2020届吉林省示范高中(四平一中、梅河口五中、白城一中等)高三第五次模拟联考数学(文)试题(解析版)

2020届吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中
等）高三第五次模拟联考数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}2,1,0,1,2,3A =--，{}
2log 2B x x =<，则A B =（ ）
A ．{}2,3
B ．{}1,2,3
C ．{}
0,1,2,3
D ．{}2,1,0,1,2,3--
【答案】B
【解析】先解对数不等式，再求集合交集运算. 【详解】
解：因为2log 2x <，所以22log log 42
0x x <=⎧⎨>⎩
，解得{}04B x x =<<，
所以{}1,2,3A
B =，故B 正确.
故 选：B. 【点睛】
本题考查对数不等式的解法，集合的交集运算，是中档题. 2．已知i 为虚数单位，则221i
i
-=+（ ） A ．2- B ．2i -
C ．2
D ．2i
【答案】B
【解析】直接根据复数代数形式的除法法则计算可得； 【详解】
解：
()()()()
2
22122222221112i i i i i i i i i i -----+===-++- 故选：B 【点睛】
本题考查复数代数形式的除法运算，属于基础题.
3．已知函数()[]()()
221,0,1,1,3x
x f x x b x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，5(0)2f f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则实数b =（ ） A ．1 B ．5
2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】由5(0)2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得2
502b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，解方程求出b 的值即可. 【详解】
根据题意，()502f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2
052102b ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭
，∴52b =.
故选：B . 【点睛】
本题考查分段函数，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.
4．2020年西部某县一个生态果园公司根据当地的特产开发生产了A ，B 两种不同口味的果汁饮料.现随机抽取了两种果汁饮料各10瓶（均是500mL ）组成的一个样本进行了检测，得到某种添加剂指标（毫克/升）的茎叶图如图，则对这种添加剂指标的分析正确的是（ ）
A ．A 种果汁饮料添加剂指标的平均值高于
B 种果汁饮料添加剂指标的平均值 B ．A 种果汁饮料添加剂指标的中位数高于B 种果汁饮料添加剂指标的中位数
C ．A 种果汁饮料添加剂指标的方差高于B 种果汁饮料添加剂指标的方差
D ．A 种果汁饮料添加剂指标的最小值高于B 种果汁饮料添加剂指标的最小值 【答案】D
【解析】根据茎叶图估计均值、中位数、方差及最值，然后判断各选项． 【详解】
B 种果汁饮料添加剂指标集中在以4为茎的茎上，A 种果汁饮料添加剂指标集中在以2为茎的茎上，A 错误；
A 种果汁饮料添加剂指标的中位数为23.5，
B 种果汁饮料添加剂指标的中位数为31.5，B 错误；
A 种果汁饮料添加剂指标数据比较集中，而
B 种果汁饮料添加剂指标数据比较分散，所以B 种果汁饮料添加剂指标的方差要大一些，
C 错误：
A 种果汁饮料添加剂指标的最小值为5，
B 种果汁饮料添加剂指标的最小值为2，A 高，
D 正确. 故选：D ． 【点睛】
本题考查茎叶图，考查样本数据特征估计总体数据特征，属于基础题．
5．下面是由一个实体的半圆柱从上底面向下挖去一部分后而得到的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 【答案】C 【解析】
由三视图还原几何体，根据圆柱和圆锥的体积公式可得选项. 【详解】
根据题意，半圆柱挖去一个半圆锥，半圆柱的体积为
1
22
ππ⨯=，半圆锥的体积为12323
ππ⨯⨯=， 所以该几何体的体积为23
3
π
π
π-=
. 故选：C.
【点睛】
本题考查由三视图还原几何体和圆柱、圆锥的体积的计算，属于基础题.
