河南省洛阳市2019-2020学年中考数学一月模拟试卷含解析

河南省洛阳市2019-2020学年中考数学一月模拟试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，在Rt ABC ∆中，90C =o ∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（ ）
A ．
3
5
B ．
45
C ．
34
D ．
43
2．如图，等边△ABC 的边长为4，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，动点M 从点A 向点B 匀速运动，同时动点N 沿B ﹣D ﹣E 匀速运动，点M ，N 同时出发且运动速度相同，点M 到点B 时两点同时停止运动，设点M 走过的路程为x ，△AMN 的面积为y ，能大致刻画y 与x 的函数关系的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知△ABC ，D 是AC 上一点，尺规在AB 上确定一点E ，使△ADE ∽△ABC ，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A ．
B ．
C．D．
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b
PA=，5．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如果60
∠=o，8
APB
那么弦AB的长是（）
A．4B．43C．8D．83
6．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝(k≠0)图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，那么一次函数y＝kx－k的图象不经过()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA
C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°
8．如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
9．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.1． 其中合理的是（ ） A ．①
B ．②
C ．①②
D ．①③
10．1﹣2的相反数是（ ） A ．1﹣2
B ．2﹣1
C ．2
D ．﹣1
11．如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，F 是高AD 和BE 的交点，CD=4，则线段DF 的长度为( )
A ．22
B ．4
C ．32
D ．42
12．某市公园的东、西、南、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（ ） A ．
1
2
B ．
14
C ．
16
D ．
116
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．在Rt △ABC 内有边长分别为2，x ，3的三个正方形如图摆放，则中间的正方形的边长x 的值为_____．
14．为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了13份试卷成绩，结果如下：3个140分，4个135分，2个130分，2个120分，1个100分，1个80分．则这组数据的中位数为______分． 15．化简
))
2017
2018
21
21
的结果为_____．
16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降2.5m，水面宽度增加_____m．
17．分解因式：2x2﹣8=_____________
18．甲、乙两点在边长为100m的正方形ABCD上按顺时针方向运动，甲的速度为5m/秒，乙的速度为10m/秒，甲从A点出发，乙从CD边的中点出发，则经过__秒，甲乙两点第一次在同一边上．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠F=30°，EB=6，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
20．（6分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以点A，B，C为圆心作圆，分别交BA，CB，DC的延长线于点E，F，G．
（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；
（2）判断线段GB与DF的长度关系，并说明理由．
21．（6分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．
如图1，求证：
∠ANE＝∠DCE；如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；连
接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．
22．（8分）先化简，再求值：（x﹣2
﹣5 2
x+
）÷
2
(3)
2
x
x
+
+
，其中x=3．
23．（8分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图①），图②是平面图．光明中学的数学兴趣小组针对风电塔杆进行了测量，甲同学站在平地上的A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，乙同学站在岩石B处测得叶片的最高位置D的仰角是45°（D，C，H在同一直线上，G，A，H在同一条直线上），他们事先从相关部门了解到叶片的长度为15米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），岩石高BG为4米，两处的水平距离AG为23米，BG⊥GH，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）
24．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC 的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP=1，则AE= ；
（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
25．（10分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉子的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为（分），且，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：
组别成绩（分）频数（人数）频率
一
2 0.04
二10 0.2
三14 b
四 a 0.32
五8 0.16
请根据表格提供的信息，解答以下问题：
（1）本次决赛共有名学生参加；
（2）直接写出表中a= ,b= ;
（3）请补全下面相应的频数分布直方图；
（4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为．
26．（12分）动画片《小猪佩奇》分靡全球，受到孩子们的喜爱.现有4张《小猪佩奇》角色卡片，分别是A佩奇，B乔治，C佩奇妈妈，D佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）.姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好.
（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为；
（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A佩奇弟弟抽到B乔治的概率.
27．（12分）如图山坡上有一根旗杆AB，旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为3BC的坡
度i=1：3．小明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为20°．
（1）求坡角∠BCD；
（2）求旗杆AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．A
【解析】
分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．
详解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，
∴2222
=108=6
AB AC
--，
∴sinA=
63
105 BC
AB
==.
