x
=+
-+(1)a ≥. （1）讨论()f x 的单调性与极值点；
（2）若
2
1()1(1)2g x x x x =
-->，证明：当1a =时，()g x 的图象恒在()f x 的图象上方；
（3）证明：
22
22ln 2ln 3ln 21234(1)n n n n n --+++<+L *(,2)n N n ∈≥. 22．已知函数),(22)(R a R x ax e x f x
∈∈--=.
（1）当1=a 时，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程；
（2）当0≥x 时，若不等式0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.
23．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，DC AB //，
ο60,4,3,5,=∠===⊥PAD AD DC BC AD AB
（1）若M 为PA 的中点,求证://DM 平面PBC ； （2）求三棱锥PBC D -的体积.
24．已知函数
)3cos(cos )(π
-
⋅=x x x f .
（1）求
)
32(
πf 的值； （2）求使41
)(<
x f 成立的x 的取值集合.
6
参考答案 1．A 【解析】
试题分析：因为
()0AO AF OF +⋅=u u u r u u u r u u u r ，所以三角形OAF 为等腰直角三角形，即,2a b c a ==，所以
12121,2x x x x +=-=-，
22
2222
12121212()212242x x x x x x x x +=+=+-=+<=所以该
三角形为钝角三角形，故选A ．
考点：1．双曲线的标准方程与几何性质；2．向量加法及数量积的几何意义；3．余弦定理．
【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质、向量加法及数量积的几何意义、余弦定理，中档题．圆锥曲线的几何性质与正、余弦定理是高考的高频考点，，本题将两者及向量有机的结合在一起，体现了试题的综合性与学生分析、解决问题的能力玘运算能力，是本题的亮点． 2．C 【解析】 试题分析：
2222202(4)(3)2(3)4259640
a b a b m m m m +⋅=⇒+-⋅-++⨯--=⨯+--=r r r r
,解之
得6m =，故选C ．
考点：1．向量坐标运算；2．向量的数量积与模． 3．C 【解析】
试题分析：由题意可知，当[3,3]x ∈-时，由奇函数性质可知，
()1
f x x =
的所有实根之和为0，当
(3,4]x ∈时，6
()2
x f x -=,由
61
()2x f x x -==
得4x =，当当(4,5]x ∈时，8
()2x f x -=,方程
81()2x f x x -==
无解,所以在区间[]-3,5，方程()
1
f x x =的所有实根之和为4．
考点：1．函数的奇偶性；2．分段函数与函数的周期性；3．函数与方程．
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、分段函数与函数的周期性、函数与方程，难题；函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-有零点⇔函数()()y f x g x =-在
x 轴有交点⇔方程()()0f x g x -=有根⇔函数()y f x =与
()y g x =有交点．
4．B 【解析】
试题分析：双曲线22
1ax by +=的渐近线方程可表示为220ax by +=，由2210y x ax by =-⎧⎨+=⎩得
2
()20a b x bx b +-+=，设1122(,),(,)A x y A x y ，则
121222,b a
x x y y a b a b +=
+=++，所以原点和
线段AB
中点的直线的斜率为12
12121222y y y y a k x x x x b ++====++，故选B ．
考点：1．双曲线的标准方程与几何性质；2．直线的斜率．
【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质、直线的斜率，中档题；双曲线
22
0ax by +=的渐近线方程为22
0ax by +=（即在双曲线的标准方程中，将右边的1改为0即可），将直线1y x
=-代入这个渐近线方程得到的一元二次方程的根即为,A B 两点的坐标，由根与系数关系可得到所求结果．
5．B 【解析】
试题分析：由题意，得(2,0)F ，抛物线的准线方程为2x =-，所以(2,0)K -．设(,)A x y ，则由抛
物线的定义，知||2AF x =+
，所以||2)AK x =+，即222(2)2(2)x y x ++=+．又
2
8y x =，所以2x =，||4y =，所以011
||||448
22AFK S KF y ∆⋅⨯⨯===，故选B ．
考点：抛物线的定义及几何性质．
6．B 【解析】
试题分析：依题意2()()()1g x f x t f x =+⋅=-，即()()21()12()f x t f x f x f x ⎛⎫
--==-+≤- ⎪ ⎪⎝⎭，由于这个是对钩函数，可排除A ，C ，D.也可以画出函数
()()1f x f x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭图象如下图所示，要有四个交点，则选B.