6．公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表.他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的.如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”，重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有2个六边形，每行比上一行多一个六边形（六边形均相同），设图中前n 行晶格点数n b 满足125n n b b n +-=+，n *∈N ，则10b =（ ）
A ．101
B ．123
C ．141
D ．150
【答案】C
【解析】由已知125n n b b n +-=+，可得数列{}1n n b b +-是以7为首项，2为公差的等差数列，由此可求出n b ，从而可得10b . 【详解】
解:因为()()2112n n n n b b b b +++---=，
所以数列{}1n n b b +-是以7为首项，2为公差的等差数列，
2n ≥时，
()()()()()()
12132172316792362
n n n n n b b b b b b b b n -++-=+-+-+
+-=+++++=+
241n n =++，
所以10141b =. 故选：C 【点睛】
此题考查了等差数列的判断，等差数列的前n 项和，累加法求通项等知识，属于基础题.
7．已知函数[]
y x =称为高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]
x ，如图，则输出的S 值为（ ）
A ．42
B ．43
C ．44
D ．45
【答案】D 【解析】
对i 进行分类讨论，一步步往下执行，即可得答案； 【详解】
当13i ≤<时，[]
3log 0i =；
39i ≤<时，[]3log 1i =； 927i ≤<时，[]3log 2i =； 27i =时，[]3log 3i =，
所以61182345S =⨯+⨯+=. 故选：D. 【点睛】
本题考查根据程序框图输出值，考查阅读程序框图能力，求解时注意取整函数的定义. 8．定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()4f x f x =-，当[]
0,2x ∈时，
()2f x x x =+，则不等式()2f x >的解集为（ ）
A ．()21,23k k ++，k Z ∈
B ．()21,21k k -+，k Z ∈
C ．()41,43k k ++，k Z ∈
D ．()41,41k k -+，k Z ∈
【答案】C
【解析】先根据已知求得()f x 的周期为4，且图象关于2x =对称，再求[]
0,2x ∈时，
()2f x >的解集为(]1,2，根据对称性，在一个周期[]0,4x ∈时，()2f x >的解集为
()1,3；再利用周期性推广到x ∈R 时，得不等式的解集.
【详解】
∵()()()()444f x f x f x f x +=--=-=， 所以()f x 的周期为4，且图象关于2x =对称， 所以[]0,2x ∈时，()2f x >的解集为(]
1,2，
又因为图象关于2x =对称，得[]
0,4x ∈时，解()2f x >的解集为()1,3， 所以x ∈R 时，()2f x >的解集为()41,43k k ++，k Z ∈. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数的对称性，周期性，奇偶性解决不等式问题，是中档题.
9．已知()
F 是双曲线()222
2:10,0x y
C a b a b
-=>>的左焦点，P 为双曲线C 右支上一点，圆222
x y a +=与y 轴的正半轴交点为A ，PA PF +的最小值4，则
双曲线C 的实轴长为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．【答案】B
【解析】由双曲线的定义把P 到左焦点的距离转化为到右焦点F '的距离，从而可利用P 在线段AF '上时取最小值，由此可求得a ． 【详解】
由题意，()0,A a ，设F '为双曲线的右焦点，则2PF a PF '=+
，()
F
，
)
F '
.
∴(
)
2222PA PF PA a PF a PF PA a AF a '''+=++=++≥+=三点P ，A ，F '共线时取等号.
