新邱区外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

新邱区外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则等（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 已知集合A={x|x 是平行四边形}，B={x|x 是矩形}，C={x|x 是正方形}，D={x|x 是菱形}，则（ ） A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆C D ．A ⊆D
3． “m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的（ ）
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4． 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A ∪B 等于（ ）
A ．{﹣1，0，1，2，4}
B ．{﹣1，0，2，4}
C ．{0，2，4}
D ．{0，1，2，4}
6． 抛物线x 2=4y 的焦点坐标是（ ）
A ．（1，0）
B ．（0，1）
C ．（
）
D ．（
）
7． 若实数x ，y 满足不等式组则2x+4y 的最小值是（ ）
A ．6
B ．﹣6
C ．4
D ．2
8． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知C B A ,,三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C 社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）
A ．48
B ．36
C ．24
D ．18
【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 9． 函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．()10,+∞
10．一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ ）
A ．3
B ．
C ．2
D ．6
11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f （x ）=
被称为狄利克雷
函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数f （x ）有如下四个命题：①f （f （x ））=1；②函数f （x ）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对任意的x=R 恒成立；④存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等边三角形．其中真命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
12．抛物线y=﹣8x 2的准线方程是（ ）
A ．y=
B ．y=2
C ．x=
D ．y=﹣2
二、填空题
13．在中，角、
、
所对应的边分别为、、，若
，则
_________
14．设
,则
15．对于映射f ：A →B ，若A 中的不同元素有不同的象，且B 中的每一个元素都有原象，则称f ：A →B 为一一映射，若存在对应关系Φ，使A 到B 成为一一映射，则称A 到B 具有相同的势，给出下列命题： ①A 是奇数集，B 是偶数集，则A 和B 具有相同的势；
②A 是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B 是复数集，则A 和B 不具有相同的势； ③若区间A=（﹣1，1），B=R ，则A 和B 具有相同的势． 其中正确命题的序号是 ．
16．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i ＜m 中的整数m 的值是 ．
17．经过A （﹣3，1），且平行于y 轴的直线方程为 ． 18．已知点E 、F 分别在正方体 的棱上，且, ,则
面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
选修41-：几何证明选讲 如图，,,A B C 为
O 上的三个点，AD 是BAC ∠的平分线，交O 于
点D ，过B 作O 的切线交AD 的延长线于点E ． （Ⅰ）证明：BD 平分EBC ∠； （Ⅱ）证明：AE DC AB BE ⨯=⨯．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD .
（1）求证：//PQ 平面SAD ； （2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ .
21．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？
22．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），抛物线上一点Q（m，）到焦点的距离为1．
（Ⅰ）求抛物线C的方程
（Ⅱ）设过点M（0，2）的直线l与抛物线C交于A，B两点，且A点的横坐标为n（n∈N*）
（ⅰ）记△AOB的面积为f（n），求f（n）的表达式
（ⅱ）探究是否存在不同的点A，使对应不同的△AOB的面积相等？若存在，求点A点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧==α
αsin cos 2y x （α为参数），过点)0,1(P 的直线交曲线C 于B A 、两点.
（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）求||||PB PA ⋅的最值.