8
考点：函数图象与性质.
【思路点晴】先按题意，
2
()()()1g x f x t f x =+⋅=-我们将其分类参数，也就是说，把含有t 的放一边，其它的方另外一边，得到
()()21()
1()f x t f x f x f x ⎛⎫
--==-+ ⎪ ⎪⎝⎭，此时，可以利用基本不等式得到2t ≤-，由于这个是对钩函数，易排除A ，C ，D.当我们在研究两个函数有四个零点问题的时候，也可以先分离参数，将不含参数部分的图象画出来，根据图象来求参数的取值范围.
7．A 【解析】
试题分析：画出图象如下图所示，依题意可知四边形
2POF Q
为菱形，所以
2OF OP
=,设
()
00,P x y ，
则22
14y x -=，且2220025x y OF +==，解得
,55P ⎪⎝⎭,则212,4,2PF PF λ===.
考点：1.双曲线；2.向量运算.
【思路点晴】有关圆锥曲线的题目，由图双曲线的方程已经知道了，那么我们就先按题意将图形画出来，这是做圆锥曲线题目的时候第一步要做的.由于题目中(
)
220
OP OF F P +•=u u u r u u u u r u u u u r ，也就是平行四
边形
2POF Q
的对角线相互垂直，所以可以判断它为菱形，这样它的一组邻边就相等，设出点的坐
标，然后解出点的坐标，题目就解决出来了.
8．C
【解析】
试题分析：画出函数
()
f x
的图象如下图所示，由图可知，函数
()
f x
过
()()
1,1,1,1
-
，经验证可知C正确.
考点：三角函数.
9．C
【解析】
试题分析：因为
,A B，所以MA MB
⋅
，则
()()
f x x m x m R
=-+∈
，则要使m，则0,0,0
a b c
>>>，可转化为：存在2
a b c m
++=使得
11
+1
a b b c
≥
++成立．设
()21
13
e
g x
e x
+
=⋅
++，则
()
max
a g x
<
．因为0
x>，则33
x+>，从而
11
33
x
<
+，所以
()
()
2
31
e
g x
e
+
<
+
，即
()
2
31
e
a
e
+
<
+
，选C．
考点：1.函数中的存在性问题；2.函数的最值．
【易错点晴】本题主要考查的是函数中的存在性问题，属于中档题．本题首先利用已知条件确定2111
x
e e
++>+，从而要使()1
f x<
，则
1
31
1
ax a
e
+-<
+．本题容易想到的方法是求函数
()
f x 的最小值，利用导数求解，使得问题更加复杂．本题容易犯得错误是：存在性问题与恒成立问题分不清，对于求最大值还是最小值混淆．
10．C
【解析】
试题分析：双曲线的渐近线方程为：
x
a
b
y=
，由题意可求得点
)
,
2
(p
p
A
代入渐近线得
2
2
=
=
p
p
a
b
，
10
2()4b a ∴=
，222
4c a a -∴=，25e ∴=，5e ∴=，故选C.
考点：圆锥曲线的性质.