所以24a =，解得1a =，所以实轴长为2. 故选：B ． 【点睛】
本题考查求双曲线的实轴长，解题关键是利用双曲线的定义把双曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用平面几何性质得到最值． 10．已知函数()sin cos f x m x n x =+（m ，n 为常数，0m n ⋅≠，x ∈R ）在4
x π
=
处取得最大值()f x 的图象向左平移()0h h >个单位长度以后得到的图象与函数()sin 0y k x k =>的图象重合，则k h +的最小值为（ ） A
．
34
π
+B
．
54
π
+C
．
74
π
+D
．
74
π
+【答案】D
【解析】用辅助角公式变形函数式(
)()sin cos n f x m x n x x ϕ=++=，
，由最大值的两种表示法()4
f π
=
=,m n
的值，然后写出平移后函数解析式，由它与sin y k x =重合求得,k h ，根据0h >可得最小值． 【详解】
由(
)()sin cos n f x m x n x x ϕ=++=
，所以
)2
m n +==2m n ==，所以(
)4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象向左平移()0h h >个单位长度以后得到函数解析式为
(
)4f x x h π⎛
⎫
=++ ⎪⎝⎭，
所以2,4k h t t Z
ππ⎧=⎪⎨+=∈⎪⎩
，
所以k =24h t ππ=-，t Z ∈，又0h >，min 74h π=
.故k h +
的最小值为
74
π
+故选：D ．
本题考查三角函数图象变换，考查三角函数辅助角公式，掌握三角函数图象变换是解题基础．
11．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的右焦点21,0F ，31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，
过左顶点A 作直线l x ⊥轴，Q 为直线l 上一点，2AP F Q ⊥，则直线PQ 在x 轴上的截距为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】A
【解析】由点P 在椭圆上，可得22221
9141
a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，可求出22
,a b ，即可得到()2,0A -，
进而可求出直线AP 的斜率，结合2AP F Q ⊥，可求得直线2F Q 的方程，然后求出Q 的坐标，进而可求出直线PQ 的方程，令0y =，可求出答案. 【详解】
由点P 在椭圆上，右焦点为21,0F ，可得22221
91
41a b
a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， 即椭圆方程为22
143
x y +=，
所以()2,0A -，21,0F ，则直线AP 的斜率
3
12122
AP
k ==+.
又2AP F Q ⊥，所以21AP F Q k k ⋅=-，则21
2F Q AP
k k =-
=-，所以直线2F Q 的方程()21y x =--，
联立直线2F Q ，l 的方程()
212y x x ⎧=--⎨=-⎩
，得交点()2,6Q -，
所以,P Q 两点连线的斜率
3
632212PQ
k -
=
=---，则直线PQ 的方程为()33
122
y x -
=--，令0y =，得2x =. 故选：A.
本题考查椭圆的方程、椭圆的性质，考查直线的方程，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
12．已知函数()()2
20a
f x x a x =+
>在()0,∞+上的最小值为3，直线l 在y 轴上的截距为1-，则下列结论正确是（ ） ①实数1a =；
②直线l 的斜率为1时，l 是曲线()y f x =的切线； ③曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】B
【解析】
对函数进行求导，通过导数判断函数的单调性得x =
()f x 取得最小
值，进而可判断①；通过导数的几何意义求出切线的斜率为1
时，切点的横坐标为
0x =2
1
21x kx x +
=-的根的个数，即3
112k x x
=++，判断函数()3
2h t t t =++的单调性，得其范围可判断③. 【详解】
因为()()3
33
222x a a f x x x -'=-=，
因为0x <<()0f x '<
，x >()0f x '>，
所以x =
()f x
取得最小值，所以
()
2
3
a
f
==，所以1a =.故
①正确；设切点为00201,2A x x x ⎛⎫+
⎪⎝⎭
，又因为()3
2
2f x x '=-，所以切线满足斜率30
2
12x =-
，
∴0x =
0011y x =-=，代入()2
1
2f x x x =+
不成立. 所以直线:1l y x =-不是曲线()y f x =的切线，故②错误； 又设直线:1l y kx =-，
则曲线()y f x =与直线l 的交点个数，等价于方程21
21x kx x
+=-的根的个数. 由方程2121x kx x +
=-，得3112k x x
=++.
令1
t x
=
，则32k t t =++，其中t R ∈，且0t ≠. 考察函数()3
2h t t t =++，其中t R ∈，因为()2
310h t t '=+>时，
所以函数()h t 在R 上单调递增，且()h t R ∈.而方程32k t t =++中，t R ∈，且0t ≠. 所以当()02k h ==时，方程32k t t =++无根； 当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一根，
故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线
l 有且仅有一个交点，故③错误，正确的个数为1个；
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的最值，通过导数判断函数的零点，属于中档题.
二、填空题
13．已知向量()1,a x =，()1,1b x =-，()
2a b a -⊥，则a b +=___________.