故选：A．
点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．2．A
【解析】
【分析】
根据题意，将运动过程分成两段．分段讨论求出解析式即可．
【详解】
∵BD=2，∠B=60°，
∴点D到AB3
当0≤x≤2时，
y=
2133•224
x x x ⨯＝； 当2≤x≤4时，y=1
3 •32
x x ＝
. 根据函数解析式，A 符合条件. 故选A ． 【点睛】
本题为动点问题的函数图象，解答关键是找到动点到达临界点前后的一般图形，分类讨论，求出函数关系式． 3．A 【解析】 【分析】
以DA 为边、点D 为顶点在△ABC 内部作一个角等于∠B ，角的另一边与AB 的交点即为所求作的点． 【详解】
如图，点E 即为所求作的点．故选：A ．
【点睛】
本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D 作一角等于∠B 或∠C ，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键． 4．D 【解析】
试题分析：A ．如图所示：﹣3＜a ＜﹣2，故此选项错误； B ．如图所示：﹣3＜a ＜﹣2，故此选项错误；
C ．如图所示：1＜b ＜2，则﹣2＜﹣b ＜﹣1，又﹣3＜a ＜﹣2，故a ＜﹣b ，故此选项错误；
D ．由选项C 可得，此选项正确． 故选D ．
考点：实数与数轴 5．C 【解析】 【分析】
先利用切线长定理得到PA PB =，再利用60APB ∠=o 可判断APB V 为等边三角形，然后根据等边三角
形的性质求解． 【详解】
解：PA Q ，PB 为O e 的切线，
PA PB ∴=，
60APB ∠=o Q ，
APB ∴V 为等边三角形，
8AB PA ∴==．
故选C ． 【点睛】
本题考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键． 6．B 【解析】
试题分析：当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，可判定k ＞0，所以﹣k ＜0，即可判定一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限，故答案选B ．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系． 7．B 【解析】 【分析】
由图形可知AC ＝AC ，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可. 【详解】
解：在△ABC 和△ADC 中 ∵AB ＝AD ，AC ＝AC ，
∴当CB ＝CD 时，满足SSS ，可证明△ABC ≌△ACD ，故A 可以；
当∠BCA ＝∠DCA 时，满足SSA ，不能证明△ABC ≌△ACD ，故B 不可以； 当∠BAC ＝∠DAC 时，满足SAS ，可证明△ABC ≌△ACD ，故C 可以； 当∠B ＝∠D ＝90°时，满足HL ，可证明△ABC ≌△ACD ，故D 可以； 故选：B. 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定定理是解题关键. 8．D
【解析】解：∵EC=EA ．∠CAE=30°，∴∠C=30°，∴∠AED=30°+30°=60°．∵AB ∥CD ，∴∠BAF=∠AED=60°．故选D ．
点睛：本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
9．B
【解析】
①当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，500次的实验次数偏低，而频率稳定在了0.618，错误；
②由图可知频数稳定在了0.618，所以估计频率为0.618，正确；③.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1000时，钉尖向上”的概率不一定是0.1.错误,
故选B.
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键.
10．B
【解析】
【分析】
根据相反数的的定义解答即可.
【详解】
根据a的相反数为-a即可得，1
1.
故选B.
【点睛】
本题考查了相反数的定义，熟知相反数的定义是解决问题的关键.
11．B
【解析】
【分析】
求出AD＝BD，根据∠FBD＋∠C＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，推出∠FBD＝∠CAD，根据ASA证△FBD≌△CAD，推出CD＝DF即可．
【详解】
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠EAF=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABC，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDF中
CAD DBF AD BD
FDB ADC
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=4，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．
12．B
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的有4种等可能结果，
所以佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率为
41
= 164
，
故选B．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．1
【解析】
解：如图．∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别2，3，x的三个正方形，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF．∵EF=x，MO=2，PN=3，∴OE=x﹣2，PF=x﹣3，∴（x﹣2）：3=2：（x﹣3），∴x=0（不符合题意，舍去），x=1．故答案为1．
点睛：本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边是解题的关键．
14．1
【解析】
【详解】
∵13份试卷成绩，结果如下：3个140分，4个1分，2个130分，2个120分，1个100分，1个80分，∴第7个数是1分，
∴中位数为1分，
故答案为1．
15+1
【解析】
【分析】
利用积的乘方得到原式＝[﹣1）+1）]2017•），然后利用平方差公式计算．
【详解】
原式＝[1）+1）]2017•+1）＝（2﹣1）2017•+1．
+1．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．1.
【解析】
【分析】
根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-1.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案
【详解】
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O 为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半1米，抛物线顶点C坐标为（0，1），
设顶点式y=ax1+1，把A点坐标（-1，0）代入得a=-0.5，
∴抛物线解析式为y=-0.5x1+1，
当水面下降1.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=-1.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=-1.5代入抛物线解析式得出：
-1.5=-0.5x1+1，
解得：x=±3，
1×3-4=1，
所以水面下降1.5m，水面宽度增加1米．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
17．2（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】
先提公因式，再运用平方差公式.
【详解】
2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键.