11．B 【解析】 试题分析：设()
y f x =，则当11x -≤≤时，有()2210x y y +=≥，表示单位圆位于x 轴上方的部
分; 由
()0g x =可得
()()2f x k x =-，表示过点
()
2,0P ，斜率为k 的直线.作出
()
f x 的图象，
如下图所示.要使函数
()()2g x f x kx k
=-+有两个不同的零点，则
()
y f x =的图象与直线
()
2y k x =-总有两个交点.由图象可知，切线PM 与函数图象有且只有两个交点，当切线绕点P 按
逆时针方向旋转到PA 的过程中与函数图象有三个交点，从PA 已知旋转到与x 轴重合时，直线与函
数图象总有两个交点.所以k 的取值范围是PM k k =或0
PA k k ≤≤，由直线与圆相切可知33PM k =-
,由斜率公式可得13PA k =-，所以1
03k -≤≤或
33k =-
，故选B.
考点：函数的零点.
【方法点睛】本题主要考查了函数的零点问题，考查了转化的思想及数形结合的思想，属于中档题.解答本题时，首先把函数
()()2g x f x kx k
=-+有两个不同的零点转化为函数
()
y f x =与直线
()
2y k x =-有两个不同的交点，通过作出函数
()y f x =的图象直线
()
2y k x =-的意义找出满足
条件的斜率k 的范围，作函数
()
y f x =的图象时，要注意对方程进行等价变形，就是说在,x y 范围
不变的情况下，把方程转化为我们熟悉的形式，来确定函数图象. 12．B 【解析】 试题分析：由于
(
)
220
AB AF BF +⋅=u u u r u u u u r u u u u r ，所以
2
ABF ∆为等腰三角形，设
21,AF m AF x
==，又
2
AB AF =
可知
122,BF m x a BF =-==，由双曲线的定义可知
212BF BF a
-=
，所以
22,4a a a m -=∴=
，又因为2m x a -=
，解得22x m
=，在12AF F ∆中，由勾股定
理可得
2c m
==
，所以双曲线的离心率为c
e a == B.
考点：双曲线的简单几何性质.
【方法点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，考查了双曲线定义的应用，属于中档题.本题解答的关键是根据条件
(
)
220
AB AF BF +⋅=u u u r u u u u r u u u u r 得到
2
ABF ∆为等腰三角形，由于,A B 是双曲线上的
点，所以考虑应用双曲线的定义，设21,AF m AF x
==，这样就可用m 分别表示出,,a c x ，由离
心率的定义即可求得答案. 13
．【解析】
试题分析：设
00(,)
A x y ，则
0,1
AB x BC ==，由
21
AB x BC ==，
所以
002,x y ===又焦点(1,0)F ，所以直线l
的斜率为
21k =
=-
考点：抛物线的标准方程与几何性质．
【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质,中档题；在解抛物线有关的问题时，一定要注意定义的应用，即抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习． 14．3 【解析】
试题分析：由12PF PF ⊥u u u r u u u u r
知01290F PF ∠=，则由题意，得
12122221221
92
4PF PF a
PF PF PF PF c ⎧=⎪⎪⋅=⎨⎪⎪=⎩
＋＋，可得
224364c a +=，即229a c -=，所以3b =．
考点：椭圆的定义及几何性质．
12
15．(1,2） 【解析】
试题分析：根据条件⊥，可得P 点的轨迹方程
22
(2)1x y +-=，求出双曲线的渐近线方程b
y x
a =
，运用圆心到直线的距离大于半径，得到223a b >，再由222b c a =-，得出离心率2c e a =
<，又双曲线离心率1e >，所以12e <<，所以答案应填：(1,2）．
考点：双曲线的离心率．
【思路点晴】本题主要考查的是求轨迹方程和双曲线的简单几何性质，及圆与直线的位置关系，属
于难题．本题利用条件得出动点的轨迹方程为圆
22(2)1x y +-=，要求圆与双曲线的渐近线无公共点，根据对称性不妨取渐近线
b y x a =
，即圆与b
y x a =无公共点，利用圆心到直线的距离与半径
的关系，可求出22
3a b >，根据双曲线的离心率公式得出其范围．
16．
]27256
,
0[
【解析】
试题分析：本题考查分段函数的图象、分段函数的最值、导数的知识在求最值中的运用.检测建立目标函数的解析式，以及求目标函数最大值的思想和方法.检测转化与化归的数学思想和方法及运用所
学知识去分析问题和解决问题的能力. 因为()()12f x f x =1214x x +-=，所以()12x f x 可化为)40(4)4()(131
21
12
1
11<≤-=+-=x x x x x x x h ，因此)
38
(338)(112111/--=-=x x x x x h ，于是当
)38,0[1∈x 时，)(,0)(11/x h x h >单调递增；当)4,38(1
∈x 时，)(,0)(11/x h x h <单调递减；即当381=
x 时，)(1x h 取最大值27256
)38(=
h ；当01=x 取最小值0)0(=h ，所以()12x f x 的取值范围是
]27256
,
0[.