【解析】根据向量垂直得到数量积为零，即可求出参数的值，再根据向量模的公式计算可得； 【详解】
∵()1,a x =，()1,1b x =-， 且()
2a b a -⊥，
()
2
220a b a a b a ∴-⋅=-⋅=
()221210x x x ∴+-+-=
∴1x =，
所以()1,1a =，()1,0b =，()2,1a b += 所以5a b +=.
【点睛】
本题考查向量的数量积及向量模的坐标表示，属于基础题.
14．任意写出一个自然数n ，并且按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +，如果n 是个偶数，则下一步变成
2
n
，依照上述规律，将5作为首项，构造一个数列{}n a ，则{}n a 的前20项和为__________. 【答案】70
【解析】通过计算数列的前几项，发现数列的规律，再进行求和. 【详解】
因为15a =，216a =，38a =，44a =，52a =，61a =，74a =， 从第4项开始，数列{}n a 是周期为3的数列， 所以前20项和为5168754270+++⨯++=. 故答案为：70. 【点睛】
本题考查不完全归纳法的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意发现数列的周期.
15．2019年末至2020年初，某在线教育公司为了适应线上教学的快速发展，近5个月加大了对该公司的网上教学使用软件的研发投入，过去5个月资金投入量x （单位：百万元）和收益y （单位：百万元）的数据如下表：
若y 与x 的线性回归方程为3y x a =+，则资金投入量为16百万元时，该月收益的预报值为__________百万元. 【答案】56.04
【解析】计算出,x y ，由中心点(,)x y 求出参数a ，再令16x =代入可得． 【详解】 由题意得，2481012
7.25
x ++++=
=，
14.2120.3131.1837.8344.6729.645
y ++++==，
所以329.6437.28.04a y x =
-=-⨯=.所以y 关于x 的回归方程为ˆ38.04y x =+.把16x =代入回归方程得ˆ3168.0456.04y
=⨯+=，故预报值为56.04百万元. 故答案为：56.04． 【点睛】
本题考查线性回归方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)x y ． 16．如图，已知直三棱柱ADF BCE -
，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512
，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.
【答案】
22
5
【解析】根据已知条件求得ADF BCE V -，设AM x =，由四棱锥F AMCD -的体积与直三棱柱ADF BCE -的体积之比为
5
12
，求得AM 的值，过M 作
//MN BE ，交EF 于点N ，连接CN ，在CMN △中，根据余弦定理可求得答案. 【详解】
直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD === 根据柱体体积公式可得：1
22242
ADF BCE V Sh -==⨯⨯⨯= 设AM x =， 则()()2211
222323
F AMCD x V x -+=
⨯⨯+⨯⨯=
， 四棱锥F AMCD -的体积与直三棱柱ADF BCE -的体积之比为
5
12
∴()2253412
x +=
∴ 12
x =
，
过M 作//MN BE ，交EF 于点N ，连接CN ，如图，
则CMN ∠（或其补角）为异面直线AF 与CM 所成角， 5
2
CM CN ==
，22MN = 在CMN △根据余弦定理可得：22222
cos 25M CM CN CM M N N CM N +-∠==
⋅∴22cos CMN ∠=.
22
. 【点睛】
本题主要考查了求异面直线夹角的余弦值，解题关键是掌握异面直线夹角定义和余弦定理，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
三、解答题
17．已知ABC 的内角A ，B ，C 满足
()()()sin sin sin sin sin sin sin A B A B C B C +-=-，
ABC 的面积为103
（1）求sin 2A ； （2）133
sin sin 14
B C +=
，求ABC 的周长. 【答案】（13
（2）20. 【解析】（1）利用余弦定理求出3
A π
=，再利用倍角公式计算，即可得答案；
（2）利用正弦定理可得13
7
b c a +=，再利用面积公式和余弦定理可得7a =，即可得答案； 【详解】
解：（1）设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， ∵()()()sin sin sin sin sin sin sin A B A B C B C +-=- 可得()()()a b a b c b c +-=-， 化简可得，222b c bc a +-=，
由余弦定理可得，2221
cos 22
b c a A bc +-=
=， ∵0A π<<，∴3
A π
=
，∴3
sin 2A =
. （2）因为133sin sin B C +=.所以13313
27
b c R a +=⋅=. 由1
103sin 2
bc A =
，∴40bc =，. 因为2
2
2
b c bc a +-=，∴()2
2
3b c bc a +-=，∴2
2
131207a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，∴7a =，
所以ABC 的周长为71320+=. 【点睛】
本题考查正余弦定理在解三角形中的运用、三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，平面PAD ⊥底面ABCD ，222PA PD AD BC CD =====，M 为PC 上一点，//PA 平面
BDM .
