竞赛讲义——整数的整除性

整数的整除性
整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的．
1．整除的基本概念与性质
所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．
定义设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作b a．
关于整数的整除，有如下一些基本性质：
性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a．
性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．
性质3 若c｜a，c b，则c(a±b)．
性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．
性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．
性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．
性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(a n-b n)．
性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(a n-b n)．
性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(a n＋b n)．
2．证明整除的基本方法
证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明．
例1. 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．
证设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是
(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．
所以,12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．
又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故
24 [(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．
例2. 若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．
证设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得
3v-5u=17x．①
所以 17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．
若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y．
例3．若
2121
,,,
p q
p q
q p
--
都是整数，并且p＞1，q＞1．求pq的值．
解若p=q，则
不是整数，所以p≠q．不妨设p＜q，于是
是整数，所以p只能为3，从而q=5．所以pq=3×5=15．
例4. 试求出两两互质的不同的三个自然数x，y，z，使得其中任意两个的和能被第三个数整除．
分析题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数．最小的一个：
y｜(y＋2x)，所以y｜2x，于是
数两两互质，所以x=1．所求的三个数为1，2，3．
例5. 设n是奇数，求证： 60｜6n-3n-2n-1．
分析因为60=22×3×5，22，3，5是两两互质的，所以由性质6，只需证明22，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可．对于幂的形式，我们常常利用性质8～性质10，其本质是因式分解．
证 60=22×3×5．由于n是奇数，利用性质8和性质10，有
22｜6n-2n，22｜3n＋1，
所以22｜6n-2n-3n-1， 3｜6n-3n， 3｜2n+1，
所以3｜6n-3n-2n-1，5｜6n-1，5｜3n+2n，
所以5｜6n-1-3n-2n．
由于22，3，5两两互质，所以60｜6n-3n-2n-1．
我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k表示，奇数常用2k+1表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a被3除时，余数只能是0，1，2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k，3k＋1，3k＋2这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理．
例6. 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．
分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．
证因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．
例7. 求证：3n+1(n为正整数)能被2或22整除，但不能被2的更高次幂整除．
证按模2分类．若n=2k为偶数，k为正整数，则3n＋1=32k＋1=(3k)2＋1．由3k是奇数，(3k)2是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设(3k)2=8x ＋1，于是3n＋1=8x＋2=2(4x＋1)．
4x＋1是奇数，不含有2的因数，所以3n＋1能被2整除，但不能被2的更高次幂整除．
若n=2k＋1为奇数，k为非负整数，则
3n+1=32k＋1+1=3·(3k)2＋1=3(8x＋1)＋1=4(6x＋1)．
由于6x＋1是奇数，所以此时3n+1能被22整除，但不能被2的更高次幂整除．
在解决有些整除性问题时，直接证明较为困难，可以用反证法来证．
例8. 已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：
(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m2＋3n2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．
(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则
a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2
=9m2±6m+1+9n2±6n＋1
=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，
不能被3整除，矛盾．由此可知，a，b都是3的倍数．
例9. 设p是质数，证明：满足a2=pb2的正整数a，b不存在．
证用反证法．假定存在正整数a，b，使得a2=pb2
令(a，b)=d，a=a1d，b=b1d，则(a1，b1)=1．所以
与(a1，b1)=1矛盾．
练习三
1.求证：对任意自然数n，2×7n＋1能被3整除．
2．证明：当a是奇数时，a(a2-1)能被24整除．
3．已知整数x，y，使得7｜(13x+8y)，求证： 7｜(9x＋5y)．
4．设p是大于3的质数，求证：24｜(p2-1)．
5．求证：对任意自然数n，n(n-1)(2n-1)能被6整除．
6．求证：三个连续自然数的立方和能被9整除．
7．已知a，b，c，d为整数，ab＋cd能被a-c整除，求证：ad＋bc也能被a-c整除．。