考点：分段函数、求导运算的法则、最值的求解及建立函数，模型的数学思想及分析问题解决问题的能力.
17．（Ⅰ）当0>a 时， 函数在(0,)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数， 2min ()()ln f x f a a ==，
无最大值; 当0<a 时，函数在(,)a -∞上是减函数，在(,0)a 上是增函数，2min ()()ln f x f a a ==，
无最大值；（Ⅱ）见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求导可得
2()x a
f x x -'=
,分0a >与0a <分别求()0f x '>与()0f x '>的解集，
从而得到其单调区间及受益人最值；（Ⅱ）由（Ⅰ）,取1a =可得
1
()ln (1)0x f x x f x -=-
≥=，
所以有11ln ln
e
x x
x ≥-=，令1,2,3,,x n =L ，代入不等式并相加可证结论成立． 试题解析： （1）解：由题意
2()x a
f x x -'=
．
当0>a 时，函数)(x f 的定义域为),0(+∞，
此时函数在(0,)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数，
2
min ()()ln f x f a a ==，无最大值．
当0<a 时，函数)(x f 的定义域为)0,(-∞，
此时函数在(,)a -∞上是减函数，在(,0)a 上是增函数，
2
min ()()ln f x f a a ==，无最大值．
（2）取1=a ，由⑴知
0)1(1
ln )(=≥--
=f x x x x f ，
故x e
x x
ln
ln 11=-≥， 取1,2,3,x n =L ，则
!ln
131211n e n n ≥++++Λ． 考点：1．导数与函数的单调性、最值；2．函数与不等式． 18．（1）
123122331123
P P P P PP P P P P PP P =++---+，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任
务能被完成的概率不发生变化；（2）分布列见解析，121223
EX q q q q =--+；（3）先派甲,再派乙,
最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小． 【解析】
14
试题分析：（1） 无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是可以解得，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，则可得；（2） 首先得出X 的所有可能取值，然后分别求出相应概率，从而列出分布列，算出均值；（3）由（2）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值． 试题解析：（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为
()()()112123111P P P P P P P =+-+--123122331123
P P P PP P P P P PP P =++---+．
若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为
()()()113132111P P P P P P P =+-+--123122331123
P P P PP P P P P PP P =++---+，
发现任务能完成的概率是一样.
同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化. （2）由题意得X 可能取值为1,2,3 ∴
()()()()()()
112121;21;311P X q P X q q P X q q ====-==--，
∴其分布列为:
()()()11212121212131123
EX q q q q q q q q q ∴=⨯+⨯-+⨯--=--+． （3）
()()()12122123211E X q q q q q q =--+=--+,
p p p 123
1>>>
∴要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小, 则只能先派甲、乙中的一人. ∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则1121223
EX p p p p =--+；
若先派乙,再派甲,最后派丙, 则
2122123
EX p p p p =--+，
()()12121212212123230
EX EX p p p p p p p p p p ∴-=--+---+=-<，
∴先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小．
考点：1、相互独立事件的概率；2、离散型随机变量的分布列与数学期望． 【警示点睛】求解相互独立事件时，要注意：（1）正确设出有关事件；（2）在应用相互独立事件的概率乘法公式时，要认真审题，注意关键词“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”的意义，正确地将其转化为互斥事件进行求解；（3）正面计算较繁或难于入手时，可以从其对立事件入手进行计算．
19．（1）22y x =- ；（2） (1, 0)b ∈-．
【解析】 试题分析：（1）首先求出导函数，然后利用利用导数的几何意义求得切线的斜率，从而利用点斜式求得切线方程；（2）首先设出切点，然后将问题转化为方程
32
002310
x x b -++=有三个不同的实数
解，由此转化为函数
32
()231g x x x b =-++有三个不同的零点，从而利用导数函数()g x 的零点，进而求得b 的取值范围．
试题解析：（1）
2'()3 1.f x x =- '(1)2f ∴=.