（1）求:PM MC 的值；
（2）求四棱锥P ABCD -外接球的半径.
【答案】（1）2；（2. 【解析】(1)连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，由线面平行的性质定理可得//PA MN ，再结合BCN DAN △∽△可得所求比例.
(2) 取AD 的中点O ，连接PO ，由面面垂直的性质定理可得PO ⊥平面ABCD .取
PAD △的重心为G ，则GO ⊥平面ABCD ，经计算可确定G 为四棱锥P ABCD -外
接球球心，从而可得半径. 【详解】
（1）如图，连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，因为平面PAC
平面BDM MN =，
//PA 平BDM 所以//PA MN ，所以
PM AN
MC NC
=
. 又因为BCN DAN △∽△， 所以
2AN AD NC BC ==，故2PM
MC
= （2）根据题意，取AD 的中点O ，连接PO ，
因为PAD △为等边三角形，所以PO AD ⊥，PO = 因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 底面ABCD AD =，
所以PO ⊥平面ABCD .
设PAD △的重心为G ，则GO ⊥平面ABCD ，
AG DG PG ===
. 在等腰梯形ABCD 中，可得O 为梯形ABCD 外接圆的圆心，所以
1OD OA OB OC ====，所以GD GA GB GC ====
，
故G 为四棱锥P ABCD -外接球球心，半径为
3
.
【点睛】
本题考查线面平行和面面垂直的性质定理的应用，考查多面体外接球球心的确定方法，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.
19．搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品.曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子；洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆.某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A和B两个广生产，从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示：
（1）依据上表，若从上述等级系数为7和8的搪瓷水杯中抽取2件，求这2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的概率；
（2）下图是5位网友对两厂生产的搪瓷水杯对比评分图，根据图表，利用评分均值和标准差比较两种搪瓷水杯的评分情况，并说明理由.
【答案】（1）
1
5
；（2）B 厂生产的糖瓷水杯的评分的均值较高；A 厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差较小，比较稳定.理由见解析. 【解析】
（1）设等级系数为7的搪瓷水杯为A ，B ，C ，等级系数为8的搪瓷水杯为a ，b ，c ， 利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型概率公式计算可得； （2）计算出平均数与标准差即可比较； 【详解】
解：（1）设等级系数为7的搪瓷水杯为A ，B ，C ，等级系数为8的搪瓷水杯为a ，b ，c ， 则从中抽取2件的基本事件为
(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种，
其中2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的基本事件为(),a b ，(),a c ，(),b c ，共3种， 所以31
155
P =
=. （2）因为()467895 6.8B x =++++÷=，所以B 厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.8，标准差为
()()()()()22222
14 6.86 6.87 6.88 6.89 6.8 1.725S ⎡⎤=
-+-+-+-+-=⎣
⎦， 所以B 厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1.72，
因为()56 6.5785 6.5A x =++++÷=，所以A 厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.5，
1S =
= 所以A 厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1，
综上，B 厂生产的糖瓷水杯的评分的均值较高；A 厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差较小，比较稳定. 【点睛】
本题考查古典概型的概率计算，以及几个数的平均数、标准差的计算，属于基础题. 20．已知抛物线()2
:20E y px p =>恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，
//AB DC ，AD 的延长线与抛物线E 的准线的交点1,02M ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. （1）求抛物线E 的方程；
（2）证明：BD 经过抛物线E 的焦点. 【答案】（1）2
2y x =；（2）证明见解析 【解析】（1）由1,02M ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
为抛物线E 的准线上的点，可知122p =，即可求出p ，从
而可得到抛物线E 的方程；
（2）抛物线E 的焦点为1
,02
，设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，设出直线AD 的方程，与抛物线方程联立，可得121
4x x =
，且1212
x x <<，设BD 与x 轴的交点坐标为()(),00n n >，可表示出直线BD 的方程，与抛物线方程联立，可得到
212x x n =，从而可得21
4
n =
，即BD 经过点1,02，即可证明结论成立. 【详解】
（1）根据题意，1,02M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为抛物线E 的准线上的点， 所以
1
22
p =，即1p =， 所以抛物线E 的方程为2
2y x =.