18．1
【解析】
试题分析：设x秒时，甲乙两点相遇．根据题意得：10x-5x=250，解得：x=50，
相遇时甲走了250m，乙走了500米，则根据题意推得第一次在同一边上时可以为1．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）证明见解析；（2）9﹣3π
【解析】
试题分析：(1)、连接OD，根据平行四边形的性质得出∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，结合OB=OD 得出∠DOC=∠AOC，从而证明出△COD和△COA全等，从而的得出答案；(2)、首先根据题意得出△OBD 为等边三角形，根据等边三角形的性质得出EC=ED=BO=DB，根据Rt△AOC的勾股定理得出AC的长度，然后根据阴影部分的面积等于两个△AOC的面积减去扇形OAD的面积得出答案.
试题解析：（1）如图连接OD．
∵四边形OBEC是平行四边形，∴OC∥BE，∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠DOC=∠AOC，
在△COD和△COA中，，∴△COD≌△COA，∴∠CDO=∠CAO=90°，
∴CF⊥OD，∴CF是⊙O的切线．
（2）∵∠F=30°，∠ODF=90°，∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°，
∵OD=OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠4=60°，∵∠4=∠F+∠1，∴∠1=∠2=30°，
∵EC∥OB，∴∠E=180°﹣∠4=120°，∴∠3=180°﹣∠E﹣∠2=30°，∴EC=ED=BO=DB，
∵EB=6，∴OB=OD═OA=3，在Rt△AOC中，∵∠OAC=90°，OA=3，∠AOC=60°，
∴AC=OA•tan60°=3，∴S阴=2•S△AOC﹣S扇形OAD=2××3×3﹣=9﹣3π．
20．（1）6π；（2）GB=DF，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据弧长公式l=计算即可；
（2）通过证明给出的条件证明△FDC≌△GBC即可得到线段GB与DF的长度关系．
【详解】
解：（1）∵AD=2，∠DAE=90°，
∴弧DE的长l1==π，
同理弧EF的长l2==2π，弧FG的长l3==3π，
所以，点D运动到点G所经过的路线长l=l1+l2+l3=6π．
（2）GB=DF．
理由如下：延长GB交DF于H．
∵CD=CB，∠DCF=∠BCG，CF=CG，
∴△FDC≌△GBC．
∴GB=DF．
【点睛】
本题考查弧长公式以及全等三角形的判定和性质，题目比较简单，解题关键掌握是弧长公式．
21．（1）见解析；（2）49
24
；（1）DE的长分别为
9
2
或1．
【解析】【分析】
（1）由比例中项知AM AE
AE AN
＝，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠AEM＝∠DCE
可得答案；
（2）先证∠ANE＝∠EAC，结合∠ANE＝∠DCE得∠DCE＝∠EAC，从而知DE DC
DC AD
＝，据此求得AE
＝8﹣9
2
＝
7
2
，由（1）得∠AEM＝∠DCE，据此知
AM DE
AE DC
＝，求得AM＝
21
8
，由求得
AM AE
AE AN
＝MN
＝49 24
；
（1）分∠ENM＝∠EAC和∠ENM＝∠ECA两种情况分别求解可得．【详解】
解：（1）∵AE是AM和AN的比例中项
∴AM AE AE AN
＝，
∵∠A＝∠A，
∴△AME∽△AEN，
∴∠AEM＝∠ANE，
∵∠D＝90°，
∴∠DCE＋∠DEC＝90°，
∵EM⊥BC，
∴∠AEM＋∠DEC＝90°，
∴∠AEM＝∠DCE，
∴∠ANE＝∠DCE；
（2）∵AC与NE互相垂直，∴∠EAC＋∠AEN＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ANE＋∠AEN＝90°，
∴∠ANE＝∠EAC，
由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠DCE＝∠EAC，
∴tan∠DCE＝tan∠DAC，
∴DE DC DC AD
＝，
∵DC＝AB＝6，AD＝8，
∴DE＝9
2
，
∴AE＝8﹣9
2
＝
7
2
，
由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴tan∠AEM＝tan∠DCE，
∴AM DE AE DC
＝，
∴AM＝21
8
，
∵AM AE AE AN
＝，
∴AN＝14
3
，
∴MN＝49 24
；
（1）∵∠NME＝∠MAE＋∠AEM，∠AEC＝∠D＋∠DCE，又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠NME，
当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时
①∠ENM＝∠EAC，如图2，
∴∠ANE＝∠EAC，
由（2）得：DE＝9
2
；
②∠ENM＝∠ECA，
如图1，
过点E作EH⊥AC，垂足为点H，由（1）得∠ANE＝∠DCE，
∴∠ECA＝∠DCE，
∴HE＝DE，
又tan∠HAE＝
6
8 EH DC
AH AD
＝＝，
设DE＝1x，则HE＝1x，AH＝4x，AE＝5x，又AE＋DE＝AD，
∴5x＋1x＝8，
解得x＝1，
∴DE＝1x＝1，
综上所述，DE的长分别为9
2
或1．
【点睛】
本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识
点．
22．32- 【解析】 【分析】 根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】
原式()
2245223x x x x --+=⨯++， ()()()2+33223x x x x x -+=⨯++，
33
x x -=+． 当3x =时，原式3333
-=
+ 32=- 【点睛】 本题考查的知识点是分式的化简求值，解题关键是化简成最简再代入计算.