曲线()y f x =在点(1,0)M 处的切线方程为:22y x =- . （2）
3000(, ), x x x -设切点则切线方程为3
0000 () '()()
y x x f x x x --=-.
(1, ), b 又切线过点所以23
0000(31)(1)x x x x b --+-=， 即32002310
x x b -++=.
由题意, 上述关于
x 方程有三个不同的实数解.
记
32()231,().g x x x b g x =-++则有三个不同的零点 '()6(1), (0)(1)0, (1, 0).g x x x g g b =-<∈-而则即可也就是
考点：1、导数的几何意义；2、函数零点．
20．（1）1
2；（2）221
10075x y +=．
【解析】
试题分析：（1）由题意知
12
AF F ∆为等边三角形，从而得到,a c 的关系式，进而求得离心率；（2）首
先根据椭圆的性质得到,b c 的关系式，然后设出直线AB 的方程，并代入椭圆方程得到B 点坐标，
从而求得||AB ，再根据三角形面积公式求得,a b 的值，进而求得椭圆的方程；别解：设AB t ＝，
然后利用椭圆的定义表示出
1
BF 的长，再利用余弦定理得到,t a 的关系式，从而根据三角形面积公
式求得,a b 的值，进而求得椭圆的方程．
试题解析：（1）由题意可知，
12
AF F ∆为等边三角形，2a c ＝
，所以1
e=
2.
（2） （ 方法一）2
24a c ＝
，223b c ＝. 直线AB 的方程可为3()y x c =-．
16
将其代入椭圆方程222
3412x y c ＋＝，得833(,)5B c c -
所以
816
||13|0|55AB c c
=+⋅-= 由12
11118323|||sin 403
22525AF B S AF AB F AB a a a ∆=⎪⋅∠=⋅⋅==
解得10a =，53b =，
22
1.
10075x y C ∴+=椭圆的方程为
（方法二）设AB t
＝. 因为
2AF a
＝，所以
2BF t a
＝－．
由椭圆定义
122BF BF a
＋＝可知，
13BF a t
＝－．
再由余弦定理2
2
2
326)0(a t a t atcos ︒－＝＋－
可得，8
5t a =
．
由12
11118323|||sin 403
22525AF B S AF AB F AB a a a ∆=⎪⋅∠=⋅⋅==10a =，53b =，
22
1.
10075x y C ∴+=椭圆的方程为
考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．
21．（1）当1a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，无极值点，当1a >时，()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)a 上单调递减，极大值点为1x =，极小值点为x a =；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）先求导，得'
(1)()()x x a f x x --=
，当1a =时，2'
(1)()0x f x x -=≥，所以()f x 在
(0,)+∞单调递增，此时()f x 无极值点. 当1a >时，()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)
a 上单调递减.
1x =为极大值点，x a =为极小值点；（2）当1a =时，令()()()1ln F x g x f x x x =-=--，通过
导数判断()F x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0F x F ≥=，∴1x >时，()0F x >恒成立；
（3）由（2）知()(1)0F x F ≥=，即ln 1x x ≤-，ln 1
1x x x ≤-，令2*()x n n N =∈，则22
2ln 11n n n ≤-，∴22ln 11
(1)2n n
n ≤-，代入不等式即可证明. 试题解析：
（1）
2'
(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x -++--=+-+==
(0)x >， 当1a =时，2
'
(1)()0
x f x x -=≥在(0,)+∞上恒成立，
所以()f x 在(0,)+∞单调递增，此时()f x 无极值点.