24．已知函数f （x ）=x 3﹣x 2+cx+d 有极值．
（Ⅰ）求c 的取值范围；
（Ⅱ）若f （x ）在x=2处取得极值，且当x ＜0时，f （x ）＜d 2
+2d 恒成立，求d 的取值范围．
新邱区外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵M、G分别是BC、CD的中点，
∴=，=
∴=++=+=
故选C
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将化为++，是解答本题的关键．
2．【答案】B
【解析】解：因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，
矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，
正方形是矩形，所以C⊆B．
故选B．
3．【答案】B
【解析】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x﹣1=0，2x﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直；
当m≠0，2时，两条直线相互垂直，则×=﹣1，解得m=1．
综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．
∴“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．
故选：B．
【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
4．【答案】C
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，
其中只有（3，4，5）为勾股数，
故这3个数构成一组勾股数的概率为．
故选：C
5．【答案】A
【解析】解：∵A={﹣1，0，1，2}，B={0，2，4}，
∴A∪B={﹣1，0，1，2}∪{0，2，4}={﹣1，0，1，2，4}．
故选：A．
【点评】本题考查并集及其运算，是基础的会考题型．
6．【答案】B
【解析】解：∵抛物线x2=4y中，p=2，=1，焦点在y轴上，开口向上，
∴焦点坐标为（0，1），
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x2=2py的焦点坐标为（0，），属基础题．
7．【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点C时，
直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，
由，解得，
即C（3，﹣3），
此时z=2x+4y=2×3+4×（﹣3）=6﹣12=﹣6．
故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．
8． 【答案】C
【解析】根据分层抽样的要求可知在C 社区抽取户数为249
2
108180270360180108=⨯=++⨯．
9． 【答案】B 【解析】
试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标
系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图
（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
x
（1） （2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化
法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周
期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 10．【答案】C
【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，
∴c=2，a=3，
∴b=
∴2b=2
．
故选：C ．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
11．【答案】 D
【解析】解：①∵当x 为有理数时，f （x ）=1；当x 为无理数时，f （x ）=0
∴当x 为有理数时，f （f （x ））=f （1）=1； 当x 为无理数时，f （f （x ））=f （0）=1
即不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1，故①正确； ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （x ），故②正确；
③若x 是有理数，则x+T 也是有理数； 若x 是无理数，则x+T 也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对x ∈R 恒成立，故③正确；
④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=
，可得f （x 1）=0，f （x 2）=1，f （x 3）=0
∴A （
，0），B （0，1），C （﹣
，0），恰好△ABC 为等边三角形，故④正确．
故选：D ．
【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．
12．【答案】A
【解析】解：整理抛物线方程得x 2
=﹣y ，∴p=
∵抛物线方程开口向下，
∴准线方程是y=
，
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
二、填空题
13．【答案】
【解析】
因为，所以，
所以，所以
答案：
14．【答案】9
【解析】由柯西不等式可知
15．【答案】①③．
【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={奇数}→B={偶数}，不妨给出对应法则加1．则A→B是一一映射，故①正确；
对②设Z点的坐标（a，b），则Z点对应复数a+bi，a、b∈R，复合一一映射的定义，故②不正确；
对③，给出对应法则y=tan x，对于A，B两集合可形成f：A→B的一一映射，则A、B具有相同的势；∴
③正确．
故选：①③
【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力．
16．【答案】6．
【解析】解：第一次循环：S=0+=，i=1+1=2；
第二次循环：S=+=，i=2+1=3；
第三次循环：S=+=，i=3+1=4；
第四次循环：S=+=，i=4+1=5；
第五次循环：S=+=，i=5+1=6；输出S ，不满足判断框中的条件；
∴判断框中的条件为i ＜6？
故答案为：6．
【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题
17．【答案】 x=﹣3 ．
【解析】解：经过A （﹣3，1），且平行于y 轴的直线方程为：x=﹣3． 故答案为：x=﹣3．
18．【答案】
【解析】延长EF 交BC 的延长线于P ，则AP 为面AEF 与面ABC 的交线，因为，所以
为
面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角。

三、解答题
19．【答案】
【解析】【解析】（Ⅰ）因为BE 是⊙O 的切线，所以BAD EBD ∠=∠…………2分 又因为CAD BAD CAD CBD ∠=∠∠=∠,………………4分 所以CBD EBD ∠=∠,即BD 平分EBC ∠．………………5分 （Ⅱ）由⑴可知BAD EBD ∠=∠，且BED BED ∠=∠，
BDE ∆∽ABE ∆,所以
AB
BD
AE BE =
,……………………7分 又因为DBC DBE BAE BCD ∠=∠=∠=∠,
所以DBC BCD ∠=∠，CD BD =．……………………8分
所以
AB
CD
AB BD AE BE =
=，……………………9分 所以BE AB DC AE ⋅=⋅．……………………10分
20．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ 与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD 中点F ，连结PF AF ,，可证明AF PQ //，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明⊥AC 平面SEQ ，即平面⊥SAC 平面SEQ . 试题解析：证明：（1）取SD 中点F ，连结PF AF ,. ∵F P 、分别是棱SD SC 、的中点，∴CD FP //，且CD FP 2
1
=. ∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点，
∴CD AQ //，且CD AQ 2
1
=
，即AQ FP //且AQ FP =. ∴AQPF 为平行四边形，则AF PQ //.