23．塔杆CH 的高为42米
【解析】
【分析】
作BE ⊥DH ，知GH=BE 、BG=EH=4，设AH=x ，则BE=GH=23+x ，由CH=AHtan ∠CAH=tan55°•x 知CE=CH-EH=tan55°•x -4，根据BE=DE 可得关于x 的方程，解之可得．
【详解】
解：如图，作BE ⊥DH 于点E ，
则GH=BE 、BG=EH=4，
设AH=x ，则BE=GH=GA+AH=23+x ，
在Rt △ACH 中，CH=AHtan ∠CAH=tan55°•x ，
∴CE=CH ﹣EH=tan55°•x ﹣4，
∵∠DBE=45°，
∴BE=DE=CE+DC，即23+x=tan55°•x﹣4+15，
解得：x≈30，
∴CH=tan55°•x=1.4×30=42，
答：塔杆CH的高为42米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．24．（1）；（2）①证明见解析；②；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余关系证出∠AEP=∠PBC，得出△APE∽△BCP，得出对应边成比例即可求出AE的长；
（2）①A、P、O、E四点共圆，即可得出结论；
②连接OA、AC，由勾股定理求出AC=，由圆周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，周长点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，即可得出答案；
（3）设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，由三角形中位线定理得出MN=AE，设AP=x，则BP=4﹣x，由相似三角形的对应边成比例求出AE的表达式，由二次函数的最大值求出AE的最大值为1，得出MN的最大值=即可．
试题解析：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，
∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，
∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，
∴∠AEP=∠PBC，∴△APE∽△BCP，
∴，即，解得：AE=，
故答案为：；
（2）①∵PF⊥EG，∴∠EOF=90°，
∴∠EOF+∠A=180°，∴A、P、O、E四点共圆，
∴点O一定在△APE的外接圆上；
②连接OA、AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠BAC=45°，∴AC==，
∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP=∠OEP=45°，
∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA=AC=，
即点O经过的路径长为；
（3）设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：
则MN∥AE，∵ME=MP，∴AN=PN，∴MN=AE，
设AP=x，则BP=4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，
∴，即，解得：AE==，
∴x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大=×1=，
即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为．
【点睛】本题考查圆、二次函数的最值等，正确地添加辅助线，根据已知证明△APE∽△BCP是解题的关键.
25．（1）50；（2）a=16，b=0.28；（3）答案见解析；（4）48%.
【解析】
试题分析：（1）根据第一组别的人数和百分比得出样本容量；（2）根据样本容量以及频数、频率之间的关系得出a和b的值，（3）根据a的值将图形补全；（4）根据图示可得：优秀的人为第四和第五组的人，将两组的频数相加乘以100%得出答案.
试题解析：（1）2÷0.04=50
（2）50×0.32=16 14÷50=0.28
（3）
（4）（0.32+0.16）×100%=48% 考点：频数分布直方图
26．（1）1
4
；（2）
1
12
【解析】
【分析】
（1）直接利用求概率公式计算即可；（2）画树状图（或列表格）列出所有等可能结果，根据概率公式即可解答．
【详解】
（1）1
4
；
（2）方法1：根据题意可画树状图如下：方法2：根据题意可列表格如下：
弟弟
姐姐
A B C D
A （A,B）(A,C) (A,D)
由列表（树状图）可知，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中姐姐抽到A 佩奇，弟弟抽到B 乔治的结果有1种：（A ，B ）.
∴P （姐姐抽到A 佩奇，弟弟抽到B 乔治）112=
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解决问题用到概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．
27．旗杆AB 的高度为6.4米.
【解析】
分析：（1）根据坡度i 与坡角α之间的关系为：i=tanα进行计算；
（2）根据余弦的概念求出CD ，根据正切的概念求出AG 、BG ，计算即可．
本题解析：(1)∵斜坡BC 的坡度tan ∠BCD=
BD DC = ∴∠BCD=30°；
(2)在Rt △BCD 中,CD=BC×cos ∠×2
=9， 则DF=DC+CF=10(米)，∵四边形GDFE 为矩形，∴GE=DF=10(米)，
∵∠AEG=45°，∴AG=DE=10(米)，
在Rt △BEG 中,BG=GE×
tan ∠BEG=10×0.36=3.6(米)， 则AB=AG−BG=10−3.6=6.4(米).
答：旗杆AB 的高度为6.4米。