当1a >时，'
()f x ，()f x 在(0,)+∞上的变化情况如下表：
x (0,1)
1 (1,)a
a
(,)a +∞
'()f x +
-
+ ()f x
递增
极大值(1)f
递减
极小值()f a
递增
由此表可知()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)a 上单调递减.
1x =为极大值点，x a =为极小值点.
（2）当1a =时，令()()()1ln F x g x f x x x =-=--，
'11
()1x F x x x -=-
=，当1x >时，'()0F x >，01x <<时，'()0F x <，
∴()F x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增， ∴()(1)0F x F ≥=，∴1x >时，()0F x >恒成立. 即1x >时，()()g x f x >恒成立，
∴当1x >时，()g x 的图象恒在()f x 的图象上方. （3）由（2）知()(1)0F x F ≥=，即ln 1x x ≤-，
∵0x >，∴ln 1
1x x
x ≤-
，
18
令2*()x n n N =∈，则222ln 11n n n ≤-，∴22ln 11
(1)2n n n ≤- ∴222222
ln 2ln 3ln 1111
(111)23223n n n +++≤-+-++-L L 22211111()2223n n -=
-+++L
11111()222334(1)n n n -<-+++⨯⨯+L 11111111()2223341n n n -=
--+-++-+L
2111121()22214(1)n n n n n ---=--=++
∴不等式成立.
考点：1.函数导数；2.分类讨论的数学思想；3.不等式证明.
【方法点晴】有关导数极值、最值的分类讨论问题，按步骤，先求导，通分，在画导函数图像的过程中，发现有参数a 无法确定，这个时候就要对参数a 进行分类讨论. 要证明“当1a =时，()g x 的
图象恒在()f x 的图象上方”，实际就是要证明()()0
g x f x -≥恒成立，这样只需要
()()()1ln 0F x g x f x x x =-=--≥利用导数即可证明.
22．（1）(21)2y e x =--；（2）(,2]-∞． 【解析】
试题分析：（1）根据导数的几何意义，曲线)
(x f y =在
1
=x 处的切线方程的斜率就是'1f （），写出
点斜式方程即可；（2）因为
'()2x f x e a
=-，根据a 分类讨论，分类讨论
≤a 时，
)('>x f 恒成
立，
)
(x f 在R 上单调递增，所以
)0()(=≥f x f ，符合题意．若 0>a ，则当)2ln ,(a
x -∞∈时，0)('
<x f ，)(x f 单调递减，分析定义域端点与
ln
2a 的大小关系，若0>a ，则当0
2ln ≤a
，即
20≤<a 时，则当),0[+∞∈x 时，0)0()(=≥f x f ，符合题意. 当
02ln
>a
，即2>a 时，则当
)
2ln ,0(a
x ∈时，)(x f 单调递增，0)0()(=<f x f ，不符合题意.
试题解析：（1）当1=a 时，
12)1(,12)(,22)('
'-=-=--=e f e x f x e x f x x ， 即曲线)(x f y =在1=x 处的切线的斜率12-=e k ，又,32)1(-=e f 所以所求的切线方程是.2)12(--=x e y
（2）易知
.2)('a e x f x
-= 若0≤a ，则0)('
>x f 恒成立，)(x f 在R 上单调递增；
若 0>a ，则当)2ln ,(a x -∞∈时，0)('
<x f ，)(x f 单调递减， 当),2(ln +∞∈a
x 时，0)('
>x f ，)(x f 单调递增.
又0)0(=f ，所以若0≤a ，则当),0[+∞∈x 时，0)0()(=≥f x f ，符合题意.