∵⊄PQ 平面SAD ，⊂AF 平面SAD ，∴//PQ 平面SAD .
考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.
【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直， 需熟练掌握判定定理以及性质定理. 21．【答案】
【解析】解：（1）（x∈N*） (6)
（2）盈利额为…
当且仅当即x=7时，上式取到等号 (11)
答：使用游艇平均7年的盈利额最大． (12)
【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得|QF|=y Q+=+=1，解得p=1，
∴抛物线C的方程为x2=2y；
（Ⅱ）（ⅰ）∵直线l与抛物线C交于A、B两点，
∴直线l的斜率存在，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：y=kx+2，
联立方程组，化简得：x2﹣2kx﹣4=0，
此时△=（﹣2k）2﹣4×1×（﹣4）=4（k2+4）＞0，
由韦达定理，得：x1+x2=2k，x1x2=﹣4，
∴S△AOB=|OM|•|x1﹣x2|
=×2
=
=2（*）
又∵A点横坐标为n，∴点A坐标为A（n，），
又直线过点M（0，2），故k==﹣，
将上式代入（*）式，可得：
f（n）=2
=2
=2
=n+（n ∈N *）；
（ⅱ）结论：当A 点坐标为（1，）或（4，8）时，对应不同的△AOB 的面积相等． 理由如下：
设存在不同的点A m （m ，
），A n （n ，
）（m ≠n ，m 、n ∈N *
），
使对应不同的△AOB 的面积相等，则f （m ）=f （n ），即m+=n+，
化简得：m ﹣n=﹣=，
又∵m ≠n ，即m ﹣n ≠0，
∴1=
，即mn=4，解得m=1，n=4或m=4，n=1，
此时A 点坐标为（1，），（4，8）．
【点评】本题考查抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线的位置关系、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
23．【答案】（1）
12
22
=+y x .（2）||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为21. 【解析】
试
题解析：解：（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧==α
αsin cos 2y x （α为参数），消去参数α
得曲线C 的普通方程为12
22
=+y x （3分）
（2）由题意知，直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x （为参数），将⎩⎨⎧=+=θ
θsin cos 1t y t x 代入1222
=+y x 得01cos 2)sin 2(cos 222=-++θθθt t （6分）
设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则]1,2
1
[sin 11sin 2cos 1||||||22221∈+=+=
=⋅θθθt t PB PA . ∴||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为2
1
. （10分）
考点：参数方程化成普通方程． 24．【答案】
【解析】解（Ⅰ）∵f （x ）=x 3﹣x 2
+cx+d ，
∴f ′（x ）=x 2﹣x+c ，要使f （x ）有极值，则方程f ′（x ）=x 2
﹣x+c=0有两个实数解，
从而△=1﹣4c ＞0，
∴c ＜．
（Ⅱ）∵f （x ）在x=2处取得极值，
∴f ′（2）=4﹣2+c=0， ∴c=﹣2．
∴f （x ）=x 3﹣x 2
﹣2x+d ，
∵f ′（x ）=x 2
﹣x ﹣2=（x ﹣2）（x+1），
∴当x ∈（﹣∞，﹣1]时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，当x ∈（﹣1，2]时，f ′（x ）＜0，函数单调递减．
∴x ＜0时，f （x ）在x=﹣1处取得最大值，
∵x ＜0时，f （x ）＜恒成立，
∴
＜
，即（d+7）（d ﹣1）＞0，
∴d ＜﹣7或d ＞1，
即d 的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．。