（2）抛物线E 的焦点为
1
,02
，设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，设直线AD
的方程为12y k x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
联立方程组2122y k x y x
⎧⎛
⎫=+⎪ ⎪⎝
⎭⎨⎪=⎩
，得()2222
204k k x k x +-+=， 则121
4x x =
，且120x x <<，所以1212
x x <<， 设BD 与x 轴的交点坐标为()(),00n n >，直线BD 的方程为()1
1y y x n x n
-=
--， 与方程2
2y x =联立得
()
()()2
2222
12
2
111121
220y y n y n x x x n x n x n ⎡⎤-++=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦
， 则()()
212
12
1
212
2
2
1y n x n x x n y x n -==-，即214
n =
，解得1
2n =，即BD 经过点1,02， 所以BD 经过抛物线E 的焦点.
【点睛】
本题考查抛物线方程的求法，考查直线过定点问题，考查学生的逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
21．已知函数()()ln f x x x a =-，()3
F x x x m =-+，若()f x 在()()
,e f e 处的
切线斜率为1.
（1）若()()f x F x <在()1,+∞上恒成立，求m 的最小值M ； （2）当m M =，(]0,1x ∈时，求证：()()x
f x e F x >⋅.
【答案】（1）1-；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据导数的几何意义可知，()ln 11f e e a '=-+=可求出a ，再由
()()f x F x <可得
3ln m x x x >-，
构造函数()3
ln g x x x x =-，利用导数求出其在()1,+∞上的最大值（或上确界），即可得到m 的最小值；
（2）利用导数可知，函数()()ln f x x x a =-在()0,1上单调递减，于是可得
()()11f x f >=-，再利用导数研究函数()()()31x x G x e F x x x e =⋅=--在()0,1上
的单调性可知，存在()10,1x ∈，使得()10G x '=，且函数()G x 在()10,x 上单调递减，
在()1,1x 上单调递增，于是可得()1G x <-，从而证得()()x
f x e F x >⋅．
【详解】
（1）由题意，()ln 1f x x a '=-+，∴()ln 11f e e a '=-+=，∴1a =， 所以()()ln 1f x x x =-，又()3
3
ln f x x x m m x x x <-+⇔>-，
令()3
ln g x x x x =-，则()()2
1ln 3h x g x x x '==+-，
所以()2
1166x h x x x x
-'=-=，
∵当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，∴()h x 在()1,+∞上是减函数， ∴()()120h x h <=-<，即()0g x '<，∴()g x 在()1,+∞上是减函数， ∴()()11g x g <=-， ∴m 的最小值1M =-.
（2）由（1）知，函数()()ln 1f x x x =-，()0,1x ∈，则()ln f x x '=. 当()0,1x ∈）时，()0f x '<，故函数()f x 在()0,1上单调递减． 所以()()11f x f >=-.
设函数()()()
3
1x
x
G x e F x x x e =⋅=--
则()()
2
3
23x
G x x x x e '--+=.
设函数()3
2
32p x x x x =+--，则()2
361p x x x '=+-，()p x '在()0,1上单调递
增.