若0>a ，则当
02ln
≤a ，即20≤<a 时，则当),0[+∞∈x 时，0)0()(=≥f x f ，符合题意.
当
02ln
>a ，即2>a 时，则当
)2ln ,0(a
x ∈时，)(x f 单调递增，0)0()(=<f x f ，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围是].2,(-∞
考点：1、导数的几何意义；2、利用导数求函数单调区间、最值；3分类讨论．
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、分类讨论的思想和方法，属于难题．利用导数求函数
()
f x 的最值的步骤：①确定函数
()
f x 的定义域；②对
()
f x 求导；③求方程
()0
f x '=的所有实数根；④列表格．本题可以通过分类讨论，知函数在所求
区间上增或者减，或者先增后减，从而求出最大值． 23．（1）证明见解析；（2）38． 【解析】
试题分析：（1）利用MN 是AB 中位线，从而
1
,32MN AB MN AB =
=P ，又DC AB //，3DC =，
所以四边形MNCD 为平行四边形，故DM CN P ，从而证//DM 平面PBC ；（2）转换三棱锥顶点可得：
D PBC P DBC
V V --=，易知PD 是棱锥的高，从而求其体积．
试题解析：（1）如图,取PB 的中点N,连接MN,CN.在△PAB 中,∵M 是PA 的中点,
∴MN∥AB,MN=1
2AB=3,
又CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD,
∴四边形MNCD为平行四边形,∴DM∥CN.
又DM⊄平面PBC,CN⊂平面PBC,
∴DM∥平面PBC.
（2）D C
V
-PB=D C
V
P-B=
1
3S
△DBC·PD,又S△DBC=6,PD=
3
4,所以错误!未找到引用源。

=3
8.
考点：1、线面平行；2、三棱锥体积．
【方法点晴】本题主要考查的是线面平行、三棱锥的体积及空间想象力，属于中档题．解题时一定要注意中点这个条件的暗示作用，一般要利用中位线得到直线平行，如果中位线不行，考虑构造平行四边形，利用平行四边形得线线平行，从而得线面平行，也可考虑面面平行得线面平行．在求三棱锥体积时，如果高不易寻找，可考虑变换三棱锥顶点，从而易于求高．
24．（1）
1
4
-
；（2）
5π11π
|ππ,
1212
x k x k k
⎧⎫
+<<+∈
⎨⎬
⎩⎭
Z
．
【解析】
试题分析：（1）直接代入解析式即可；（2）由两角差的余弦公式，及正余弦二倍角公式和辅助角公
式得
1π1
()cos2
234
f x x
⎛⎫
=-+
⎪
⎝⎭，转化为
π
cos2<0
3
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭，利用余弦函数图象得
3
222
232
k x k
πππ
ππ
＋＜－＜＋
，k Z
∈，从而求解．
试题解析：（1）
2π2ππ
cos cos
333
f
⎛⎫
=⋅
⎪
⎝⎭
＝
ππ
cos cos
33
-⋅
＝
2
11
24
⎛⎫
-=-
⎪
⎝⎭.
20
（2）f（x）＝cos x·
πcos
3
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＝cos x
·
1
cos
22
x x ⎛⎫
+
⎪ ⎪⎝⎭
＝1π1 cos2
234
x
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭.
f（x）＜1
4等价于
1π11
cos2
2344
x
⎛⎫
-+<
⎪
⎝⎭，即
π
cos2<0
3
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭.
于是2kπ＋π
2＜2x－
π
3＜2kπ＋
3π
2，k∈Z. 解得kπ＋
5π
12＜x＜kπ＋
11π
12，k∈Z.
故使f（x）＜1
4成立的x的取值集合为
5π11π
|ππ,
1212
x k x k k
⎧⎫
+<<+∈
⎨⎬
⎩⎭
Z
.
考点：1、二倍角公式；2、辅助角公式；3、余弦函数图象与性质．。