当()0,1x ∈时，()()0180p p ''⋅=-<，故存在()00,1x ∈，使得()00p x '=， 从而函数()p x 在()00,x 上单调递减；在()0,1x 上单调递增. 当()00,x x ∈时，()()002p x p <=-. 当()0,1x x ∈时，()00p x <，()10p >， 故存在()10,1x ∈，使得()10G x '=，
即当()10,x x ∈时，()0G x '
<，当()1,1x x ∈时，()0G x '
>.
从而函数()G x 在()10,x 上单调递减，在()1,1x 上单调递增.
因为()01G =-，()1G e =-，
故当()0,1x ∈时，()()01G x G <=-，
所以()()x
f x e F x >⋅. 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义的应用，分离参数法的应用，以及利用导数求解或证明函数不等式恒成立问题，考查学生的转化能力，数学建模能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题．
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为1cos 21sin 2x t y t αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线2l 的极坐标方程为()0R θθρ=∈.
（1）设直线2l 与曲线1C 相交于不同的两点A 、B ，求AB 中点的轨迹2C 的方程； （2）设直线1l 与2C 相交于E 、F 两点，求弦长EF 的最小值.
【答案】（1）()()22110x y x -+=≠；（2
.
【解析】（1）将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程，可知02π
θ≠，设0tan k θ=，
可得直线2l 的直角坐标方程为y kx =，设()11,A x y 、()22,B x y ，中点()00,M x y ，将直线2l 与曲线1C 的直角坐标方程联立，由韦达定理计算出点M 的坐标，消去参数k 即可得出曲线2C 的直角坐标方程；
（2）将直线1l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程，设点E 、F 对应的参数分别为1t 、2t ，列出韦达定理，利用弦长公式可计算得出EF 关于α的表达式，由此可计算得出EF 的最小值.
【详解】
（1）在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ得24cos ρρθ=，
将222cos x x y ρθρ
=⎧⎨+=⎩代入方程24cos ρρθ=，得2240x y x +-=，
设()11,A x y 、()22,B x y ，中点()00,M x y ， 若02π
θ=，则直线2l 与圆1C 相切，不合乎题意，所以，02π
θ≠，则00x ≠.
直线2l 普通方程为y kx =，其中0tan k θ=，
联立2240
y kx x y x =⎧⎨+-=⎩，得()22140k x x +-=， 12241x x k ∴+=
+，1202221x x x k +∴==+，00221k y kx k ==+. ()()()()22220002222222414
44421111k k y x x k k k k +-===
-=-++++，即()220011x y -+=. 因此，曲线2C 的方程为()()22110x y x -+=≠；
（2）根据题意，直线1l 过定点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，且在曲线2C 的内部. 设点E 、F 对应的参数分别为1t 、2t ，
将直线1l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程得
2211cos 1sin 122t t αα⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 整理可得()21sin cos 02
t t αα+--=， 由韦达定理得12cos sin t t αα+=-，1212
t t =-. 所以
12EF t t =-=
==≥， 0απ≤<，
则022απ≤<，当22πα=时等号成立，
故弦长EF .
【点睛】 本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．已知函数()321f x x x =-+-的最小值为M ；
（1）求函数()4f x <的解集；
（2）若0a >，0b >，1a b +=，求证：
2414M a b
+≥. 【答案】（1）()0,2；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据绝对值的符号，分类讨论解不等式即可；
（2）利用基本不等式“1”的用法证明即可.
【详解】
解：（1）①当3x ≥时，有321344x x x -+-=-<，得83
x <，故无解； ②当132x <<时，解32124x x x -+-=+<，解得2x < ，故122
x <<； ③当12x ≤
时，解312434x x x -+-=-<，解得0x >，故102x <≤； 综合①②③得：不等式()4f x <的解集为()0,2.
（2）由（1）知，当12
x =，()min 52f x M ==， ∵0a >，0b >，1a b +=，
∴ ()44111444444b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭2172544
M ≥+==， 当且仅当
4=4b a a b ，即：445
a b ==时等号成立. 故2414M a b +≥，当且仅当45a =，15b =时，等号成立. 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式“1”的用法，是基础题.。